Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Resolución de triángulos

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Si miramos el triángulo de la izquierda podemos describir tres razones que son intrínsecas de los ángulos agudos, ya que las razones sólamente dependen del ángulo $\alpha$ debido al teorema de Thales.

$\sin \alpha ={\frac {{\mbox{longitud del cateto opuesto a }}\alpha }{\mbox{longitud de la hipotenusa}}}\rightarrow \sin \alpha ={\frac {a}{c}}$

$\cos \alpha ={\frac {{\mbox{longitud del cateto contiguo a }}\alpha }{\mbox{longitud de la hipotenusa}}}\rightarrow \cos \alpha ={\frac {b}{c}}$

$\tan \alpha ={\frac {{\mbox{longitud del cateto opuesto a }}\alpha }{{\mbox{longitud del cateto contiguo a }}\alpha }}\rightarrow \tan \alpha ={\frac {a}{b}}$

• Gracias a estas definiciones podemos calcular razones trigonométricas aproximadamente dibujando y midiendo simplemente.

• Estas razones trigonométricas evidentemente no dependen del triángulo que tracemos sólo dependen del ángulo.

Ejemplo

Tenemos un triángulo como el de la figura y queremos saber sus razones trigonométricas así que medimos sus tres lados a= 60mm b= 80mm c= 100mm

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}}={\frac {60}{100}}=0,6$
$\cos \alpha ={\frac {b}{c}}={\frac {80}{100}}=0,8$
$\tan \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {60}{80}}=0,75$

Relaciones entre las razones trigonométricas del mismo ángulo

Las razones trigonometricas, es decir el sin, cos, tan son dependientes, esto quiere decir que si sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones son las siguientes:

Relaciones trigonométricas fundamentales

$(\sin \alpha )^{2}+(\cos \alpha )^{2}=1\,\!$

${\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\tan \alpha$

Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa $(\sin \alpha )^{2}\ ,\;(\cos \alpha )^{2}\ ,\;(\tan \alpha )^{2}\,\!$ sino así $\sin ^{2}\alpha ,\;\cos ^{2}\alpha ,\;\tan ^{2}\alpha \,\!$ Es conveniente que se aprendan, hay que tener en cuenta que la mayor parte (seguramente toda) de la literatura matemática usa esa notación.

Demostración

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\;\longrightarrow \quad \left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1\;\longrightarrow \quad {\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}=1\;\longrightarrow \quad {\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}={\cfrac {c^{2}}{c^{2}}}\;\longrightarrow \quad a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Ejemplos

Se conoce el $\cos \alpha =0,6$ y se quiere calcular cuánto valen $s=\sin \alpha \;y\;t=\tan \alpha$

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\quad \rightarrow \quad s^{2}+(0,6)^{2}=1\quad \rightarrow \quad s^{2}=1-(0,6)^{2}\quad \rightarrow \quad s={\sqrt {0,64}}=0,8$

$\tan \alpha ={\cfrac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\quad \rightarrow \quad t={\frac {0,8}{0,6}}=1,333$

Se conoce la tangente de un ángulo $\tan \alpha ={\frac {1}{3}}$ y se quiere calcular cuánto valen $\sin \alpha =s\;y\;\cos \alpha =c$

$\left.{\begin{matrix}{\cfrac {s}{c}}={\cfrac {1}{3}}\\s^{2}+c^{2}=1\end{matrix}}\right\}\quad \rightarrow \quad \left|{\begin{matrix}c=3s\\s^{2}+c^{2}=1\end{matrix}}\right\}\quad \rightarrow \quad s^{2}+(3s)^{2}=1\rightarrow 10s^{2}=1\rightarrow s={\frac {1}{\sqrt {10}}}={\frac {\sqrt {10}}{10}}\rightarrow c={\frac {3{\sqrt {10}}}{10}}$

Utilización de la calculadora en trigonometría

Todas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta dos factores de interés:

• En algunos modelos se introduce el valor del ángulo y luego se pulsa la tecla de la razón trigonométrica para obtener su valor, mientras que en otros se hace justamente al revés, primero se pulsa la tecla de la razón deseada, luego se introduce el valor del ángulo y por último la tecla de resultado (generalmente =) nos muestra el resultado en la pantalla.
• Las calculadoras científicas utilizan tres sistemas de medida angular, los radianes (RAD), los grados sexagesimales (DEG) y los gradianes (GRAD). Es muy importante tener en cuenta este factor, ya que no es lo mismo $sin(100^{o})=0,984807753$ que $sin(100rad)=-0,506365641$ o $sin(100gra)=1$. La conversión entre los sistemas es la siguiente: $180^{o}=\pi rad=200gra$

Resolución de triangulos rectángulos

Cuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas sus magnitudes desconocidas, es decir la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos, a partir de las conocidas.

