Matemáticas/Geometría/Paralelogramos/Texto completo

Definición

Un paralelogramo es un cuadrilátero convexo cuyos pares de lados opuestos son iguales y paralelos dos a dos

Los paralelogramos son:

El cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud.

El rectángulo, que tiene sus lados opuestos de igual longitud.

El rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud, y dos pares de ángulos iguales.

El romboide, que tiene los lados opuestos de igual longitud y dos pares de ángulos iguales

El paralelogramo propiamente dicho

Propiedades

Conjunto y subconjuntos de la familia de los paralelogramos.Todo lo que no sea cuadrado, rectángulo o rombo es denominado romboide (zona gris).

El conjunto de los paralelogramos reúne en sí a varios subconjuntos de figuras geométricas, todas ellas con lados opuestos iguales y paralelos, por ejemplo los romboides, los rombos, los cuadrados y los rectángulos son todos subconjuntos pertenecientes al conjunto de los paralelogramos. El hecho de que varias figuras con algunas características distintas sean parte de los paralelogramos hace un poco más complejo el mencionar sus propiedades, puesto que existen propiedades que son comunes a toda la familia de paralelogramos, por ejemplo «lados opuestos iguales y paralelos», pero otras propiedades como ser «ejes de simetría de reflexión» pueden ser diferentes para cada subfamilia de paralelogramos.

Por el motivo anterior se mencionarán en primer término, las propiedades comunes a todos los paralelogramos (de cualquier subclase), luego algunas de las propiedades particulares que diferencian a las distintas clases o figuras de la familia, y finalmente algunas propiedades métricas.

Propiedades comunes de los paralelogramos

• Todo paralelogramo tiene cuatro vértices, cuatro lados, además cuatro ángulos interiores (es un subconjunto de los cuadriláteros)
• Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos (por definición), por lo cual nunca se intersectan.
• Los lados opuestos de un paralelogramo son de igual longitud, (congruentes).
• Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales en medida.
• Los ángulos de dos vértices son suplementarios (suman 180°).
• La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo es siempre igual a 360°.
• El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo formado por cualquiera de sus diagonales y los lados contiguos de la figura.
• El área de un paralelogramo es igual a la magnitud (módulo) del producto vectorial de dos lados contiguos, considerados como vectores.
• Todos los paralelogramos son convexos.
• Cualquier recta secante coplanar corta al paralelogramos en dos y solo dos de sus lados.
• Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.
• El llamado «centro» del paralelogramo se encuentra en el punto en que se bisecan sus dos diagonales.
• El «centro» del paralelogramo es también el baricentro del mismo.
• Cualquier recta coplanar que pase por el «centro» de un paralelogramo divide a su superficie en dos partes iguales, o en dos trapecios congruentes. El segmento que pasa por el punto medio se llama mediana, aun en el caso extremo de una diagonal.
• Cualquier recta coplanar que pase por el «baricentro» de un paralelogramo es también «transversal de gravedad» del mismo.
• Cualquier transformación afín no degenerada transforma un paralelogramo en otro paralelogramo.
• Existe un número infinito de transformaciones afines que transforman a un paralelogramo dado en un cuadrado.
• Se puede establecer un homeomorfismo entre un paralelogramo y una circunferencia.
• Una traslación, una rotación de un paralelogramo conservan la forma y el tamaño

Propiedades particulares de distintos paralelogramos

• El paralelogramo «cuadrado», tiene simetría de rotación de orden 4 (90°)
• Los paralelogramos «romboide», «rombo» y «rectángulo», tiene simetría de rotación de orden 2 (180°)
• Si no tiene ningún eje de simetría de reflexión, entonces es un paralelogramo «romboide».
• Si tiene 2 ejes de simetría de reflexión diagonales, entonces es un paralelogramo «rombo».
• Si tiene 2 ejes de simetría de reflexión perpendiculares a sus lados, entonces es un paralelogramo «rectángulo».
• Si tiene 4 ejes de simetría de reflexión, entonces es un paralelogramo «cuadrado».

Algunas propiedades métricas comunes

• El perímetro de un paralelogramo es 2 (a + b), donde a y b son las longitudes de dos lados contiguos cualquiera.
• La suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales (véase la ley del paralelogramo).
• Para calcular el área de un paralelogramo, se puede considerar como una figura compuesta por dos triángulos congruentes y un rectángulo, trazando alturas de los vértices de los ángulos obtusos.

