Matemáticas/Ecuaciones/Ecuación Exponencial

Definición

Se denomina ecuación exponencial aquella en la cual la incógnita aparece únicamente en los exponentes de potencias para ciertas bases constantes. La incógnita se halla en un exponente de un o unos de los términos. Es decir, un número (u otra variable) está elevada a la incógnita a despejar, normalmente representada por x. Para resolver dichas ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciación, radicación, de logaritmos y cambio de la incógnita por otra.

Leyes de Exponentes

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:

Demostración: $a^{n}\times a^{m}=\underbrace {\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}\times \underbrace {a\times \cdots \times a} _{m}} _{n+m}=a^{n+m}$

Ejemplos:

$9^{3}\cdot 9^{2}=9^{3+2}=9^{5}$

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

Demostración: $(a^{m})^{n}={(\underbrace {a\times \cdots \times a} _{m})}^{n}=n{\begin{cases}\underbrace {\begin{matrix}a\times &\cdots &\times a\times \\\vdots &&\vdots \\a\times &\cdots &\times a\end{matrix}} _{m}\end{cases}}=a^{m\cdot n}$

Debido a esto, la notación $a^{b^{c}}$ se reserva para significar $a^{(b^{c})}$ ya que ${(a^{b})}^{c}$ se puede escribir sencillamente como $a^{bc}\,$.

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:

Demostración: $(a\times b)^{n}=n{\begin{cases}{\begin{matrix}a\times b\times \\\vdots \\a\times b\end{matrix}}\end{cases}}=a^{n}\times b^{n}$

---

Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:

Demostración: ${\begin{array}{ll}(-a)^{1}=&-a\\(-a)^{2}=&(-a)\times (-a)=a^{2}\\(-a)^{3}=&\underbrace {(-a)\times (-a)} _{a^{2}}\times (-a)=-(a^{3})\\\vdots &\\(-a)^{n}=&\underbrace {((-a)\times (-a))\times \cdots \times ((-a)\times (-a))} _{n{\text{ par}}}=a^{n}\\(-a)^{n}=&\underbrace {\underbrace {((-a)\times (-a))\times \cdots \times ((-a)\times (-a))} _{n-1{\text{ par por tanto es }}a^{n-1}}\times (-a)} _{n{\text{ impar}}})=-(a^{n}),\end{array}}$

Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que $c={\frac {1}{a}}$, entonces este se denota por $a^{-1},$ y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:

(2) ${\begin{array}{l}a^{-1}={\frac {1}{a}}\\a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}\end{array}}$

Observación

$a^{-n}=(a^{-1})^{n}=\underbrace {{\frac {1}{a}}\times \cdots \times {\frac {1}{a}}} _{n}={\frac {1}{\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}.$

División de potencias de igual base

El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor , esto es:

Demostración: ${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m}\cdot a^{-n}$ $=a^{m+(-n)}$ $=a^{m-n}$

De forma extendida aparecen 3 casos:

$={\frac {\overbrace {a\times \cdots \times a} ^{m}}{\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}}}$ $={\begin{cases}{\begin{matrix}{\frac {\overbrace {{\cancel {a}}\times \cdots \times {\cancel {a}}} ^{n}\times \overbrace {a\times \cdots \times a} ^{m-n}}{\underbrace {{\cancel {a}}\times \cdots \times {\cancel {a}}} _{n}}}=a^{m-n}&{\text{Si }}m>n\\{\frac {\overbrace {{\cancel {a}}\times \cdots \times {\cancel {a}}} ^{m}}{\underbrace {{\cancel {a}}\times \cdots \times {\cancel {a}}} _{n}}}=1&{\text{Si }}m=n\\{\frac {\overbrace {{\cancel {a}}\times \cdots \times {\cancel {a}}} ^{m}}{\underbrace {{\cancel {a}}\times \cdots \times {\cancel {a}}} _{m}\times \underbrace {a\times \cdots \times a} _{n-m}}}={\frac {1}{a^{n-m}}}&{\text{Si }}m<n\end{matrix}}\end{cases}}$

Ejemplo:

${\frac {9^{5}}{9^{3}}}=9^{5-3}=9^{2}$

Potencia de exponente 0

Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:

$1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}\,$

El caso particular de $0^{0}\,$, en principio, no está definido Plantilla:Cr (ver cero).

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.

