Definición.

El ángulo, es una magnitud física adimensional que se define como la razón entre la longitud del arco de circunferencia trazado entre dos semirrectas y su distancia al centro o vértice de las mismas que lo limitan. Esta relación nos da una idea de la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.

Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.

El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados.

Definiciones Alternativas

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:

Forma geométrica: Se le llama "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Definiciones clásicas

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Región angular

Se denomina región angular cada una de las dos partes en que queda dividido el plano por un ángulo.^[1]

Amplitud.

Amplitud de un ángulo

Se llama amplitud de un ángulo a la medida de este.^[1]

Unidades de amplitud

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)

1{\text{ vuelta}}=2\pi \;\mathrm {rad}

Grado sexagesimal

1{\text{ vuelta}}=360^{\circ }

Grado centesimal

1{\text{ vuelta}}=400^{\rm {g}}

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Equivalencias

La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°. Por tanto

1 radián = 57.29577951... grados sexagesimales y

1 grado sexagesimal = 0.01745329252... radianes.

La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200^g

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Radianes	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2π/3	3π/4	5π/6	π	7π/6	5π/4	4π/3	3π/2	5π/3	7π/4	11π/6	2π

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

El radián tiene una unidad derivada llamada radián por segundo (rad/s), que corresponde a la magnitud [[velocidad angular. Esta unidad tiene una equivalencia con las rpm. Las equivalencias se pueden calcular fácilmente haciendo la siguiente relación:

${\rm {rpm={\frac {rev}{min}}={\frac {2\pi \ rad}{60\ s}}}}$ , que simplificada es: ${\rm {rpm={\frac {\pi }{30}}{\frac {rad}{s}}}}$ , o bien: ${\rm {{\frac {rad}{s}}={\frac {30}{\pi }}\ rpm}}$ .

Es decir que, para pasar una cantidad x de rpm a rad/s tenemos que multiplicarla por π/30:

$x{\rm {\ rpm\cdot {\frac {{\frac {\pi }{30}}\ rad/s}{rpm}}=}}$ $\;x\cdot {\frac {\pi }{30}}{\rm {\ rad/s=}}$ $\;x'{\rm {\ rad/s}}$

Análogamente, para pasar una cantidad y de rad/s a rpm tenemos que multiplicarla por 30/π:

$y{\rm {\ rad/s\cdot {\frac {{\frac {30}{\pi }}\ rpm}{rad/s}}=}}$ $\;y\cdot {\frac {30}{\pi }}{\rm {\ rpm=}}$ $\;y'{\rm {\ rpm}}$

Relación entre radianes y grados sexagesimales

Se parte de la base de que una circunferencia completa tiene $2\pi$ radianes, y que una circunferencia tiene 360° sexagesimales, luego tenemos:

{\rm {{360}\;{grados}={2\pi }\;{radianes}}}

{\rm {{180}\;{grados}={\pi }\;{radianes}}}

Haciendo una regla de tres simple se llega a que el factor de conversión de grados sexagesimales a radianes es:

{\frac {\pi }{180}}\cdot {\rm {\frac {radianes}{grados}}}

Luego tenemos que, para un ángulo x dado en grados, su equivalente X en radianes es:

X=x\cdot {\frac {\pi }{180}}\cdot {\rm {\frac {radianes}{grados}}}

y viceversa (si tenemos que, para un ángulo X dado en radianes, su equivalente x en grados es):

x=X\cdot {\frac {180}{\pi }}\cdot {\rm {\frac {grados}{radianes}}}

Conversión de ángulos comunes

Unidades	Valores
Revolución	0	${\tfrac {\tau }{12}}$	${\tfrac {\tau }{8}}$	${\tfrac {\tau }{6}}$	${\tfrac {\tau }{4}}$	${\tfrac {\tau }{2}}$	${\tfrac {3}{4}}\tau$	$1\tau \,$
Grados sexagesimales	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radianes	0	${\tfrac {\pi }{6}}$	${\tfrac {\pi }{4}}$	${\tfrac {\pi }{3}}$	${\tfrac {\pi }{2}}$	$\pi \,$	${\tfrac {3\pi }{2}}$	$2\pi \,$
Grados centesimales	0^g	${\tfrac {100^{\rm {g}}}{3}}$	50^g	${\tfrac {200^{\rm {g}}}{3}}$	100^g	200^g	300^g	400^g

Clasificación de Ángulos.

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.