Fórmulas

Fórmulas del paralelogramo
Área	$A\,=\,a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}=\,\left|\left|\,{\overrightarrow {AB}}\,\times \,{\overrightarrow {AD}}\,\right|\right|$ $A\,=\,a\cdot b\cdot \sin \alpha =a\cdot b\cdot \sin \beta ={\frac {e\cdot f\cdot \sin \theta }{2}}$
Altura de a	$h_{a}\,=\,b\cdot \sin \alpha =b\cdot \sin \beta ={\frac {A}{a}}$
Altura de b	$h_{b}\,=\,a\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta ={\frac {A}{b}}$
Diagonales (ley de cosenos)	$f={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}$ $e={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}$
Ángulos	$\alpha =\gamma \;\;\;\;\;\beta =\delta \;\;\;\;\;\beta =180^{\circ }-\alpha$

Cuadrado

Un cuadrado en geometría plana es un cuadrilátero regular; esto es una figura del plano con sus cuatro lados iguales, y sus cuatro ángulos que son de 90º. Sus dos únicas diagonales son de igual longitud y perpendiculares entre sí. Tiene 4 ejes de simetría, cuya intersección es el centro de la figura; dos ejes que pasan perpendicularmente por cada punto medio del par de lados opuestos; otros dos que pasan por vértices opuestos de la figura. En algunas fuentes consideran el cuadrado como un rectángulo de cuatro lados iguales o un rombo con un ángulo recto. O un cuadrado es un cuadrilátero de cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales.

Propiedades

Es el polígono que tiene sus lados opuestos paralelos y, por tanto, es un paralelogramo. Dado que sus cuatro ángulos internos son rectos, es también un caso especial de rectángulo, es un rectángulo equilátero. De modo similar, al tener los cuatro lados iguales, es un caso especial de rombo, es un rombo equiángulo. Cada ángulo interno de un cuadrado mide 90 grados o $\pi /2$ radianes, y la suma de todos ellos es 360° o $2\pi$ radianes. Cada ángulo exterior del cuadrado mide 90° o $\pi /2$ radianes.

Entre los rectángulos que tienen el mismo perímetro, el cuadrado es el que tiene mayor área.

• Sus diagonales se cortan en partes iguales.
• La intersección de sus diagonales es centro de simetría del cuadrado.
• Sus diagonales son iguales.
• Las perpendiculares, trazadas por el centro de simetría, son ejes de simetría del cuadrado.
• Sus diagonales son perpendiculares entre sí, bisectrices de los ángulos cuyos vértices conectan, y ejes de simetría del cuadrado.
• El lado de un cuadrado circunscrito es igual al diámetro de la respectiva circunferencia.
• La diagonal de un cuadrado inscrito es igual al diámetro de la respectiva circunferencia.

Medidas

Perímetro

Cuadrado con círculos inscrito y circunscrito.

Si un cuadrado C tiene lados que miden L, entonces, el perímetro es igual a 4L, pues los cuatro lados son iguales.

Expresión de la diagonal

La longitud de la diagonal se puede calcular mediante el Teorema de Pitágoras:

$d=L{\sqrt {2}}$ y recíprocamente

$L=d{\frac {\sqrt {2}}{2}}$

otro tipo de cuadrado

Área

El área de un cuadrado es el producto de la longitud del lado por sí misma:

$A=L^{2}\,$

donde A el área y L el lado.

El área de un cuadrado es la mitad del cuadrado de la longitud de la diagonal D:

$A={\frac {D^{2}}{2}}\,$

Rectángulo

Rectángulo ABCD.

En geometría plana, un rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados opuestos tienen la misma longitud.

El perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados:

$P=2\cdot b+2\cdot a\,$

El área de un rectángulo es igual al producto de dos de sus lados contiguos:

$A=b\cdot a$

Definición

Un rectángulo es una figura geométrica que posee cuatro ángulos interiores de 90º. Es un paralelogramo, es decir, todos sus lados son paralelos dos a dos.

