Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/Magnetostática

El campo magnético

Para conocer la fuerza sobre una carga en algún punto necesitamos 2 cosas:

1.- la fuerza eléctrica: a esta fuerza la identificamos como el campo eléctrico ${\vec {E}}$ y es independiente del movimiento de la carga.

2.- la fuerza magnética: esta si depende de la velocidad de nuestra carga, cuando mencionamos que no depende de la velocidad nos referimos a que su dirección y su modulo depende de la dirección en que se este moviendo la partícula y esta será perpenticular a la velocidad.

Así también para todo punto tendremos a la fuerza en dirección perpenticular hacia una dirección fija en el espacio y el modulo de la fuerza será proporcional a la componente de la velocidad “privilegiada”.

Podemos describir todo lo dicho anteriormente si definimos el campo magnético ${\vec {B}}$ que nos explica tanto la dirección “privilegiada” en el espacio como, una constante proporcional a la velocidad. Así que escribimos a la fuerza magnética como ${\vec {v}}{q}\times {\vec {B}}$ . Ahora tenemos a la fuerza total sobre una carga descrita de la siguiente manera:

{\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})

Un ejemplo para poder ver fácilmente la presencia de la fuerza magnética, intentemos acercar un imán a un tubo de rayos catódicos, el cual lo podemos encontrar en nuestros televisores podremos ver como cambia la coloración de las imágenes de nuestra pantalla y algunas veces este color tarda en quitarse.esto se debe a que el imán produce fuerzas sobre el haz que hace que se desvien.

La corriente eléctrica y Conservación de la carga

Ahora es turno de comprender que sucede con la fuerza magnética cuando actúa sobre un alambre con una corriente eléctrica. Primero definimos densidad de corriente como la cantidad de carga que pasa por unidad de superficie y tiempo através de un elemento de superficie perpenticular al flujo de cargas. Se representa por ${\vec {j}}$ , este vector esta dirigido hacia donde las cargas se dirigen. La cantidad de cargas que fluyen a través de un diferencial de superficie por unidad de tiempo esta dado por:

{\vec {j}}\cdot {\vec {n}}\Delta S

Donde ${\vec {n}}$ es el vector normal a $\Delta S$

Ahora definimos la carga por unidad de tiempo como $\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {n}}\Delta S$ , ahora tenemos

${\vec {j}}=\rho v$

Pero si ahora queremos tomar a cada electrón y calcular su densidad de corriente, decimos que cada uno tendrá una carga q con una velocidad media, entonces nuestra definición de densidad de corriente para este caso seria

\mathbf {j} =N\rho \mathbf {v}

La N que nos aparece ahora nos representa en número de cargas por unidad de volumen.

Ahora hagamos pasar carga por unidad de tiempo en una superficie S , a esto se le llama corriente eléctrica y es denotapa por ${\vec {I}}$ , la cual es igual a la siguiente integral:

I=\int _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} \,

Uno de los principios físicos más fundamentales nos dice que la carga se conserva, entonces, si tenemos una corriente neta a través de una superficie, la cantidad de carga dentro debe decrecer por una cantidad correspondiente, esto nos permite escribir la ley de conservación de la siguiente manera:

$\int _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} ={\frac {d(Q_{dentro})}{dt}}$

El hecho de que

$Q_{dentro}=\int \rho dV$

y el Teorema de divergencia nos permiten escribir la ley de continuidad en su forma diferencial de la siguiente manera

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=-{\frac {d\rho }{dt}}$

La Fuerza Magnética en una Corriente

Una corriente consiste en partículas cargadas moviendose a velocidad v a lo largo del alambre. Cada carga siente una fuerza transversal

${\vec {F}}=q{\vec {v}}\times {\vec {B}}$

Si tenemos N cargas por unidad de volumen, el número en una unidad de volumen $\Delta V$ es $N\Delta V$ . La fuera magnética total $\Delta F$ sobre el volumen $\Delta V$ es la suma de las fuerzas sobre las cargas individuales, esto es

