Matemáticas/Álgebra Conmutativa/Texto completo

• Introducción
• Anillos conmutativos
• Ideales
• Módulos

Sección 1: Introducción

En álgebra abstracta, el álgebra conmutativa es el campo de estudio de los anillos conmutativos, sus ideales, módulos y álgebras. Es una materia fundacional tanto para la geometría algebraica como para la teoría algebraica de números.

Se considera que el fundador real de la materia, en la época en la que se llamaba teoría de ideales, es David Hilbert. Parece que él piensa sobre ella (alrededor del 1900) como un enfoque alternativo a la entonces de moda teoría de funciones complejas. Este enfoque sigue cierta "línea" de pensamiento que considera que los aspectos computacionales son secundarios respecto a los estructurales. El concepto adicional de módulo, presentado de alguna manera en el trabajo de Kronecker, es técnicamente un paso adelante si lo comparamos con trabajar siempre directamente en el caso especial de los ideales. Este cambio se atribuye a la influencia de Emmy Noether.

Dado el concepto de esquema, el álgebra conmutativa es pensada, comprendida, de forma razonable, bien como la teoría local o bien como la teoría afín de la geometría algebraica.

El estudio general de anillos sin requerir conmutatividad se conoce como álgebra no conmutativa; es materia de la teoría de anillos, de la teoría de la representación y también de otras áreas como la teoría de las álgebras de Banach.

Definicion

Sea A un conjunto no vacío, y sean $+$ y $\cdot$ las dos operaciones binarias en A. Se dice que el conjunto $(A,+,\cdot )\,$ es un anillo conmuntativo por que se cumple con las siguientes propiedades:

1.	A es cerrado bajo la operación de la suma $+$.	$\forall a,b\in A,a+b\in A$
2.	La operación $+$ es asociativa.	$\forall a,b,c\in A,(a+b)+c=a+(b+c)$
3.	La operación $+$ tiene a n como elemento neutro.	$\forall a\in A,a+n=n+a=a$
4.	Existe un elemento simétrico para $+$.	$\forall a\in A,\exists b\in A,a+b=b+a=n$

Estas cuatro condiciones definen un grupo. Una quinta condición define un grupo abeliano:

5.

La operación $+$ es conmutativa.

$\forall a,b\in A,a+b=b+a$

Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:

6.	A es cerrado bajo la operación $\cdot$.	$\forall a,b\in A,a\cdot b\in A$
7.	La operación $\cdot$ es asociativa.	$\forall a,b,c\in A,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
8.	La operación $\cdot$ es distributiva respecto de $+$.	$\forall a,b,c\in A,\quad \left\{{\begin{array}{l}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\\(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\\\end{array}}\right.$

Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:

9.

La operación $\cdot$ es conmutativa.

$\forall a,b\in A,a\cdot b=b\cdot a$

Si un anillo cuenta con un elemento neutro para la segunda operación se llama anillo unitario. A dicho elemento se le suele llamar la unidad (1) para diferenciarlo del elemento neutro de la primera operación (usualmente el 0).

Definición sintética

Un anillo R es un conjunto con dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación, cumpliendo las condiciones siguientes:

• R1. R es grupo abeliano para la adición; el elemento neutro en esta adición se nombra cero del anillo, y se denota usualmente 0;
• R2. R es un semigrupo para la multiplicación;
• R3. La multiplicación ($\cdot$) es distributiva (por los dos lados) respecto de la adición.

Anillo Conmutativo Unitario

Se considera unitario a todo anillo que contenga un elemento neutro en la multiplicación

$\forall a\in R,(a\cdot 1=a=1\cdot a)$

Ejemplos

• Todos los Números Racionales Q ,Reales R y Complejos C forman un anillo conmutativo unitario

Propiedades

• Si f : R → S es un homomorfismo de anillos entre R y S, S es conmutativo, y f es inyectiva (esto es, un monomorfismo), R también debe ser conmutativo, pues f(a·b) = f(a)·f(b) = f(b)·f(a) = f(b·a).
• Si f : R → S es un homomorfismo de anillos entre R y S, con R es conmutativo, la imagen f(R) de R será también conmutativa; en particular, si f es |sobreyectiva (esto es, un epimorfismo), S será conmutativo también.

El mayor interés de los anillos conmutativos está en cuando además son unitarios, es decir, los anillos conmutativos unitarios.