Tipo	Descripción
Ángulo nulo	Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, es decir, de 0°.
Ángulo agudo	Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de ${\frac {\pi }{2}}$ rad. Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100^g (grados centesimales).
Ángulo recto	Un ángulo recto es de amplitud igual a ${\frac {\pi }{2}}$ rad. Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100^g centesimales). Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso	Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a ${\frac {\pi }{2}}$ rad y menor a $\pi \,$ rad. Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100^g y menos de 200^g centesimales).
Ángulo llano	El ángulo llano tiene una amplitud de $\pi \,$ rad. Equivalente a 180° sexagesimales (o 200^g centesimales).
Ángulo oblicuo	Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto. Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Ángulo completo o perigonal	Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de $2\pi \,$ rad. Equivalente a 360° sexagesimales (o 400^g centesimales).

Ángulos Coterminales

Les llamamos así, a los ángulos que tienen que el mismo lado final. Pueden ser en rotación contraria al ángulo dado o con una rotación mayor de 360°.

Ángulos convexo y cóncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud)

Tipo	Descripción
Ángulo convexo o saliente	Es el que mide menos de $\pi \,$ rad. Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0^g y menos de 200^g centesimales).
Ángulo cóncavo, reflejo o entrante	Es el que mide más de $\pi \,$ rad y menos de $2\pi \,$ rad. Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200^g y menos de 400^g centesimales).

Relaciones entre Ángulos

En función de su posición

Ángulos adyacentes

Los que tienen un vértice y un lado común, y semirrectas opuestas, pero no tienen ningún punto interior común, y suman 180°.

Ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer ningún punto interior en común.^[2]^[3]^[4]

Ángulos consecutivos

Tienen un lado y el vértice común.

Ángulos opuestos

Aquellos por el vértice y cuyos lados son semirrectas opuestas.

En geometría euclidiana dadas dos rectas r y s, del plano, que se cortan en el punto P, dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro ángulo.

En la figura los ángulos a, c y b, d son opuestos por el vértice. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

En función de su amplitud

Ángulos congruentes

aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo.

Los ángulos opuestos son congruentes debido a que una rotación de 180° sobre su vértice hace coincidir uno y el otro.

Los ángulos $\alpha$ y $\beta$ son congruentes y opuestos por el vértice.
Una recta que corta dos paralelas generan ángulos congruentes.
Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.

Ángulos complementarios

aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°.

Los ángulos complementarios son aquellos ángulos cuyas medidas suman 90° (grados sexagesimales). Si dos ángulos complementarios son consecutivos, los lados no comunes de los dos forman un ángulo recto.

Así, para obtener el ángulo complementario de α, teniendo α una amplitud de 70°, se restará α de 90°:

β = 90° – 70º = 20º

el ángulo β (beta) es el complementario de α (alfa)

Sabiendo esto, dichos ángulos formarán siempre un triángulo rectángulo puesto que los ángulos en un triángulo rectángulo son uno de 90º y los otros dos deben sumar 90 (180º(grados totales de un triángulo)-90º=90º). Por tanto, el seno de α es igual al coseno de β y el seno de β igual al coseno de α puesto que pertenecen al mismo triángulo rectángulo.

La diagonal de un rectángulo también configura ángulos complementarios(90°) con los lados adyacentes.

Ángulos suplementarios

aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°.

Dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ son ángulos suplementarios, si suman 180° (grados sexagesimales).

Un ángulo es o tiene suplementario si es menor que 180º.

El valor de 180º es el mismo que dos ángulos rectos, $\pi$ rad o $200^{g}$ grados centesimales.

Método de obtención

Aritmético

Para obtener el ángulo suplementario $\beta$ de un determinado ángulo $\alpha$ , se restará $\alpha$ a 180°, de manera que:

\beta =180^{0}-\alpha

Propiedades

Si dos ángulos son suplementarios de otros dos ángulos congruentes, también son congruentes entre sí.
Los senos de los ángulos suplementarios son los mismos, por ejemplo:

\sin \alpha =\sin(180^{\circ }-\alpha )

\sin \alpha =\sin(\pi -\alpha )

\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }

Los cosenos de los ángulos suplementarios son de igual valor absoluto, pero de signo inverso, como muestran los siguientes ejemplos:

\cos \alpha =-\cos(180^{\circ }-\alpha )

\cos \alpha =-\cos(\pi -\alpha )

\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }

Ángulos conjugados

aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.

Dos ángulos conjugados con vértices coincidentes, tendrán sus lados comunes.

Así, para obtener el ángulo conjugado de β que tiene una amplitud de 110°, se restará β de 360°:

α = 360°–110° = 250°

el ángulo α (alfa) es el conjugado de β (beta).

360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o 400 grados centesimales.