$\Delta {\vec {F}}=(N\Delta V)(q{\vec {v}}\times {\vec {B}})$

Pero Nqv no es otra cosa que la densidad de corriente j, entonces

$\Delta {\vec {F}}={\vec {j}}\times {\vec {B}}\Delta V$

La fuerza por unidad de volumen es ${\vec {j}}\times {\vec {B}}$ . Si la corriente es uniforme en todo el alambre, y el area de la sección transversal es A, podemos tomar el elemento de volumen como $\Delta V=A\Delta L$ , donde $\delta L$ es una unidad de longitud. Entonces tenemos

$\Delta {\vec {F}}={\vec {j}}\times {\vec {B}}A\Delta L$

Ahora podemos llamar al termino ${\vec {j}}A$ el vector corriente ${\vec {i}}$ sobre el alambre, cuya magnitud es la corriente eléctrica. Entonces

$\Delta {\vec {F}}={\vec {i}}\times {\vec {B}}\Delta L$

La fuerza por unidad de longitud es ${\vec {i}}\times {\vec {B}}$

La Ley de Ampere

Sabemos experimentalmente que las cargas en movimiento producen un campo magnético, pero, dada una corriente, ¿Qué campo magnético producirá? La respuesta a esta pregunta tambièn fue determinada experimetalmente y gracias a un argumento teórico propuesto por Ampere, pero como se ha demostrado que las ecuaciones de Maxwell son correctas, comenzaremos a partir de ellas. Quitando los terminos que involucran cambio en el tiempo, obtenemos las ecuaciones para magnetostática:

(1){\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0

(2)c^{2}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {\vec {j}}{\epsilon _{0}}}

Estas ecuaciones solamente son validas si las densidades de carga eléctrica son constantes y todas las corrientes son estables. Debemos tener en mente que es un poco peligroso pensar en algo como una situación magnética estática, ya que debemos de tener corrientes para que existan los campos magnéticos, y para que las corrientes existan debemos tener cargas en movimiento. La magnetostatica es entonces solo una aproximacion, y se refiere a una situación dinámica especial con un gran número de cargas en movimiento, que pueden ser aproximadas como un flujo estable de carga. Es en este caso donde podemos hablar de densidadesde corriente que no varian con el tiempo. Es importante notar que, debido a que la divergencia del rotacional de cualquier vector siempre es cero, la ecuación (2) requiere que ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0$ , y esto es cierto por la ecuacion de continuidad de la corriente ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ solo si tenemos densidades de carga que no varian con el tiempo. Esta condición significa quesolo podemos tener cargas que flujen a traves de caminos cerrados, esto es, deben fluir a traves de alambres que forman loops completos, llamados circuitos.

Analicemos un poco lo que nos quieren decir las ecuaciones (1) y (2). La primera nos dice que la divergencia de B es cero, esto quiere decir que no existen cargas magnéticas a partir de las cuales pueden emerger líneas de campo magnético, los campos magnéticos aparecen en precencia de corrientes; tienen un rotacional proporcional a la densidad de corriente. Siempre que tengamos corrientes, existen líneas de campo magnético haciendo loops alrededor de las corrientes.

Ahora revisemos la ecuación (2). Primero, de acuerdo al teorema de Stokes, y usando los simbolos de la figura A, tenemos lo siguiente

$\oint _{w}{\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}=\int _{s}({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {ds}}$

Tomando el rotacional del campo magnético de la ecuación (2), tenemos

$\oint _{w}{\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {1}{\epsilon _{0}c^{2}}}\int _{s}{\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}$

La integral de la densidad de corriente sobre toda la superficie es la corriente sobre la superficie. Ahora, ya que para corrientes estables, la corriente a traves de S es independiente de la forma de S, siempre y cuando este delimitada por la curva w, se suele decir: "la corriente a través del loop w". Tenemos entonces una ley general: la circulacion de B sobre acualquier curva cerrada es igual a la corriente I que pasa através del loop, multiplicado por una constante:

$\oint _{w}{\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {I}{\epsilon _{0}c^{2}}}$

Esta es la Ley de Ampere y tiene el mismo papel en magnetostática que la ley de Gauss para electrostática.

Ejemplos.

Veremos el uso de la Ley de Ampere en un par de ejemplos.