Sección 3: Ideales

Un ideal es una subestructura algebraica definida en la teoría de anillos. Los ideales generalizan, de manera fecunda, el estudio de la divisibilidad entre los números enteros hacia otros objetos matemáticos. De este modo, es posible enunciar versiones muy generales de teoremas de la aritmética elemental, tales como el teorema chino del resto o el teorema fundamental de la aritmética, válidos para los ideales. Se puede comparar también esta noción con la de subgrupo normal para la estructura algebraica de grupo en el sentido de que facilita definir la noción de anillo cociente como una extensión natural de la noción de grupo cociente .

Aspecto histórico

La teoría de los ideales es relativamente reciente, puesto que fue creada por el matemático alemán, Richard Dedekind, a fines del siglo XIX.

En dicha época, una parte de la comunidad matemática se interesó en los números algebraicos y, más concretamente, en los enteros algebraicos.

La cuestión consiste en saber si los enteros algebraicos se comportan como los enteros relativos, particularmente, en lo que respecta a su descomposición en factores primos. Parecía claro, desde el comienzo del siglo XIX que este no era siempre el caso. Por ejemplo, el entero 6 puede descomponerse, en el anillo $\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]$, en la forma $2\times 3$ o en la forma $(1+i{\sqrt {5}})(1-i{\sqrt {5}})$

Ernst Kummer dice entonces que lo anterior va a depender de los números en cuestión e inventa la noción de complejos ideales.

La idea es hacer que sea única la descomposición en factores primos añadiendo artificialmente otros números (del mismo modo que se añade i a los números reales siendo $i^{2}=-1$ con el fin de disponer de números para los cuadrados negativos). En el ejemplo de más arriba, se va a "inventar" cuatro números "ideales" a, b, c y d tales que:

$2=a\cdot b$

$3=c\cdot d$

$1+i{\sqrt {5}}=a\cdot c$

$1-i{\sqrt {5}}=b\cdot d$

Así, 6 se descompondrá de manera única en:

$6=a\cdot b\cdot c\cdot d$

Dedekind en 1871 vuelve a usar la noción de número ideal de Kummer y crea la noción de ideal en un anillo. Se interesa principalmente por los anillos de los enteros algebraicos, es decir, anillos conmutativos unitarios e íntegros. En este dominio se encuentran los resultados más interesantes sobre los ideales. Creó el conjunto de los ideales de un anillo conmutativo, unitario e íntegro para operaciones semejantes a la adición y a la multiplicación de los enteros relativos.

La teoría de los ideales no solo permitió un avance significativo en el álgebra general, sino también en el estudio de las curvas algebraicas (geometría algebraica).

Definición

Un subconjunto $I$ no vacío de un anillo $A$ es un ideal por la izquierda de A si:

1. I es un subgrupo aditivo de A.
2. $\forall (a,x)\in A\times I:a\times x\in I$ (El producto por la izquierda de un elemento de I por un elemento de A pertenece a I).

y es un ideal por la derecha de A si:

1. I es un subgrupo aditivo de A.
2. $\forall (x,a)\in I\times A:x\times a\in I$ (El producto por la derecha de un elemento de I por un elemento de A pertenece a I).

Un ideal bilátero es un ideal por la derecha y por la izquierda. En un anillo conmutativo, las nociones de ideal por la derecha, de ideal por la izquierda y de ideal bilátero coinciden y simplemente se habla de ideal.

Ejemplos

• Para todo entero relativo $k$, $k\mathbb {Z}$ es un ideal de $\mathbb {Z}$.
• Si A es un anillo, {0} y A son ideales triviales de A. Estos dos ideales tienen un interés muy limitado. Por esta razón se llamará ideal propio a todo ideal no trivial.
• Si A es un anillo unitario y si $I$ es un ideal que contiene a 1 entonces $I=A$. De modo más general, si, $I$ contiene un elemento inversible, entonces $I=A$
• Los únicos ideales en un cuerpo $K$ son los ideales triviales.

Operaciones con ideales

Suma

Si I y J son dos ideales de un anillo A, entonces se puede comprobar que el conjunto $I+J=\{x+y:x\in I\ e\ y\in J\}$ es un ideal.

Demostración: Para comprobar que el aserto es correcto, debemos comprobar en primer lugar que I+J es subgrupo del grupo aditivo de A, i.e., $(A,+)$, y en segundo lugar tendremos que comprobar que $xa\in (I+J),~\forall x\in A,\forall a\in (I+J)$.