Propiedades

• Sus lados paralelos son iguales.
• Sus dos diagonales son iguales, y se bisecan mutuamente o se cortan en el punto medio común; (esta característica también lo define). Este punto es el centro de la figura, en el sentido que toda recta que pasa por él, corta al rectángulo en dos puntos equidistantes del centro, por lo que define una simetría respecto a un punto para puntos del rectángulo.
• Se puede pavimentar el plano, repitiendo infinitos rectángulos.
• El rectángulo tiene dos simetrías axiales, respecto a ejes paralelos a sus lados y que pasan por el centro.
• Posiblemente, de modo empírico, en el antiguo Egipto se obtuvo la terna pitagórica 3 - 4 - 5, como medidas de los lados y la diagonal de un rectángulo, y lo usaron en la cuerda del agrimensor de 15 nudos.
• Si se unen los cuatro puntos medios de los cuatro lados, mediante cuatro segmentos, se obtiene un rombo cuya área es la mitad de la del respectivo rectángulo.
• Cualquier rectángulo se puede inscribir en una circunferencia, dos de cuyos diámetros coinciden con las diagonales del rectángulo.
• Usando como base de un triángulo una base del rectángulo y el punto medio de del lado opuesto, como vértice opuesto, resulta un triángulo isósceles de área igual a la mitad de la del rectángulo.
• Empleando como base de cualquier triángulo la base del rectángulo y como vértice opuesto un punto que dista como la altura del rectángulo, se obtiene una familia de triángulos equivalentes y cuyos vértices forman un lugar geométrico: la recta paralela a la base del rectángulo.
• Si se unen los puntos medios M, N; P, Q de sendos lados de un rectángulo, mediante segmentos se genera el rombo MNPQ.

Rectángulos con nombre propio

Rectángulo áureo.

• El cuadrado se puede considerar un caso particular del rectángulo, en el que todos sus lados tienen la misma longitud.
• El rectángulo áureo, también denominado rectángulo de oro o rectángulo Φ, es el rectángulo cuyos lados están en razón áurea. Si b y h son los lados, b/h = Φ. Para construirlo a partir de un cuadrado de lado AB, basta con determinar el punto medio M de uno de los lados AB, y trazar, con centro en el punto M, una circunferencia que pase por uno de los vértices C del lado opuesto.

Véase también: Número áureo

Representación gráfica de un ortoedro que generaliza la construcción de un rectángulo, en el espacio euclídeo tridimensional.

• Rectángulo ${\sqrt {2}}$ (rectángulo raíz de 2), aquel cuya relación entre base y altura es igual a la raíz cuadrada de dos. Si b y h son los lados, b/h = ${\sqrt {2}}$. El interés de este rectángulo radica en que si es dividido en dos mitades, por su lado más largo, los dos nuevos rectángulos obtenidos mantienen exactamente la misma proporción que el original, o sea que son también rectángulos raíz de 2. Es por ello que, entre otros usos, es el formato utilizado para dimensionar las hojas de papel según las normas DIN 476 e ISO 216.

Construcción partiendo del cuadrado: de forma similar al rectángulo áureo, se traza con centro en el punto A, una circunferencia que pase por el vértice opuesto C.

• Doble cuadrado, aquel cuyos lados están en la relación 2:1.
• Pantallas de televisión. Hasta la introducción de los monitores de alta definición, cuya relación [ancho:alto] habitual es [16:9], los sistemas de televisión convencionales utilizaban rectángulos con la proporción [4:3]. Dado que estas proporciones son fijas, basta con conocer la medida de la diagonal (normalmente expresada en pulgadas) para establecer el tamaño de la pantalla.

Rectángulos cruzados

Un cuadrilátero cruzado (es decir, que se interseca a sí mismo) consiste en dos lados opuestos de un cuadrilátero junto con sus dos diagonales (véase antiparalelogramo). Del mismo modo, un rectángulo cruzado es un cuadrilátero cruzado formado por dos lados opuestos de un rectángulo junto con sus dos diagonales. Tiene la misma disposición de vértices que el rectángulo. Aparece como dos triángulos idénticos con un vértice común. La intersección geométrica no se considera un vértice propiamente dicho.

Un cuadrilátero cruzado a veces se asemeja a un lazo de pajarita o a una mariposa. Un marco rectangular de alambre toma la forma de un cuadrilátero cruzado cuando se hacen girar en un espacio tridimensional sus lados cortos en sentido opuesto. Un rectángulo cruzado a veces también se denomina un "ocho angular".

El interior de un rectángulo cruzado puede tener un densidad poligonal de ± 1 en cada triángulo, dependiendo de la orientación (en sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario) con la que se recorrran.

Un rectángulo cruzado no es equiangular. La suma de sus ángulos interiores (dos agudos y dos obtusos), como en cualquier cuadrilátero cruzado, es de 720°.

