Matemáticas/Combinatoria/Factorial

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
15	1 307 674 368 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000
50	30 414 093 201 713 378 043 × 10⁴⁵
70	1,19785717... × 10¹⁰⁰
450	1,73336873... × 10¹⁰⁰⁰
3.249	6,41233768... × 10^{10 000}
25.206	1,205703438... × 10^{100 000}
100.000	2,8242294079... × 10^{456 573}

El factorial de un entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. Por ejemplo,

5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120.\

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el siglo XII por los estudiosos hindúes.

La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático.

La notación matemática actual n! fue usada por primera vez en 1808^[1] por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó en especial sobre los factoriales toda su vida.

Definición

La función factorial es formalmente definida mediante el producto

n!=1\times 2\times 3\times 4\times ...\times (n-1)\times n

.

La multiplicación anterior se puede simbolizar también utilizando el operador productorio:

n!=\prod _{k=1}^{n}k

.

También es posible definirlo mediante la relación de recurrencia

n!={\begin{cases}1&{\text{si, }}n=0\\(n-1)!\times n&{\text{si, }}n>0\end{cases}}

En esta segunda definición el dominio de la función es el conjunto de los enteros no negativos ℤ_≥0 y el codominio es el conjunto de los enteros positivos ℤ₊.^[2] En este caso hay una sucesión recurrente, el cálculo sucesivo de sus elementos se llama proceso recurrente y la igualdad n! = (n - 1)!n se nombra ecuación recurrente.^[3]

La segunda definición incorpora la premisa de que

0!=1

Cero factorial

La definición indicada de factorial es válida para números positivos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos.

Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdo con la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como:

0!=1

Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue:

Para cada número entero positivo n mayor o igual que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad:

(n-1)!={\frac {n!}{n}}

válida para todo número mayor o igual que 1.

Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque

{\frac {5!}{5}}={\frac {120}{5}}=24

y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que

{\frac {4!}{4}}={\frac {24}{4}}=6

El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que:

2!={\frac {3!}{3}}={\frac {6}{3}}=2,\qquad 1!={\frac {2!}{2}}={\frac {2}{2}}=1

Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n!=1 tendríamos que 0! corresponde a:

0!={\frac {1!}{1}}={\frac {1}{1}}=1

Aunque el argumento puede resultar algo convincente, es importante tener en cuenta que no es más que un argumento informal y que la razón real por la cual se toma la convención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de producto vacío usada en muchas otras ramas de las matemáticas.

Aplicaciones

Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemáticas llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)ⁿ:

(a+b)^{n}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+\cdots +{n \choose n-1}ab^{n-1}+{n \choose n}b^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}

donde ${n \choose k}$ representa un coeficiente binomial:

{n \choose k}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}}

De igual forma se puede encontrar en la derivación por la regla del producto para derivadas de orden superior de manera similar que el binomio de newton:

{\frac {d^{n}x}{dx^{n}}}(f(x)g(x))=(fg)^{(n)}={n \choose 0}fg^{(n)}+{n \choose 1}f^{'}g^{(n-1)}+{n \choose 2}f^{''}g^{(n-2)}+\cdots +{n \choose n-1}f^{(n-1)}g^{'}+{n \choose n}f^{(n)}g=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}

Donde f⁽ⁿ⁾ es la derivada enésima de la función f.

Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en la teoría de números.

Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}+\cdots \right)

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.

El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la función gamma de manera que

\Gamma (n)=(n-1)!=\int _{0}^{\infty }\;t^{n-1}e^{-t}\;dt\,

sólo para n > 0. Se puede generalizar aún más, para todo número complejo z que no sea igual a un entero no positivo, mediante la siguiente definición: