Matemáticas/Cálculo en una variable/Conjunto Acotado

Conjunto acotado superiormente

Definición: Sea $S$ un conjunto de números reales. Decimos que el conjunto $S$ está acotado superiormente si existe algún $k\in \mathbb {R}$ cumpliendo $k\geq x,\forall x\in S$. A este valor $k$ lo llamamos Cota superior de S.

Proposición: Si un conjunto $S\subset \mathbb {R}$ tiene una cota superior, esta no es única.

Prueba: Procedamos por reducción al absurdo:

Sea $k$ una cota superior de $S$, supongamos que $k$ es único. Por ser $k$ cota superior, se cumple $k\geq x,\forall x\in S$. Consideremos ahora el conjunto $S_{0}=S\cup \lbrace k\rbrace$. Puesto que $k$ es la única cota superior de $S$, $k$ es el mayor de todos los elementos de $S_{0}$, y no existe ningún $k_{0}\in \mathbb {R}$ siendo cota superior de $S_{0}$, pues de existir, lo sería también de $S$ y hemos supuesto que sólo había una cota superior para $S$. Luego no existe $k_{0}\in \mathbb {R}$ cumpliendo $k_{0}\geq k$ ya que de existir, sería cota superior de $S_{0}$ y hemos dicho que $S_{0}$ no está acotado superiormente. Pero esto es falso, pues dado un número real cualquiera siempre podemos encontrar otro más grande. Por lo tanto, llegamos a una contradicción, y la cota superior de un conjunto no es única.

Corolario: Dados sendos conjuntos $S\subset \mathbb {R}$ acotado superiormente y $T\subset \mathbb {R}$ finito, los conjuntos $S\cup T$ y $S\cap T$ son también acotados superiormente.

Prueba: Para ver que $S\cup T$ es acotado superiormente, procedemos como sigue: Reiterando el proceso usado en la demostración anterior, construimos los conjuntos $S_{n}$ del modo siguiente: $S_{n+1}=S_{n}\cup \lbrace y_{n}\rbrace$ con $y_{n}\in T$, $n\in \mathbb {N}$. Los conjuntos sucesivos $S_{n}$ son acotados superiormente por lo que hemos visto en la demostración anterior. Como $T$ es finito, este proceso tiene un final definido, que no es otro que la construcción del conjunto $S\cup T$ que resulta acotado superiormente por la misma.

En el caso del conjunto $S\cap T$, distinguimos dos subcasos:

• Si existen $k_{1},k_{2}\in S$ siendo $k_{1}$ cota inferior de $T$ y $k_{2}$ cota superior, entonces la demostración es trivial.
• Si hay algún $x\in T$ que es o bien cota superior o bien cota inferior de $S$, reproducimos la construcción de la demostración anterior usando las proposiciones para cota inferior y superior según convenga y resulta $S\cap T$ acotado superiormente.

Proposición: Todo subconjunto $T$ de un conjunto $S$ acotado superiormente, es acotado superiormente.

Prueba: Si $k\in \mathbb {R}$ es cota superior de $S$, se cumple $k\geq x,\forall x\in S$. Por ser $T\subset S$, todo elemento $y\in T$ lo es también de $S$; y por lo tanto, $k\geq y,\forall y\in T$, luego $T$ es acotado superiormente.

Conjunto acotado inferiormente

Definición: Sea $S$ un conjunto de números reales. Decimos que el conjunto $S$ está acotado inferiormente si existe algún $k\in \mathbb {R}$ cumpliendo $k\leq x,\forall x\in S$. A este valor $k$ lo llamamos Cota inferior de S.

Proposición: Si un conjunto $S\subset \mathbb {R}$ tiene una cota inferior, esta no es única.

Prueba: Por un procedimiento análogo al usado para cotas superiores, se tiene lo siguiente:

Sea $k$ una cota inferior de $S$, supongamos que $k$ es único. Por ser $k$ cota inferior, se cumple $k\leq x,\forall x\in S$. Consideremos ahora el conjunto $S_{0}=S\cup \lbrace k\rbrace$. Puesto que $k$ es la única cota inferior de $S$, $k$ es el menor de todos los elementos de $S_{0}$, y no existe ningún $k_{0}\in \mathbb {R}$ siendo cota inferior de $S_{0}$, pues de existir, lo sería también de $S$ y hemos supuesto que sólo había una cota inferior para $S$. Luego no existe $k_{0}\in \mathbb {R}$ cumpliendo $k_{0}\leq k$ ya que de existir, sería cota inferior de $S_{0}$ y hemos dicho que $S_{0}$ no está acotado inferiormente. Pero esto es falso, pues dado un número real cualquiera siempre podemos encontrar otro más pequeño. Por lo tanto, llegamos a una contradicción, y la cota inferior de un conjunto no es única.