1. Un alambre recto. ¿Cuál será el campo magnético de un alambre largo y recto? Asumiremos que las líneas de B van alrededor del alambre en circulos cerrados. Por la simetría del problema, podemos ver que B tiene la misma magnitud en todos los puntos de un circulo concentrico con el alambre, esto hace la integral de línea muy fácil:

$\oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}=B\cdot 2\pi r$

La corriente que atraviesa el loops es la corriente I que va en el alambre, entonces

$B\cdot 2\pi r={\frac {I}{\epsilon _{0}c^{2}}}\rightarrow B={\frac {I}{2\pi \epsilon _{0}c^{2}r}}$

2. Un Solenoide. Un solenoide es un rollo de alambre, experimentalmente se observa que cuando un solenoide es muy largo comparado con su diámetro, el campo afuera es muy pequeño comparado con el de adentro. Como el campo se queda adentro, y tienen divergencia cero, las líneas de campo deben ser paralelas al eje. Tomemos un loop como se muestra en la figura 2. Este loop tiene una longitud L a lo largo del solenoide y dentro de él, donde es campo es, digamos $B_{0}$ , después va en angulos rectos con el campo y regresa por fuera donde el campo es cero. Entonces, la integral de B a lo largo de esta curva es $B_{0}L$ , entonces tenemos

$B_{0}L={\frac {NI}{\epsilon _{0}c^{2}}}$

donde N*I es la corriente total si hay N vueltas dentro del loop. Y por unidad de longitud, el campo magnético dentro del solenoide es

$B_{0}={\frac {NI}{\epsilon _{0}c^{2}}}$

La Relatividad de los Campos

Hasta ahora hemos visto que la fuerza magnética sobre una carga es proporcional a su velocidad, pero no hemos dicho respecto a que marco de referencia dedemos tomar esa velocidad. Vamos a ver que cualquier marco de referencia funciona, y a la vez veremos que los campos eléctricos y mangnéticos deben ser considerados como un solo campo electromagnético. Primero tomaremos en cuenta que el principio de relatividad es aplicable al electromagnétismo. Ahora, supon que tenemos una carga negativa moviedose con velocidad $v_{0}$ paralela a un alambre con corriente. Veremos que pasa en dos marcos de referencia:

(1)Uno fijo con respecto al alabre

(2)otro fijo con respecto a la carga

En el sistema de referencia (1) es claro que tenemos una fuerza magnética sobre la particula, y esta fuerza resultará en una atracción de la particula hacia el alambre. Por el principio de relatividad, en el marco de referencia (2) veremos la misma atracción, pero claramente no existe fuerza magnética, entonces, ¿Qué es lo que esta pasando? Trataremos de entenderlo.

Primero veamos un poco lo que pasa en el alambre conductor. En un conductor normal, como el cobre, las corrientes eléctricas se generan por el movimiento de algunos de los electrones (electrones de conducción) mientras que las cargas positivas (los nucleos) y el resto de los electrones se mantienen fijos en el cuerpo del material. Llamaremos $\rho _{\_}$ a la densidad de electrones de conducción y "v" a su velocidad. A la densidad de cargas en reposo la llamaremos $\rho _{+}$ , la cual debe ser igual a $\rho _{\_}$ en magnitud debido a que el alambre es eléctricamente neutro. No existe campo eléctrico. La fuerza sobre la particula es entonces:

${\vec {F}}=q{\vec {v}}_{0}\times {\vec {B}}$

De un resultado previo en este capitulo, conocemos el campo magnético que produce un alambre conductor. Efectuando el producto cruz vemos que la fuerza es en dirección al alambre con magnitud:

$F={\frac {Iqv_{0}}{2\pi \epsilon _{0}c^{2}r}}$

Es posible demostrar que la corriente la podemos escribir de la siguiente manera

$I=\rho _{\_}vA$

donde A es el área de la sección transversal del alambre. Entonces

$F={\frac {q\rho _{\_}Avv_{0}}{2\pi \epsilon _{0}c^{2}r}}$

Ahora consideraremos el caso en que la velocidad de la carga negativa es igual a la velocidad de los electrones de conducción, es decir $v=v_{0}$ , entonces