Triángulos rectángulos

Si un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una cosa, que tiene un ángulo de 90º, así que nos hará falta menos información para resolverlo. Podemos resolver un triángulo rectángulo si conocemos:

• Dos lados
  • Podemos calcular el tercer lado con el Teorema de Pitágoras $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,\!$
  • Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar los ángulos a partir de las razones trigonométricas y de la relación entre los ángulos de un triángulo.

Ejemplo

Tenemos este triángulo y sabemos que $a=14\ {\mbox{ y }}\ c=23\,\!$

$b={\sqrt {23^{2}-14^{2}}}=18,25$

$\sin {\hat {A}}={\frac {14}{23}}=0,6087\rightarrow {\hat {A}}=37,5^{\circ }$

${\hat {B}}=180-90-{\hat {A}}=180-90-37,5=52,5^{\circ }\,\!$

• Un ángulo y un lado
  • Los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo que tenemos y con la longitud del lado que tenemos
  • El ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de un triángulo suman entre los tres 180º siempre.

Ejemplo

Tenemos este triángulo y conocemos $a=29\ {\mbox{ y }}\ {\hat {A}}=63^{o}\,\!$

$\tan {\hat {A}}={\frac {a}{b}}\rightarrow b=a\tan {\hat {A}}=29\tan 63=56,92\,\!$

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {29^{2}+56,92^{2}}}=63,88$

Resolución de triángulos no rectángulos. Estrategia de la altura

Queremos resolver un triángulo como el de la figura. Sabemos que miden dos de sus lados $a=273cm,\;b=326cm\,$ y el ángulo ${\hat {A}}=38^{\circ }\,$

Para resolverlo lo que hacemos es trazar la siguiente altura h, obtenemos así dos triángulos rectángulos:

Del primer triángulo (el 1) conocemos $a=273cm\ {\mbox{ y }}\ {\hat {C}}=38^{\circ }\,\!$ obtendremos x e y.

$\sin {\hat {A}}={\frac {h}{b}}\;\rightarrow \;h=b\sin {\hat {A}}=326cm\,\sin 38^{\circ }=200,70cm$

$\cos {\hat {A}}={\frac {x}{b}}\;\rightarrow \;x=b\cos {\hat {A}}=326cm\,\cos 38^{\circ }=256,89cm$

Para encontrar y aplicamos Pitágoras:

$a^{2}=y^{2}+h^{2}\;\rightarrow \;y^{2}=a^{2}-h^{2}\;\rightarrow \;y={\sqrt {a^{2}-h^{2}}}\;\rightarrow \;{\sqrt {273^{2}-200,70^{2}}}=185,06cm$

Y por fin:

$c=x+y\;\rightarrow \;c=256,89cm+185,06cm=441,95cm$

Tenemos un triángulo como el siguiente y queremos encontrar que vale h, sabemos que:

$c=30cm\,$

${\hat {A}}=40^{\circ }$

${\hat {B}}=60^{\circ }$

$\left.{\begin{matrix}\tan {\hat {A}}={\cfrac {h}{x}}\\\tan {\hat {B}}={\cfrac {h}{y}}\\x+y=c\end{matrix}}\right\}\;\rightarrow \;\left|{\begin{matrix}\tan {\hat {A}}={\cfrac {h}{x}}\\\tan {\hat {B}}={\cfrac {h}{c-x}}\end{matrix}}\right\}\;\rightarrow \;\left|{\begin{matrix}x={\cfrac {h}{\tan {\hat {A}}}}\\x=c-{\cfrac {h}{\tan {\hat {B}}}}\end{matrix}}\right\}\;\rightarrow \;{\cfrac {h}{\tan {\hat {A}}}}=c-{\cfrac {h}{\tan {\hat {B}}}}$

con lo que tenemos

${\cfrac {h}{\tan {\hat {A}}}}=c-{\cfrac {h}{\tan {\hat {B}}}}\;\rightarrow \;{\cfrac {h}{\tan {\hat {A}}}}+{\cfrac {h}{\tan {\hat {B}}}}=c\;\rightarrow \;{\cfrac {h\,\tan {\hat {B}}+h\,\tan {\hat {A}}}{\tan {\hat {A}}\;\tan {\hat {B}}}}=c\;\rightarrow \;{\cfrac {h\,(\tan {\hat {B}}+\tan {\hat {A}})}{\tan {\hat {A}}\;\tan {\hat {B}}}}=c$

