Manual del estudiante de Ingeniería en Sistemas de UTN/Modelos Numéricos

Obtención del polinomio luego de usar diferencias divididas

Al final del método, obtenemos una ecuación de la forma

$r_{0}+\sum _{i=0}^{n}r_{i}(\prod _{j=0}^{i-1}(x-x_{j}))$

, es decir

$r_{0}+r_{1}(x-x_{0})+r_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+\cdots$

Para obtener una ecuación de la forma

$\sum _{i=0}^{n}C_{i}x^{i}$

, es decir

$A+Bx+Cx^{2}+\cdots$

a partir de la ecuación obtenida por diferencias divididas, hay que obtener la expresión de cada uno de los coeficientes.

Inducción de los coeficientes

Con 3 puntos

$r_{0}+r_{1}(x-x_{0})+r_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})=$

$r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}+$

$+x(r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1}))+$

$+x^{2}r_{2}$

Con 4 puntos

$r_{0}+r_{1}(x-x_{0})+r_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+r_{3}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})=$

$r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}-r_{3}x_{0}x_{1}x_{2}+$

$+x(r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})+r_{3}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{1}x_{2}))+$

$+x^{2}(r_{2}-r_{3}(x_{0}+x_{1}+x_{2}))$

$+x^{3}(r_{3})$

Con 5 puntos

$r_{0}+r_{1}(x-x_{0})+r_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+r_{3}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})+r_{4}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=$

$r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}-r_{3}x_{0}x_{1}x_{2}+r_{4}x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}+$

$+x(r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})+r_{3}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{1}x_{2})-r_{4}(x_{0}x_{1}x_{2}+x_{0}x_{1}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3}))+$

$+x^{2}(r_{2}-r_{3}(x_{0}+x_{1}+x_{2})+r_{4}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{0}x_{3}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}))+$

$+x^{3}(r_{3}-r_{4}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}))+$

$+x^{4}(r_{4})$

Conclusión

Coeficiente A

Cantidad de puntos	Expresión del coeficiente
3	$r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}$
4	$r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}-r_{3}x_{0}x_{1}x_{2}$
5	$r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}-r_{3}x_{0}x_{1}x_{2}+r_{4}x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}$

Sea el coeficiente A para la ecuación obtenida a partir de p+1 puntos, la ley resulta:

$r_{0}+\sum _{i=1}^{p}((-1)^{i}r_{i}(\prod _{j=0}^{i-1}x_{j}))$

Coeficiente B

Cantidad de puntos	Expresión del coeficiente
3	$r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})$
4	$r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})+r_{3}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{1}x_{2})$
5	$r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})+r_{3}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{1}x_{2})-r_{4}(x_{0}x_{1}x_{2}+x_{0}x_{1}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3})$

Coeficiente C

Cantidad de puntos	Expresión del coeficiente
3	$r_{2}$
4	$r_{2}-r_{3}(x_{0}+x_{1}+x_{2})$
5	$r_{2}-r_{3}(x_{0}+x_{1}+x_{2})+r_{4}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{0}x_{3}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})$

Coeficiente D

Cantidad de puntos	Expresión del coeficiente
3	$0$
4	$r_{3}$
5	$r_{3}-r_{4}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3})$

Como se ve, la ley es mucho más difícil de expresar en términos matemáticos, por lo que dejo ese trabajo pendiente. De todas maneras voy a tratar de describirlo en términos tan claros como me resulte posible:

Se puede ver que:

• La cantidad de términos que describen a cada coeficiente depende de la cantidad de $x_{i}$ que se utilizan para obtener la expresión.
• El primer término de la expresión que calcula el coeficiente que corresponde a $x^{n}$ será $r_{n}$, y corresponde a la expresión obtenida utilizando n $x_{i}$ (es decir, cuando el polinomio es de grado n).
• Para calcular el mismo coeficiente para un polinomio del grado mayor siguiente, se restará y sumará alternativamente el siguiente término.
• El siguiente término será la multiplicación del siguiente r, por la sumatoria de los productos formados por una permutación de elementos del conjunto de $x_{i}$.

Para obtener la ley inductiva para conocer que permutaciones usar vemos:

	colspan="2" | Coeficiente B	Coeficiente C		Coeficiente D
r	Elementos	Tomados de a	Elementos	Tomados de a	Elementos	Tomados de a
2	2	1	-	-	-	-
3	3	2	3	1	-	-
4	4	3	4	2	4	1

Como conclusión, se puede decir que al calcular cualquier coeficiente, el término que contiene $r_{k}$ irá multiplicado por la sumatoria de los productos formados por la permutación de los primeros $k$ elementos del conjunto de $x_{i}$, tomados de a m, siendo m el número de orden en que aparece el término dentro del cálculo del coeficiente.

Además, si el coeficiente corresponde a $x^{n}$, m será:

$m=k-n$