$F={\frac {q\rho _{\_}Av^{2}}{2\pi \epsilon _{0}c^{2}r}}$

Pasemos ahora a ver lo que pasa en el marco de referencia (2). En éste, la particula cargada esta en reposo, mientras el alambre pasa hacia atras con velocidad v. Las cargas positivas que se mueven con el alambre producen un cierto campo magnético, pero como esta vez la particula esta en reposo, no actúa fuerza magnética sobre ella. Si es que existe una fuerza sobre la carga, esta debe de ser debida a un campo eléctrico. Pero, ¿Cómo podemos tener un campo eléctrico en un alambre que es neutro? Veamo como. Primero calculemos la densidad de carga en el marco de referencia (2), podríamos pensar que es la misma que en (1), pero recordemos que las distancias cambian al pasar de un marco de referencia a otro, por lo que los volumenes también cambian, y como la densidad de carga depende del volumen, ésta también cambiará. Antes de continuar, debemos mencionar que las cargas son siempre las mismas, no importa si se están moviendo o no, de otra manera, observaríamos que las carga total no siempre se conserva. Varios esperimentos han demostrado esto. Entonces la carga q de la particula es una cantidad escalar invariante, independiente del marco de referencia. Esto quiere decir que sólo debemos preocuparnos por el cambio en el volumen debido a la contracción de la longitud para el cálculo de la densidad de carga en el marco de referencia (2). Si tomamos una longitud $L_{0}$ del alambre que contiene una densidad de carga de carga estacionaria $\rho _{0}$ , esta tendrá una carga $Q=\rho _{0}L_{0}A_{0}$ . Si observamos las mismas carga es un marco de referencia distinto, moviendose con velocidad v, estas se encontrarán en un trozo de alambre con longitud menor

$L=L_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

pero con la misma área $A_{0}$ , debido a que el movimiento se realiza en una dimensión transversal.

Sea $\rho$ la densidad de carga en el marco de referencia (2). Entonces, la carga Q será $\rho LA_{0}$ , y ya que la carga es la misma en los dos sistemas, se debe cumplir que

$\rho L=\rho _{0}L_{0}$

y sustituyedo L de la ecuación anterior,

$\rho ={\frac {\rho _{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Ahora usemos este resultado general para $\rho _{+}$ de nuestro alambre. Ésta está en reposo en el marco (1) y se mueven con velocidad v en (2), entonces la densidad de carga se transforma de la sifuiente manera

$\rho _{+}^{(2)}={\frac {\rho _{+}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

donde $\rho _{+}^{(2)}$ es la densidad de carga en el marco de referencia (2). Por su parte, la carga negativa esta en reposo en el marco (2), y el marco (1) se mueve con velocidad v, así, tenemos la siguiente relación para la densidad de carga negativa

$\rho _{\_}={\frac {\rho _{\_}^{(2)}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Ahora veremos porqué existe un campo eléctrico en el marco de referencia (2). En este marco existe una densidad de carga neta $\rho ^{(2)}$ dada por

$\rho ^{(2)}=\rho _{\_}^{(2)}+\rho _{+}^{(2)}$

Usando las expresiones que obtuvimos anteriormente para estas densidades de carga tenemos que

$\rho ^{(2)}={\frac {\rho _{+}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}+\rho _{\_}({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}})$

Ahora, debido a que el alambre estacionario es nuetro, $\rho _{\_}=-\rho _{+}$ , y entonces , después de un poco de álgebra

$\rho ^{(2)}=\rho _{+}{\frac {\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Nuestro alambre en movimiento esta cargado positivamente, y produce un campo eléctrico que actúa sobre nuestra particula. Ya conocemos como es el campo eléctrico que pruduce un cilindro uniformemente cargado

$E^{(2)}={\frac {\rho ^{(2)}A}{2\pi \epsilon _{0}r}}={\frac {\rho _{+}Av^{2}/c^{2}}{2\pi \epsilon _{0}r{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Para obtener la magnitud de la fuerza simplemente multiplicamos el campo eléctrico por la carga q

$F^{(2)}=q{\frac {\rho ^{(2)}A}{2\pi \epsilon _{0}r}}={\frac {\rho _{+}Av^{2}/c^{2}}{2\pi \epsilon _{0}r{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Comparando las fuerzas en (1) y (2) vemos que estas se relacionan de la siguiente manera

$F^{(2)}={\frac {F}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Para velocidades pequeñas, estas dos fuerzas son iguales, en ese caso podemos decir que "la electricidad y el magnetismo son dos maneras de observar el mismo fenómeno".