• En primer lugar, sea $z_{1},z_{2}\in (I+J)\Rightarrow \exists (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in I\times J$ tales que $z_{i}=x_{i}+y_{i}~(i=1,2)$. Como $I,J$ son ideales, entonces son subgrupos de $A$ y por ende, $(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})\in I\times J$, de manera que $z_{1}+(-z_{2})=(x_{1}-x_{2})+(y_{1}-y_{2})$ es un elemento del conjunto $I+J$. Ergo, $\forall z_{1},z_{2}\in I+J,~(z_{1}-z_{2})\in I+J$, por lo tanto $I+J$ es subgrupo de $(A,+)$.
• En segundo lugar, sea $z=(x+y)\in I+J$. Por ser $I,J$ ideales de A se tiene que $(a\cdot x,b\cdot y)\in I\times J,~\forall a,b\in A$. De este modo, $a\cdot z=a\cdot (x+y)=a\cdot x+a\cdot y=(a\cdot x)+(a\cdot y)$. Dado que $a\cdot x\in I,~\forall a\in A$ y lo análogo para $a\cdot y$, se tiene que $a\cdot z\in I+J$.

Con esto queda demostrado que era correcta la afirmación enunciada.

Intersección

Toda intersección de ideales es un ideal.

Demostración: Sea una familia de ideales $\{I_{k}\}$, queremos comprobar que $I=\bigcap _{k}I_{k}$ es ideal:

• Comprobemos que es subgrupo del grupo aditivo $(A,+)$. Sean $x,y\in \bigcap _{k}I_{k}$, entonces se tiene que $x,y\in I_{k},\forall k$. Como los $I_{k}$ son ideales, entonces $x-y\in I_{k},\forall k$, por lo que a su vez se tiene que $x-y\in \bigcap _{k}I_{k}=I$. Por consiguiente I es subgrupo de $(A,+)$.
• Comprobemos ahora que $a\cdot x\in I,\forall a\in A,x\in I$. Supongamos que $x\in I\Rightarrow x\in \bigcap _{k}I_{k}\Rightarrow x\in I_{k},\forall k$. Ahora bien, como los $I_{k}$ son ideales, sabemos que $a\cdot x\in I_{k},\forall a\in A,\forall k\Rightarrow a\cdot x\in \bigcap _{k}I_{k},\forall a\in A$. Por consiguiente $a\cdot x\in I,\forall a\in A,x\in I$.

Queda con esto demostrado el aserto anterior, i.e., $\bigcap _{k}I_{k}$ es ideal, siendo $\{I_{k}\}$ una familia arbitraria de ideales de A.

El conjunto de los ideales de A con estas dos operaciones forma una cadena. De esta segunda ley se permite la noción de ideal generado. Si P es un subconjunto de un anillo A, se llama ideal generado por P a la intersección de todos los ideales de A que contienen a P, notado usualmente como $\langle P\rangle$. Se puede comprobar que:

1. $\langle P\rangle =\{a_{1}x_{1}+\dots +a_{n}x_{n}:a_{1},\dots ,a_{n}\in P,~x_{1},\dots ,x_{n}\in A\}$
2. $I+J=\langle I\cup J\rangle =\bigcap _{k}\{G_{k}:G_{k}{\textrm {~es~ideal~en~}}A{\textrm {~y~}}(I\cup J)\subseteq G_{k}\}$

Ejemplos:

• Para un anillo $A$, a ∈ A engendra el ideal $aA$ (por ejemplo n engendra $n\mathbb {Z}$, ideal de $\mathbb {Z}$)
• Si I y J son dos ideales de A, el ideal $I+J$ está engendrado por el subconjunto $I\cup J$ de A.

Producto

Si I y J son dos ideales de un anillo, se llama producto de I y J al ideal $\textstyle IJ$ engendrado por todos los elementos de la forma xy donde x pertenece a I e y pertenece a J. Se tiene que $IJ\subset I\cap J$.

Como ejemplo, en el anillo $\mathbb {Z}$ , el producto de los ideales $n\mathbb {Z}$ y $p\mathbb {Z}$ es el ideal $np\mathbb {Z}$ y este último está incluido en $n\mathbb {Z} \cap p\mathbb {Z}$.

Anillo cociente

Si I es un ideal bilátero del anillo A, la relación $x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow x-y\in I$ es una relación de equivalencia compatible con las dos leyes del anillo. Se puede crear entonces, sobre el conjunto de las clases ${\dot {x}}=x+I$ una estructura de anillo denominada anillo cociente A/ I del anillo A por el ideal I. La construcción se realiza sobre la base del grupo aditivo del anillo. Cabe tomar como elementos de A/I las clases adjuntas a + I( llamadas «clases de restos respecto al módulo del ideal I»).

Como suma de clases se define por (a+I) +^º (b+ I) =(a+b) + L; el opuesto -^º(a+I) = -a + I.

Como producto de clases (a+I) ×^º (b+I)= ab + I.

Casos particulares

Ideal principal: es un ideal generado por un único elemento.