Que resulta:

$h={\cfrac {\tan {\hat {A}}\;\tan {\hat {B}}}{\tan {\hat {B}}+\tan {\hat {A}}}}\;c$

$h={\cfrac {\tan 40^{\circ }\;\tan 60^{\circ }}{\tan 60^{\circ }+\tan 40^{\circ }}}\;30cm$

$h={\cfrac {1.453}{2,571}}\;30cm$

$h=0.565\cdot 30cm=16.958cm$

Algunos resultados muy útiles

Esto que viene a continuación uno podria deducirlo. Pero igual que las tablas de multiplicar que se pueden deducir sumando repetidas veces un número es mejor memorizarlo ya que aparecen con frecuencia.

Proyección de un segmento

Cuando proyectamos un segmento sobre una recta la longitud de dicha proyección es la misma que la del segmento multiplicada por el coseno del angulo que formar segmento y recta.

$\cos \alpha ={\frac {\overline {AC}}{\overline {AB}}}\to {\overline {AC}}={\overline {AB}}\cos \alpha$

Altura de un triangulo

Si cojemos cualquier lado del triángulo (que no sea la base) y lo multiplicamos por el seno del ángulo que forma este con la base obtendremos la altura del triángulo.

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}}\to a=c\sin \alpha$

Area de un triangulo

El area del triangulo es la misma que la mitad del producto de dos de sus lados multiplicado por el seno que forman

$A={\cfrac {b\cdot a}{2}}={\cfrac {b\cdot b\tan \alpha }{2}}={\cfrac {b^{2}\cdot \tan \alpha }{2}}$

Razones trigonométricas de ángulos obtusos

Si queremos conocer las razones trigonométricas de un angulo obtuso $\alpha \,\!$, basta fijarse en la figura para ver que son fáciles de obtener, a través de su angulo suplementario $180^{\circ }-\alpha \,\!$

$\sin \alpha =\sin(180^{\circ }-\alpha )$

$\cos \alpha =-\cos(180^{\circ }-\alpha )$

La tngente es un poco menos intuitiva, pero también es facil de entender: La tangente de un angulo obtuso es siempre negativa.

$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {\sin(180^{\circ }-\alpha }{-\cos(180^{\circ }-\alpha )}}=-\tan(180^{\circ }-\alpha )$

Resolución de triangulos cualesquiera

Podría parecer que este apartado es inútil debido a que ya se ha aprendido a resolver triangulos cualesquiera con la estrategia de la altura. Sin embargo existen dos teoremas que no agilizarán mucho las cosas sin que tengamos que hacer tantos pasos como con la estratégia de la altura.

Teorema del seno

Intuitivamente uno puede ver que el angulo mayor de un triangulo tiene enfrente el lado mayor, y el angulo menor de un triangulo tiene enfrente el lado menor.

El teorema del seno dice esto precisamente, un poco más formalmente:

Si tenemos un triangulo de lados $a,\ b,\ c$ y ángulos ${\hat {A}}\ {\hat {B}}\ {\mbox{ y }}{\hat {C}}$

Se cumple que:

${\frac {a}{\sin {\hat {A}}}}={\frac {b}{\sin {\hat {B}}}}={\frac {c}{\sin {\hat {C}}}}$

Demostración

Lo demostraremos a partir de la estrategia de la altura.

Dibujamos la altura h desde el vértice C. Los triángulos APC y BCP son rectángulos los dos.

Tenemos que:

$\left.{\begin{matrix}\sin {\hat {A}}={\cfrac {h}{b}}\to h=b\sin {\hat {A}}\\\sin {\hat {B}}={\cfrac {h}{a}}\to h=a\sin {\hat {B}}\end{matrix}}\right\}\to b\sin {\hat {A}}=a\sin {\hat {B}}\to {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}$

Para encontrar la igualdad ${\frac {a}{\sin {\hat {A}}}}={\frac {c}{\sin {\hat {C}}}}$ trazamos h desde el vértice B y procedemos igual que antes.

Aplicaciones

Antes de continuar hay que advertir que cuando nuestra incognita sea uno de los angulos y apliquemos el teorema del seno hay dos soluciones debido a que los angulos suplementarios tienen el mismo seno. Tendremos que comprobar si las soluciones son validas.

• Triangulos cualesquiera con dos ángulos y un lado conocidos

Ejemplo

Tenemos un triangulo como el de la figura, y queremos resolverlo.

Conocemos un lado $b=71cm\,\!$ y dos ángulos $\alpha =61^{\circ }\;y\;\gamma =37^{\circ }$ ¿ cuanto miden los lados a y c.?

Sabiendo que:

$\left.{\begin{array}{l}\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }\\\alpha =61^{\circ }\\\gamma =37^{\circ }\end{array}}\right\}\;\longrightarrow \quad \left|{\begin{array}{l}\beta =180^{\circ }-\alpha -\gamma \\\beta =180^{\circ }-61^{\circ }-37^{\circ }\\\beta =82^{\circ }\end{array}}\right.$

Aplicando el teorema del seno:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

con los valores numéricos:

${\frac {a}{\sin 61^{\circ }}}={\frac {71cm}{\sin 82^{\circ }}}={\frac {c}{\sin 37^{\circ }}}$

tenemos:

${\frac {a}{\sin 61^{\circ }}}={\frac {71cm}{\sin 82^{\circ }}}\;\longrightarrow \quad a={\frac {71cm\cdot \sin 61^{\circ }}{\sin 82^{\circ }}}$

$\sin 61^{\circ }=0,874$

$\sin 82^{\circ }=0,990$

$a={\frac {71cm\cdot 0,874}{0,990}}\;\longrightarrow \quad a=62,68cm$

y tenemos:

${\frac {71cm}{\sin 82^{\circ }}}={\frac {c}{\sin 37^{\circ }}}\;\longrightarrow \quad c={\frac {71cm\cdot \sin 37^{\circ }}{\sin 82^{\circ }}}$

$\sin 37^{\circ }=0,602$

$\sin 82^{\circ }=0,990$

$c={\frac {71cm\cdot 0,602}{0,990}}\;\longrightarrow \quad c=43,17cm$

• Dos lados y el angulo opuesto de uno de ellos conocido

Ejemplo

Ahora nos encontramos con el siguiente problema:

Conocemos $a=7cm,\;b=9cm,\;{\hat {B}}=25^{\circ }$ tenemos que encontrar ${\hat {A}}$

Con el teorema del seno:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

y los valores:

${\frac {7cm}{\sin \alpha }}={\frac {9cm}{\sin 25^{\circ }}}\;\longrightarrow \quad \sin \alpha ={\cfrac {\sin 25^{\circ }\cdot 7cm}{9cm}}$

sabiendo:

$\sin 25^{\circ }=0,423$

tenemos

$\sin \alpha ={\cfrac {0,423\cdot 7cm}{9cm}}\;\longrightarrow \quad \sin \alpha =0,329$

y por fin:

$\sin \alpha =0,329\;\longrightarrow \quad \alpha =arc\,\sin(0,329)\;\longrightarrow \quad \alpha =19,208^{\circ }$

Teorema del coseno

imagen por hacer Si cogemos un triangulo rectángulo y conservando la longitud de los catetos, el angulo de 90° lo disminuimos es intuitivo de que la "hipotenusa" se hará más corta, y si lo hago más grande esta se hará más grande. Pues esto es lo que nos dice el teorema del coseno, en realidad podríamos decir que el teorema del coseno es el teorema de Pitágoras versión 2.0

Tenemos un triangulo cualquiera, se cumple que:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\hat {A}}$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\hat {C}}$

Demostración

Dibujamos la altura h, perpendicular a b

${\overline {AH}}=c\cos {\hat {A}}$

${\overline {HC}}=b-{\overline {AH}}=b-c\cos {\hat {A}}$

Aplicamos Pitagoras a AHB y BHC

$a^{2}=h^{2}+{\overline {HC}}^{2}=h^{2}+(b-{\overline {AH}})^{2}=h^{2}+b^{2}+c^{2}\cos ^{2}{\hat {A}}-2bc\cos {\hat {A}}$

$c^{2}=h^{2}+{\overline {AH}}^{2}=h^{2}+(c\cos {\hat {A}})$

$a^{2}-c^{2}=b^{2}-2bc\cos {\hat {A}}\to a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\hat {A}}$

Se puede comprobar que tanto para todos los tipos de triángulos sale la misma fórmula.

Aplicaciones

Hay cuatro casos de problemas que se aconsejan resolver por el teorema del coseno

• Conocemos tres lados y queremos conocer cualquier angulo
• Conocemos dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos y queremos conocer el otro lado
• Conocemos dos lados y el angulo que forman y queremos saber el otro lado
• Conocemos dos lados y el angulo que forman y queremos conocer otro angulo. Para este último caso deberemos aplicar el teorema del coseno primero para saber el lado que nos falta y después el teorema del seno para saber el angulo