Un rectángulo y un rectángulo cruzado son cuadriláteros con las siguientes características en común:

• Los lados opuestos tienen la misma longitud.
• Las dos diagonales tienen la misma longitud.
• Tiene dos líneas de simetría de reflexión y simetría rotacional de orden 2 (180°).

Cuadrado, perfecto, y otros rectángulos

Un rectángulo puede ser embaldosado mediante cuadrados, rectángulos, o triángulos. Se dice que el recubrimiento es Perfecto si todas las baldosas son semejantes, tiene un número finito de baldosas, y no hay dos baldosas del mismo tamaño. Si dos de estas baldosas son del mismo tamaño, se dice que el recubrimiento es imperfecto. En un recubrimiento perfecto (o imperfecto) triangulado, los triángulos deben ser rectángulos.

Un rectángulo tiene lados conmensurables sí y solo sí puede ser recubierto por un número finito de cuadrados distintos. Lo mismo es cierto si las baldosas son triángulos isósceles desiguales.

Los recubrimientos de rectángulos con otras formas geométricas que han atraído la mayor atención son los de poliominós no rectangulares congruentes, permitiendo todas las rotaciones y reflexiones. También hay embaldosados ​​mediante poliábolos congruentes.

Rombo

Rombo
Familia	Bipiramidal
Tipo	Cuadrilátero
Lados y vértices	4
Propiedades	convexo, isotoxal

El rombo es un paralelogramo (y por tanto un cuadrilátero) cuyos cuatro lados son de igual longitud y cuyas diagonales se cortan perpendicularmente.

Definiciones equivalentes

Un paralelogramo es un rombo si posee: todos los lados iguales, las diagonales respectivamente perpendiculares, las diagonales son bisectrices de los ángulos del paralelogramo. la recta que une los vértices opuestos es eje de simetría ( el cumplimiento de una de estas propiedades provee como corolario las otras tres restantes).

El rombo cuyos vértices son A, B, C y D, cumple las siguientes relaciones, respecto de sus lados:

• Sus cuatro lados: l, son iguales

${\overline {AB}}={\overline {BC}}={\overline {CD}}={\overline {DA}}=l$

• Sus dos diagonales de respectivas longitudes:

$D_{1}={\overline {AC}}$

$D_{2}={\overline {BD}}$

siendo:

$D_{1}\geq D_{2}$

Propiedades

• Las diagonales son ejes de simetría.

• El punto de intersección O de las diagonales es el incentro del rombo.

• Las diagonales del rombo son perpendiculares entre sí, y satisfacen la relación:

${D_{1}}^{2}+{D_{2}}^{2}=(2l)^{2}=4l^{2}$

• Las dos alturas: h, de un rombo tienen la misma longitud que el diámetro: d, de su circunferencia inscrita:

${\overline {EG}}={\overline {FH}}=h=d$

Si se observan los puntos de contacto de dicha circunferencia sobre dos lados opuestos cualesquiera de rombo se notará que los dos diámetros que unen a dichos puntos son cada uno de ellos paralelo a la respectiva altura y tienen medida exactamente igual a las mismas. Diámetro y alturas son la medida de la separación entre lados paralelos opuestos.

• Sean d₁ una diagonal,d₂ la otra diagonal, α el ángulo correspondiente, a lado del rombo, A el área del rombo, entonces se cumple:

$d_{1}=2asen{\frac {\alpha }{2}},d_{2}=2acos{\frac {\alpha }{2}},A=a^{2}sen\alpha$

• Si se unen los puntos medios H, I, J, K de sendos lados de un rombo usando segmentos de recta, resulta de la reunión de tales segmentos un rectángulo.
• Si se inscriben en los cuatro triángulos, determinados por las diagonales, sendas circunferencias, cada una de estas es tangente , exactamente, a otras dos de ellas. Los cuatro centros de sendas circunferencias determinan, como vértices, un cuadrado, . El radio es $r={\frac {D_{1}D_{2}}{2(2l+D_{1}+D_{2})}}$. El lado del cuadrado de vértices en los centros es 2r.

Área

Hay diversas maneras de calcular el área del rombo:

• El área del rombo es igual al semiproducto de sus diagonales (diagonal mayor y diagonal menor):

$A={\cfrac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{2}}={\cfrac {D_{1}\cdot D_{2}}{2}}$

Viendo el triángulo OBC, rectángulo en O, su área es:

$A_{t}={\cfrac {{\overline {CO}}\cdot {\overline {OB}}}{2}}$

El rombo está formado por cuatro triángulos iguales:

$A_{r}=4\cdot A_{t}=4\;{\cfrac {{\overline {CO}}\cdot {\overline {OB}}}{2}}={\cfrac {2\;{\overline {CO}}\cdot 2\;{\overline {OB}}}{2}}$

Con lo que tenemos el área del rombo como el producto de sus dos diagonales dividido entre dos.

