Geometría Plana/Conceptos Básicos/Curvas

En la matemática (inicialmente estudiado en la geometría elemental y, en forma más rigurosa, en la geometría diferencial), la curva (o línea curva) es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas simples son la elipse o la circunferencia o el óvalo, el cicloide; ejemplos de curvas abiertas, la parábola, la hipérbola y la catenaria y una infinidad de curvas estudiadas en la geometría analítica plana.

Historia y definiciones

Cronología

Año	Acontecimiento
300 a. C.	Euclides define las secciones cónicas
250 a. C.	Arquímedes investiga las curvas espirales.
225 a. C..	Apolonio de Perge publica Cónicas.
1704	Isaac Newton clasifica las curvas cúbicas.
1890	Giuseppe Peano aplicando la definición de Jordán, demuestra que un cuadrado relleno también es una curva.
Década de 1920	Pável Urysón y Karl Menger definen el concepto de curva a partir de la topología.

Camille Jordan (1838-1922) propuso una teoría sobre las curvas basada en la definición de una curva en términos de puntos variables (ver teorema de la curva de Jordan). En geometría, una curva en el n-espacio euclidiano es un conjunto ${\mathcal {C}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ que es la imagen de un intervalo Ι abierto bajo una aplicación continua $\mathbf {x} \colon \mathrm {I} \to \mathbb {R} ^{n}$, i.e:

${\mathcal {C}}=\{\mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}\colon t\in \mathrm {I} \}$

donde suele decirse que ($\mathbf {x} ,\mathrm {I}$) es una representación paramétrica o parametrización de ${\mathcal {C}}$.

Curva, en el plano o en el espacio tridimensional, es la imagen de un camino γ, que se considera con derivada continua a trozos en el intervalo de definición .

Curva plana

En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.

Una curva plana es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada. La representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plana.