Ideal primario: en un anillo conmutativo unitario, un ideal I es primario si y solo si para todo a y b tales que $ab\in I$ , si $a\notin I$ entonces existe un entero natural n tal que $b^{n}\in I$.

Ideal primo: en un anillo conmutativo unitario, I es un ideal primo si y solo si I es distinto de A y, para todo a y b pertenecientes a A tales que $ab\in I$, si $a\notin I$ entonces $b\in I$.

$P$ es un ideal primo de $A\Leftrightarrow$ $A/P$ es dominio de integridad.

Ideal irreducible : en un anillo conmutativo unitario, un ideal I es irreducible si no se puede escribir como intersección de dos ideales J y K diferentes de I.

Ideal maximal : Un ideal $M$ es maximal $\Leftrightarrow$ existen exactamente dos ideales que contienen a $M$, a saber, $A$ y el mismo $M$.

En un anillo conmutativo unitario, un ideal maximal es necesariamente primo.

el ideal $M$ es un ideal maximal de $A$ si y solo si $A/M$ es un cuerpo.

Radical de un ideal: Si I es un ideal de un anillo conmutativo A, se llama radical de I, y se escribe ${\sqrt {I}}$ , al conjunto de los elementos x de A tales que existe un entero natural n para el cual $x^{n}\in I$. Es un ideal de A.

Ejemplo: $30\mathbb {Z}$ es el radical de $360\mathbb {Z}$

Si $A$ es un anillo conmutativo, entonces tiene las propiedades siguientes:

• ${\sqrt {I}}\supset I$
• ${\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}$
• ${\sqrt {IJ}}={\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}$
• Si, además, $A$ es unitario, ${\sqrt {I}}=A\Leftrightarrow I=A$

Fuente

https://es.wikipedia.org/wiki/Ideal_(teor%C3%ADa_de_anillos)

Sección 4: Módulos

Definición

Específicamente, un módulo izquierdo sobre el anillo R consiste en un grupo abeliano (M, +) y una operación R × M → M (multiplicación escalar, generalmente escrita sólo por yuxtaposición, es decir como rx para r en R y x en M) tal que

Para todo r, s en R, x, y en M, tenemos

$(rs)x=r(sx)$

$(r+s)x=rx+sx$

$r(x+y)=rx+ry$

$1x=x$

Generalmente, escribimos simplemente "un R - módulo izquierdo M" o _RM.

Algunos omiten la condición 4 en la definición general de módulos izquierdos, y llaman a las estructuras definidas antes "módulos izquierdos unitales". En este artículo sin embargo, todos los módulos (y todos los anillos) se presuponen unitales. Por lo general, para módulos, en la mayoría de los textos se considera la condición 4, mientras que para anillos no se supone que exista elemento unidad, excepto que se diga lo contrario.

Un R módulo derecho M o M_R se define de forma semejante, sólo que el anillo actúa por la derecha, es decir tenemos una multiplicación escalar de la forma M × R → M, y los tres axiomas antedichos se escriben con los escalares r y s a la derecha de x e y.

Si R es conmutativo, entonces los R-módulos a la izquierda son lo mismo que R-módulos a la derecha y se llaman simplemente R-módulos.

Ejemplos

• Si K es un cuerpo, entonces los conceptos "K-espacio vectorial" y K-módulo son idénticos.

• Cada grupo abeliano M es un módulo sobre el anillo de los números enteros Z si definimos nx = x + x +... + x (n sumandos) para n > 0, 0 x = 0, y (- n) x = - (nx) para n < 0.

• Si R es cualquier anillo y n un número natural, entonces el producto cartesiano Rⁿ es un módulo izquierdo y derecho sobre R si utilizamos las operaciones componente a componente. El caso n = 0 da el trivial R-módulo {0} que consiste solamente en el elemento identidad (aditiva).

• Si X es una variedad diferenciable, entonces las funciones diferenciables de X a los números reales forman un anillo R. El conjunto de todos los campos vectoriales diferenciables definidos en X forman un módulo sobre R, y lo mismo con los campos tensoriales y las formas diferenciales en X.

• Las matrices cuadradas n-por-n con entradas reales forman un anillo R, y el espacio euclidiano R ⁿ es un módulo izquierdo sobre este anillo si definimos la operación de módulo vía la multiplicación de matrices.

• Si R es cualquier anillo e I es cualquier ideal izquierdo en R, entonces I es un módulo izquierdo sobre R. Análogamente, por supuesto, los ideales derechos son módulos derechos.