Cuando dos rectas son cortadas por una tercera en distindo punto:^[5]

Ángulos alternos

ángulos dispuestos a distinto lado de una recta que corta otras dos pero que no comparten lado.

\alpha

o

\gamma

es alterno a

\beta '

o a

\delta '

\beta

o

\delta

es alterno a

\alpha '

o a

\gamma \,'

y viceversa.

Ángulo alternos internos

ángulos comprendidos entre dos rectas pero situados a distinto lado de la recta cortante.

\gamma

es alterno interno a

\beta '

\delta

es alterno interno a

\alpha '

Ángulo alternos externos

ángulos no comprendidos entre dos rectas pero situados a distinto lado de la recta que corta.

\alpha

es alterno externo a

\delta '

\beta

es alterno externo a

\gamma \,'

Ángulos correspondientes

formados por dos paralelas y una transversal. Se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la transversal y uno pertenece a la región interior y otro a la región exterior. Son congruentes.

Operaciones con Ángulos

Suma de ángulos

Gráfica: La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales.

suma

Numérica:

1 Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

solución

2 Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

operaciones

3 Se hace lo mismo para los minutos.

operaciones

2 Resta de ángulos

Gráfica: La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del ángulo mayor y la del ángulo menor.

diferencia

Numérica:

1 Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

operaciones

2 Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

operaciones

3 Hacemos lo mismo con los minutos.

operaciones

3 Multiplicación de ángulos

Gráfica: La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos iguales al dado como indique el número.

producto

Numérica:

1 Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número.

operaciones

2 Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

3 Se hace lo mismo para los minutos. operacionesoperaciones

4 División de ángulos

Gráfica: La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número da como resultado el ángulo original.

División de un ángulo por un número:4 =ángulo Numérica: Dividir 37º 48' 25 entre 5

1 Se dividen los grados entre el número.

operaciones

2 El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.

operaciones

3 Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.

operaciones

4 Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.

operaciones

Trisección del Ángulo

La trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de las matemáticas de la antigua Grecia. El problema consiste en encontrar un ángulo cuya medida sea un tercio de otro ángulo dado, utilizando únicamente regla y compás.

En la figura, se usa la trisectriz (curva algebraica), para dividir el ángulo $\angle AOB$ en su tercera parte, el ángulo $\angle BPQ$ .

El problema es sencillo en algunos casos (por ejemplo, si el ángulo dado es recto, puede construirse un ángulo que sea la tercera parte del mismo), pero es imposible de resolver en general, como lo demostró Pierre Wantzel en su artículo Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas de 1837.^[6] Su demostración utiliza la teoría de Galois.

La trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de la antigüedad griega que sobrevivió sin ser resuelto hasta el siglo XIX, junto con la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo.^[7] Este último fue resuelto también por la negativa por Wantzel en el mismo artículo. El primero también tiene una solución negativa, dada por Carl Louis Ferdinand von Lindemann en 1882.

El problema de la trisección del ángulo es una generalización del problema de la bisección del ángulo. Pero mientras el segundo se resuelve utilizando la bisectriz (que puede construirse con regla y compás), el primero no.

↑ ^1,0 ^1,1 Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0.
↑ Principios y ejercicios de geometría. (Acisclo Fernández Vallín y Bustillo, 1864) pág. 12.
↑ Geometria: El Encanto de la Forma. pág. 12.
↑ Notas de clase. Geometría en el plano y en el espacio. (Ana Berenice Guerrero G., Univ. Nacional de Colombia) pág. 32.
↑ Diccionario esencial de las ciencias. Espasa. ISBN 84-239-7921-0.
↑ M. L. Wantzel (1837). «Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 1 (2): pp. 366–372. http://visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-16381&Deb=374&Fin=380&E=PDF.
↑ Stillwell, John (2010). «Ruler and compass constructions» (en inglés). Mathematics andits history (Tercera edición). Springer. pp. 26-27.

[c-1] 1,0 ^1,1 Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0.

[2] Principios y ejercicios de geometría. (Acisclo Fernández Vallín y Bustillo, 1864) pág. 12.

[3] Geometria: El Encanto de la Forma. pág. 12.

[4] Notas de clase. Geometría en el plano y en el espacio. (Ana Berenice Guerrero G., Univ. Nacional de Colombia) pág. 32.

[5] Diccionario esencial de las ciencias. Espasa. ISBN 84-239-7921-0.

[6] M. L. Wantzel (1837). «Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 1 (2): pp. 366–372. http://visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-16381&Deb=374&Fin=380&E=PDF.

[7] Stillwell, John (2010). «Ruler and compass constructions» (en inglés). Mathematics andits history (Tercera edición). Springer. pp. 26-27.

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