Matemáticas/Geometría/Coordenadas/Funciones inversas

3. Funciones inversas y curvas de función

$y=a^{x}$, $x=log_{a}(y)$, $y=loa_{a}(x)$.

En la primera de estas expresiones aparece $y$ como función de $x$, es decir que el valor de $y$ depende del de $x$. Por eso se llama a $y$ la variable dependiente y a $x$ la variable independiente. Si expresamos ahora $x$ en función de $y$, como en la segunda de las expresiones, resultará $x$ como variable dependiente e $y$ como independiente. Las coordenadas de las curvas correspondientes a estas funciones inversas, como las mismas curvas no habrán variado, sólo habrá habido un cambio en los ejes de coordenadas que el $X$ habrá pasado a ser el $Y$ y recíprocamente. Si se desea volver los ejes a su posición primitiva habrá que expresar la función en la tercera forma indicada, es decir efectuando el cambio de $x$ a $y$. Las coordenadas se han cambiado y, por consiguiente, las curvas de función serán simétricas con respecto a un eje que es la bisectriz del ángulo formado por los dos ejes de coordenadas Fig.3. Las expresiones segunda y tercera se llaman inversas de la primera, si bien la legítima función inversa es la tercera.

Archivo:Funciones inversas.png

Fig.3 Funciones inversas

Dando a la base $a$ del sistema de logaritmos los valores $10$ y $e=2,72$ se obtienen por las coordenadas calculadas dos curvas exponenciales Fig,3, así como sus inversas que son dos curvas logarítmicas.

La función de primer grado

$y=ax+b$, da para $a={1 \over 2}$ y $b=4$

la recta representada en la Fig.4 y su inversa. Se puede ver, en este caso, que las curvas de función son líneas rectas que para cualquier valor de $a$, permaneciendo constante el de $b$, pasan por el mismo punto del eje $Y$, así como las inversas pasan por el punto simétrico del eje $X$.

Si una función no varía cuando se cambian las variables $x$ e $y$ se dice que es autoinversa. Tal sucede, por ejemplo, en el caso presente si es $a=-1$. Entonces la recta $y=-x+4$ Fig.4 es autoinversa, pues es simétrica con relación al eje de simetría del sistema de coordenadas.

Archivo:Funcion autoinversa.png

Fig.4 Funciones autoinversas

De las expresiones

$y=sen(x)$

$x=arcsen(y)$

$y=arcsen(x)$

son la segunda y la tercera funciones inversas de la primera. Estas y la segunda dan la misma curva sinusoide Fig.5 y la tercera una curva simétrica (arcosinusoide). Pueden, igualmente, por inversión alrededor del eje de simetría, deducirse de las restantes líneas trigonométricas las curvas de arco o funciones ciclométricas.

Archivo:Funciones ciclometricas.png

Fig.5 Funciones ciclométricas

La inversión de las curvas se basa naturalmente en la reciprocidad, pero no siempre resultan curvas de distinto nombre. Así por ejemplo, las dos curvas de la figura 6 son inversas una de la otra, aunque las dos son la misma parábola, una con su eje en el de las ordenadas y la otra en el de las abscisas. Lo mismo sucede con las dos curvas de la figura 7; ambas son dos parábolas cúbicas inversas.