Diseño y análisis de experimentos en simulación

Diseño factorial simple

Una observación en la repetición j del nivel i, $y_{ij}$ , está representado por un valor promedio general $\mu$ , un efecto del factor $\alpha _{i}$ y un error aleatorio $e_{ij}$ .

$y_{ij}=\mu +\alpha _{i}+e_{ij}$

El efecto es el impacto que tiene el factor en determinado nivel en el valor de la respuesta. La suma de todos los efectos será 0.

$\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=0$

Estimación de los términos

Estimación de la media

Sea un experimento unifactorial con n niveles y r repeticiones.

$\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}\mu +\alpha _{i}+e_{ij}$

$\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}=\sum _{j=1}^{r}n.\mu +\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}+\sum _{i=1}^{n}e_{ij}=\sum _{j=1}^{r}n.\mu +0+\sum _{i=1}^{n}e_{ij}$

$\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}=n.r.\mu +\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}e_{ij}=n.r.\mu +0$

$\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}=n.r.\mu$

$\mu ={\frac {\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}}{n.r}}$

(Notar que n.r es el número total de experimentos)

Estimación de los efectos

Sea ${\overline {y_{i}}}$ la media del nivel i

${\overline {y_{i}}}={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{r}y_{ij}$

${\overline {y_{i}}}={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{r}\mu +\alpha _{i}+e_{ij}$

${\overline {y_{i}}}={\frac {1}{r}}(r.\mu +r.\alpha _{i}+\sum _{j=1}^{r}e_{ij})$

Asumiendo que la sumatoria de errores es nula

${\overline {y_{i}}}=\mu +\alpha _{i}$

$\alpha _{i}={\overline {y_{i}}}-\mu$

Estimación de los errores experimentales

Habiendo ya calculado todos los datos anteriores, se puede obtener el error de cada muestra

$e_{ij}=y_{ij}-\mu -\alpha _{i}$

Un estadístico importante es la suma de los errores al cuadrado SSE

$\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}e_{ij}^{2}$

Asignación de la variación

La variación de la respuesta tiene dos causas posibles:

El efecto del factor.
El efecto del error.

Esto significa que la variación total SST estará compuesta por la variación entre grupos SSA (efecto del factor) y la variación dentro del grupo SSE (efecto del error).

Si cada respuesta se eleva al cuadrado

$y_{ij}^{2}=(\mu +\alpha _{i}+e_{ij})^{2}$

$y_{ij}^{2}=\mu ^{2}+\alpha _{i}^{2}+e_{ij}^{2}+2\mu .\alpha _{i}+2\mu .ie_{ij}+2\alpha _{i}.e_{ij}$

Para las r repeticiones y n tratamientos

$\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}^{2}=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}(\mu +\alpha _{i}+e_{ij})^{2}$

$\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}^{2}=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}(\mu ^{2}+\alpha _{i}^{2}+e_{ij}^{2}+2\mu .\alpha _{i}+2\mu .e_{ij}+2\alpha _{i}.e_{ij})$

$\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}^{2}=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}\mu ^{2}+\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}+\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}e_{ij}^{2}+$

$+\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\mu .\alpha _{i}+\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\mu .e_{ij}+\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\alpha _{i}.e_{ij}$

Teniendo en cuenta que

$\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\mu .\alpha _{i}=\sum _{j=1}^{r}(2\mu \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i})$

$\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\mu .\alpha _{i}=\sum _{j=1}^{r}(2\mu .0)=0$

$\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\mu .e_{ij}=2\mu \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}e_{ij}$

$\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\mu .e_{ij}=2\mu .0=0$

$\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\alpha _{i}.e_{ij}=0$ ¿? (ninguno de los dos es cte como para poder sacar de la sumatoria)

Queda entonces la expresión final

$\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}^{2}=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}(\mu ^{2}+\alpha _{i}^{2}+e_{ij}^{2})$

$SSY=SSO+SSA+SSE$

Donde

$SSY=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}^{2}$

$SSO=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}\mu ^{2}=r.n.\mu ^{2}$

$SSA=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}=r.\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}$

$SSE=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}e_{ij}^{2}$

La variación total de y será

$SST=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}(y_{ij}-\mu )^{2}$

$SST=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}^{2}-\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}\mu ^{2}$ (¿?)

$SST=SSY-SSO=SSA+SSE$