Demostración: $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}=$$\left(a\cdot b^{-1}\right)^{n}=$ $a^{n}\cdot b^{-n}=$ ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

O de forma extendida:

$=\underbrace {{\frac {a}{b}}\times \cdots \times {\frac {a}{b}}} _{n}={\frac {a\times \cdots \times a}{b\times \cdots \times b}}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

---

Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo $a^{-1}$, por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1)

quedando así prohibida la notación (2)

como valor numérico:

$0^{1}=0$

$0^{n}=\underbrace {0\times \cdots \times 0} _{n}=0.$

Formas de resolución

Depende del tipo de ecuación exponencial del que se trate, hay diversas formas de resolverla, por su nivel de complejidad. Las más fáciles son por simple inspección, es decir se descompone la parte numérica en sus factores primos y aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad. A continuación se brindan algunos ejemplos.

Igualación de bases

Sea la ecuación del siguiente ejemplo:

$2^{x+1}=16\,$

Si el primer miembro sólo tiene un término y el término del segundo miembro es potencia de la base del término del primer miembro, entonces el segundo miembro, se expresa como potencia de la base de la expresión que contiene la incógnita. En el ejemplo 16 es potencia de la base dos de $2^{x+1}$.

$2^{x+1}=2^{4}\,$

Luego, por la siguiente propiedad: $a^{x}=a^{y}\Rightarrow x=y\,$, tenemos: $x+1=4\,$

$x=4-1\,$

$x=3\,$

• Un ejemplo algo variado

4^2x-1 = 2^x

Puesto que 4 = 2² en la ecuación dada resulta

2^2(2x-1) = 2^x

Finamente, resolviendo 2(2x-1) = x, se obtiene x = 2/3.

Cambio de variables

El artículo principal de esta categoría es Cambio de variable.

Sea la ecuación exponencial del ejemplo:

$2\cdot 7^{x+2}+7^{x}=33957\,$

Vamos a escribirla así:

$2\cdot (7^{x})\cdot 7^{2}+(7^{x})=33957$

Aplicamos el cambio de variable, y escribimos:

$7^{x}=a\,$

Ahora, al reemplazar, se tiene:

$2a\cdot 49+a=33957\,$

Despejamos $a\,$:

$99a=33957\,$

$a={\frac {33957}{99}}\,$

$a=343\,$

Ahora, recordemos que $a=7^{x}\,$, luego:

$343=7^{x}\,$

$7^{3}=7^{x}\,$

$3=x\,$

Pasando a una algebraica

Resolver la ecuación

2·9^x - 3^x+1 -2 = 0

Puesto que la ecuación propuesta puede ser escrita en la forma

2·(3^x)² - 3·3^x - 2 = 0

Luego con la sustitución y = 3^x, se tiene respecto a y la ecuación algebraica de segundo grado

2y² - 3y -2 = 0.

Resolviendo resulta y = 2; y = -1/2. La última solución es imposible, pues 3^x > 0. En tal caso 3^x = 2;

x = log₃2 = ln2  : ln3 = 0.6309 ( logaritmos naturales);

Usando logaritmos

El artículo principal de esta categoría es logaritmo binario.

Sea la ecuación:

$4^{x+1}\cdot 8^{x}=4096\,$

Usamos logaritmo a ambos lados de la ecuación:

$\log _{2}(4^{x+1}\cdot 8^{x})=\log _{2}4096$

Por propiedades de los logaritmos, tenemos:

$\log _{2}(4^{x+1})+\log _{2}(8^{x})=\log _{2}4096$

$(x+1)\cdot \log _{2}4+x\cdot \log _{2}8=\log _{2}4096\,$

Operando:

$(x+1)\cdot 2+x\cdot 3=12\,$

$2x+2+3x=12\,$

$5x=10\,$

De donde sale:

$x=2\,$

Otra manera de resolver

Sea la ecuación 4^x+1·8^x = 4096, pasando las bases de potencia: 4 y 8 a potencias de 2, como también 4096 = 2¹², se tiene

2^2x+2·2^3x = 2¹², igualando los exponentes, resulta

(2x +2) + 3x = 12, finalmente

5x = 10; por tanto x = 2.

Ecuaciones exponenciales más complejas

Cuando la incógnita se encuentra en el índice de una raíz, también se la considera exponencial, ya que sólo basta escribirla como exponente fraccionario. Sea la ecuación:

${\sqrt[{3x+1}]{2^{x+2}}}=8$

Vemos que la variable se encuentra también en el exponente de una raíz. Por las propiedades de la radicación, vamos a escribirla así:

$2^{\frac {x+2}{3x+1}}=8\,$

Aplicamos el método de igualación de bases:

$2^{\frac {x+2}{3x+1}}=2^{3}\,$

O sea:

${\frac {x+2}{3x+1}}=3\,$

Operando, obtenemos:

$x=-{\frac {1}{8}}\,$