Corolario: Dados sendos conjuntos $S\subset \mathbb {R}$ acotado inferiormente y $T\subset \mathbb {R}$ finito, los conjuntos $S\cup T$ y $S\cap T$ son también acotados inferiormente.

Prueba: Para ver que $S\cup T$ es acotado inferiormente, procedemos como sigue: Reiterando el proceso usado en la demostración anterior, construimos los conjuntos $S_{n}$ del modo siguiente: $S_{n+1}=S_{n}\cup \lbrace y_{n}\rbrace$ con $y_{n}\in T$, $n\in \mathbb {N}$. Los conjuntos sucesivos $S_{n}$ son acotados inferiormente por lo que hemos visto en la demostración anterior. Como $T$ es finito, este proceso tiene un final definido, que no es otro que la construcción del conjunto $S\cup T$ que resulta acotado inferiormente por la misma.

En el caso del conjunto $S\cap T$, distinguimos dos subcasos:

• Si existen $k_{1},k_{2}\in S$ siendo $k_{1}$ cota inferior de $T$ y $k_{2}$ cota superior, entonces la demostración es trivial.
• Si hay algún $x\in T$ que es o bien cota superior o bien cota inferior de $S$, reproducimos la construcción de la demostración anterior usando las proposiciones para cota inferior y superior según convenga y resulta $S\cap T$ acotado inferiormente.

Proposición: Todo subconjunto $T$ de un conjunto $S$ acotado inferiormente, es acotado inferiormente.

Prueba: Si $k\in \mathbb {R}$ es cota inferior de $S$, se cumple $k\leq x,\forall x\in S$. Por ser $T\subset S$, todo elemento $y\in T$ lo es también de $S$; y por lo tanto, $k\leq y,\forall y\in T$, luego $T$ es acotado inferiormente.

Conjunto acotado

Definición: Sea $S$ una conjunto de números reales. Decimos que el conjunto $S$ está acotado si está acotado superior e inferiormente.

Teorema: Todo conjunto $C\subset \mathbb {R}$ finito es acotado.

Prueba: Consideramos el conjunto $C$ de la siguiente manera: $C=\bigcup _{k=1}^{n}\lbrace x_{k}\rbrace$ con $n\in \mathbb {N}$ por ser $C$ finito. Procedemos ahora por inducción sobre $n$ para comprobar que todos los conjuntos $C\subset \mathbb {R}$ escritos de esta manera -es decir, finitos- son acotados:

• Para $n=1$ se tiene $C=\bigcup _{k=1}^{1}\lbrace x_{k}\rbrace =\lbrace x_{1}\rbrace$ que es trivialmente acotado.
• Supongamos cierto el paso $n$ y probemos el caso $n+1$:

Ahora tenemos que el conjunto C es el siguiente: $C=\bigcup _{k=1}^{n+1}\lbrace x_{k}\rbrace =\bigcup _{k=1}^{n}\lbrace x_{k}\rbrace \cup \lbrace x_{n+1}\rbrace$. Por hipótesis de inducción $\bigcup _{k=1}^{n}\lbrace x_{k}\rbrace$ es acotado, luego es acotado superior e inferiormente. Si ahora unimos con un conjunto que tiene un solo elemento estamos repitiendo la construcción empleada en las demostraciones anteriores, luego este nuevo conjunto es acotado superior e inferiormente y, por tanto, es acotado. Y vemos que todo conjunto finito es acotado.

Proposición: Todo subconjunto de un conjunto acotado, es acotado.

Prueba: Si un conjunto es acotado, es acotado superior e inferiormente. Luego está contenido a la vez en un conjunto acotado superiormente y en un conjunto acotado inferiormente. Si tomamos la intersección de estos dos conjuntos, obtenemos un conjunto acotado que contiene al conjunto inicial.

Ejemplos

El conjunto $\lbrace 1,2,3,4,...\rbrace$ está acotado inferiormente por 0.

El conjunto $\lbrace -1,-2,-3,-4,...\rbrace$ está acotado superiormente por 0.

El conjunto $\lbrace 1,2,3,4\rbrace$ está acotado.

El conjunto $\lbrace 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},...\rbrace$ está acotado (siendo 1 una cota superior y 0 una cota inferior) pero no es finito, lo cual indica que el recíproco del Teorema anterior no es cierto.