• El área también es igual al producto entre la base y la altura.

$A={\overline {CD}}\cdot {\overline {PB}}=l\cdot h$

siendo l el lado o la base; h la altura del rombo.

El rombo como paralelogramo, su área es el producto de la base por la altura.

• El área del rombo es igual al producto entre dos lados y el seno del ángulo comprendido entre estos.

$A=l^{2}\cdot \sin \alpha$

Partiendo del triángulo PBC rectángulo en P, siendo BC la hipotenusa y PB la altura del rombo, tenemos que:

${\overline {PB}}={\overline {CB}}\cdot \sin \alpha$

Equivalente a:

$h=l\cdot \sin \alpha$

Con lo que queda determinada el área del rombo:

$A=l\cdot h=l\cdot l\cdot \sin \alpha =l^{2}\cdot \sin \alpha$

• Otra forma de hallar el área es a través del producto entre el semiperímetro y el radio del círculo inscrito en el rombomeones

siendo 2l es el semiperímetro de rombo; r el radio del círculo inscrito.

Radio de la circunferencia inscrita

Cálculo del radio de la circunferencia inscripta

$r={\frac {A}{2l}}$

siendo A el área; l la base; r el radio de la circunferencia inscripta del rombo.

Dimensiones del rombo

En un rombo podemos distinguir las siguientes dimensiones:

El lado l:

$l={\overline {AB}}={\overline {BC}}={\overline {CD}}={\overline {DA}}$

Las diagonales: D y d:

$D=D_{1}={\overline {AC}}$

$d=D_{2}={\overline {BD}}$

La altura h:

$h={\overline {EG}}={\overline {FH}}$

El rombo en el comercio y cosas de marca particular

• El logotipo de Mitsubishi, son tres rombos unidos a un punto en común cualquiera.
• La marca de los autos Renault lleva un rombo sin puntas, pero el centro del logotipo está formado también por un rombo.
• En la Televisión Española se indicaba con uno o dos rombos que el programa que empezaba no era apto para menores de 14 o 21 años, respectivamente. Los rombos aparecían durante unos segundos en la esquina superior derecha de la pantalla. La práctica se mantuvo entre 1962 y 1985. También hay que mencionar que esta es la figura que forma las 9 lunetas del logotipo del Canal 9.
• Las pastillas Juanola tienen una reconocible forma romboidal que durante años también fue utilizado para el diseño de su caja contenedora.
• En el juego de naipes, algunas cartas se llaman diamantes , que no son sino figuras en forma de rombo en esquinas opuestas de la correspondiente carta.
• Hay una novela de Europa oriental, que lleva por título Los aviones avanzan en rombo.
• El rombo se puede observar y reflejar por ejemplo en algo sencillo como lo es una cometa o aún una lámpara.
• Sobre las puertas de madera se tallan, encima de las planchas entre los marcos, rombos sobresalientes.

Romboide

Ejemplos de romboides.

El Romboide un paralelogramo que tiene sus ángulos y sus lados iguales dos a dos.

Esta figura recibe un nombre especial (aparte de ser un paralelogramo). El nombre romboide se aplica a otra figura, al cuadrilátero que tiene dos pares de lados consecutivos iguales (véase deltoide).

Propiedades

Un romboide posee las siguientes propiedades:

• Tiene dos pares de lados opuestos, iguales y paralelos entre sí.
• Los ángulos contiguos son ángulos suplementarios.
• Sus diagonales no son perpendiculares.
• 2 ángulos agudos y 2 obtusos
• Es paralelogramo
• Tiene 4 vértices
• La suma de sus ángulos interiores da 360°, ya que es un cuadrilátero

Perímetro

Partiendo de un romboide, de lados a y b, y de altura h respecto a la base a, se puede determinar las siguientes características:

El perímetro de un romboide es:

$Pr=2\,(a+b)$

Que es la suma de todos los lados.

Àrea

El área se obtiene multiplicando la longitud de un lado, $a$, por la distancia al lado opuesto, $h$:

$Sr=a\cdot h$