Matemáticas/Geometría/Funciones trigonométricas

Dado un ángulo $x\in R$, las funciones trigonométricas $x\longmapsto \sin x$ y $x\longmapsto \cos x$ son, respectivamente, las proyecciones sobre los ejes vertical y horizontal de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, uno de cuyos ángulos agudos es precisamente $\displaystyle x$. Para ser más preciso, sean $x\in [0,\pi /2]\subset R$, el triángulo (rectángulo) $\displaystyle OAB$ con vértice $\displaystyle O$ en el origen de coordenadas, el cateto ${\overline {OB}}$ en el eje de las abscisas, y el cateto ${\overline {BA}}$ paralelo al eje de las ordenadas.

Entonces las igualdades $\sin x:={\frac {|BA|}{|OA|}}\ \ ,\ \ \cos x:={\frac {OB}{OA}}$ son válidas, en concordancia con la relación de proporcionalidad de lados en un triángulo que asegura el teorema de Thales.

En el caso en el que el ángulo $\displaystyle x$ no esté en el intervalo $\displaystyle [0,\pi /2]$, se conviene en darle a las dos expresiones definidas anteriormente el signo que tiene la coordenada en los numeradores de dichas expresiones (esto es, $\displaystyle \sin x$ es positivo en el primer y segundo cuadrantes, y $\displaystyle \cos x$ es positivo en el primer y cuarto cuadrantes; negativos ambos en los otros casos). Adicionalmente, si $x\neq \pm \pi /2$, se define $\tan x$ en la forma siguiente: $\tan x:={\frac {|BA|}{|OB|}}={\frac {\sin x}{\cos x}}\ ,$ y ahora el signo de esta función se calcula como el cociente de los signos que tienen $\displaystyle \sin x$ y $\displaystyle \cos x$. Otras funciones trigonométricas útiles son $\cot x:={\frac {|OB|}{|BA|}}={\frac {1}{\tan x}}\ \ ,\ \ \csc x:={\frac {|OA|}{|BA|}}={\frac {1}{\sin x}}\ \ ,\ \ \sec x:={\frac {|OA|}{|OB|}}={\frac {1}{\cos x}}\ ,$ tomando las precauciones necesarias para que los denominadores sean no nulos.