Geometría diferencial/Cálculo de varias variables

Cálculo multivariable

Iniciaremos nuestro estudio de la geometría diferencial con una recapitulación de las nociones del cálculo de varias variables. Los principios del cálculo de una variable nos permiten estudiar las curvas parametrizadas en en el espacio ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$, que son aplicaciones continuas de ${\textstyle \mathbb {R} }$ en ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Por supuesto, el análisis de superficies en el espacio euclídeo de tres dimensiones involucra el estudio de aplicaciones de ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ en ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$. Así, el estudio generalizado de superficies y, posteriormente, de variedades, parte del estudio de las aplicaciones de varias variables ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$.

Aplicaciones de ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ en ${\textstyle \mathbb {R} ^{m}}$

Sea ${\textstyle U}$ un subconjunto de ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ y ${\textstyle f:U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ una aplicación de ${\textstyle U}$ en ${\textstyle \mathbb {R} ^{m}}$. Sea ${\textstyle \{\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\}}$ una base de ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ y ${\textstyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}$ una base de ${\textstyle \mathbb {R} ^{m}}$. Sean ${\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ las coordenadas de ${\textstyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$, es decir, sea

$$\mathbf {x} =x_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +x_{n}\mathbf {u} _{n}.$$

La imagen de ${\textstyle f}$ es un subconjunto de ${\textstyle \mathbb {R} ^{m}}$, y por tanto ${\textstyle f(\mathbf {x} )}$ es un vector que podemos representar como

$${\begin{array}{rl}f(\mathbf {x} )&=&(f_{1}(\mathbf {x} ),\ldots ,f_{m}(\mathbf {x} ))\\&=&(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))\\&=&f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathbf {v} _{1}+\cdots +f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathbf {v} _{m},\end{array}}$$

donde cada ${\textstyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$ es una aplicación de valor real de ${\textstyle n}$ variables, es decir ${\textstyle f_{i}:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$, ${\textstyle i=1,\ldots ,m}$.