Submódulos y homomorfismos

Suponga que M es un R-módulo izquierdo y N es un subgrup de M. Entonces N es un submódulo (o R-submódulo, para ser más explícito) si, para cualquier n en N y cualquier r en R, el producto rn está en N (o el nr para un módulo derecho). Si M y N son R - módulos, entonces una función f: M → N es un homomorfismo de R - módulos si, para cualquier m, n en M y r, s en R,

f (rm + sn) = rf(m) + sf(n).

Esto, como cualquier homomorfismo de objetos matemáticos, es precisamente una función que preserva la estructura de los objetos. Un homomorfismo biyectivo de módulos es un isomorfismo de módulos, y los dos módulos se llaman isomorfos. Dos módulos isomorfos son idénticos para todos los propósitos prácticos, diferenciándose solamente en la notación para sus elementos.

El núcleo de un homomorfismo de módulos f: M → N es el submódulo de M que consiste en todos los elementos que son enviados a cero por f. Los teoremas de isomorfía familiares de grupos abelianos y de espacios vectoriales son también válidos para R-módulos.

Los R-módulos izquierdos, junto con sus homomorfismos de módulo, forman una categoría, escrita como _RMod. Esta es una categoría abeliana.

Tipos de módulos

Finitamente generado. Un módulo M es finitamente generado si existe un número finito de elementos x₁..., x_n en M tales que cada elemento de M es una combinación lineal de esos elementos con coeficientes del anillo escalar R.

Libre. Un módulo libre es un módulo que tiene una base libre, o equivalentemente, uno que es isomorfo a una suma directa de copias del anillo escalar R. Éstos son los módulos que se comportan parecido a los espacios vectoriales.

Proyectivo. Los módulos proyectivos son sumandos directos de módulos libres y comparten muchas de sus propiedades deseables.

Inyectivo. Los módulos inyectivos se definen dualmente a los módulos proyectivos.

Simple. Un módulo simple S es un módulo que no es {0} cuyos únicos submódulos son {0} y S. Los módulos simples a veces se llaman irreducibles.

Indescomponible. Un módulo indescomponible es un módulo diferente a cero que no se puede escribir como una suma directa de dos submódulos diferentes a cero. Cada módulo simple es indescomponible.

Fiel. Un módulo fiel M es uno donde la acción de cada r (distinto de cero) en R es no trivial (es decir, existe algún m en M tal que rm ≠ 0). Equivalente, el anulador de M es el ideal cero.

Noetheriano. Un módulo noetheriano es un módulo tal que cada submódulo es finitamente generado. Equivalente, cada cadena creciente de submódulos llega a ser estacionaria en finitos pasos.

Artiniano. Un módulo artiniano es un módulo en el cual cada cadena decreciente de submódulos llega a ser estacionaria en finitos pasos.

Definición alternativa como representaciones

Si M es un R-módulo izquierdo, entonces la acción de un elemento r en R se define como la función M → M que envía cada x al rx (o al xr en el caso de un módulo derecho), y es necesariamente un endomorfismo de grupo del grupo abeliano (M, +). El conjunto de todos los endomorfismos de grupo de M es denotado End_Z(M) y forma un anillo bajo la adición y composición, y enviando un elemento r del anillo R a su acción define realmente un homomorfismo de anillo de R a End_Z(M).

Tal del homorfismo R del anillo → End_Z(M) se llama una representación de R en el grupo abeliano M; una manera alternativa y equivalente de definir R-módulos izquierdos es decir que un R-módulo izquierdo es un grupo abeliano M junto con una representación de R en él.

Una representación se llama fiel si y solamente si la función R → End_Z(M) es inyectiva. En términos de módulos, esto significa que si r es un elemento de R tal que rx = 0 para todo x en M, entonces r = 0. Cada grupo abeliano es un módulo fiel sobre los números enteros o sobre una cierta aritmética modular Z/n Z.

Generalizaciones

Cualquier anillo R se puede ver como categoría preaditiva con un solo objeto. Con esta comprensión, un R-módulo izquierdo es un funtor aditivo (covariante) de R a la categoría Ab grupos abelianos. Los R-módulos derechos son funtores aditivos contravariantes. Esto sugiere que, si C es cualquier categoría preaditiva, un funtor aditivo covariante de C a Ab sea considerado un módulo izquierdo generalizado sobre C; estos funtores forman una categoría de funtores C-Mod que es la generalización natural de la categoría de módulos R-Mod.

Los módulos sobre anillos conmutativos se pueden generalizar en una dirección distinta: tome un espacio anillado (X, O_X) y considere los haces de O_X-módulos. Éstos forman una categoría O_X-Mod. Si X tiene solamente un punto, entonces esto es una categoría de módulo en el viejo sentido sobre el anillo conmutativo O_X(X).

Fuentes

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo#Matem.C3.A1ticas