Matemáticas/Lógica/Proposición

Una expresión que deba ser verdadera o falsa pero que no pueda ser ambas, la llamaremos una proposición.

Ejemplos

1. La expresión La Luna es redonda es una proposición cuyo valor de verdad es verdadera, pues es cierto que la Luna es redonda.
2. La expresión 2+3=5 es una proposición cuyo valor de verdad es verdadero, pues en el sistema numérico decimal es un resultado válido.
3. La expresión 1+1=3 es una proposición cuyo valor de verdad es falso, pues es sabido que en el sistema numérico decimal, 1+1=2.

En los tres ejemplos anteriores vimos oraciones declarativas de las cuales se puede afirmar que son o verdaderas o falsas. Luego, tales oraciones son proposiciones.

Otros ejemplos

Veamos ejemplos de oraciones que no son proposiciones:

1. La oración $3-x=5$ es declarativa, pero no es una proposición, pues de ella, a menos que conozcamos el valor de $x$, no sabemos su valor de verdad con certeza. Ahora, si $x=-2$, podríamos decir que la oración es una proposición con valor de verdad verdadero.
2. La oración ¿Habla usted español? no es declarativa, pues es interrogativa. Por tanto, no puede ser una proposición, pues no se le puede asignar ningún valor de verdad.
3. La oración Toma dos aspirinas no es declarativa, pues es una orden, lo que la convierte en una oración imperativa. Luego, tampoco puede ser asociada a algún valor de verdad, por lo que no puede ser una proposición.
4. La oración ¡Hace frió hoy! no es declarativa, pues la oración puede variar con respeto al tiempo y/o persona.

Proposiciones abiertas

Existen algunas afirmaciones de las cuales no podemos decir inicialmente si son falsas o verdaderas por intervenir en ellas una variable; se les llaman proposiciones abiertas, son expresiones que contienen una variable y que al ser sustituidas dicha variable por un valor determinado, hace que la expresión se convierta en una proposición, pero sin alterar el orden. La proposición abierta es una expresión que tiene significado pero contiene por lo menos un término variable o indeterminado.

Dominio de la variable

El conjunto que consiste de los elementos que pueden reemplazar a la variable de una proposición abierta, lo llamaremos el Dominio de la variable. El conjunto formado por aquellos elementos del dominio de la variable que hacen verdadera la proposición abierta p(x), lo llamaremos el conjunto solución de la proposición abierta p(x).

Proposición conjuntiva

A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo conjunción ($\land$), la llamaremos proposición conjuntiva; p $\land$ q, teniendo un valor de verdad verdadero, sólo cuando ambas componentes sean verdaderas, es decir, si al menos una de las componentes es falsa, entonces la proposición p $\land$ q es falsa.

Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces definiremos el conjunto A intersección B, que anotaremos por A ∩ B al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al B, o sea, los elementos que tienen en común:

A ∩ B = { x / x ∈ A $\land$ x ∈ B }
Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de p(x) ($\land$) q(x) es P ∩ Q.
El conjunto vacío que anotaremos Ø es el conjunto que no tiene elementos.
Pudiéndose anotar: Ø = { x / x ∈ A $\land$ x ∉ A }
Tabla de la verdad

p	q	p $\land$ q
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Proposición disyuntiva

Para indicar que dos proposiciones están conectadas con la letra "o" se utiliza el símbolo $\lor$ , llamado conectivo disyuntivo. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo disyunción ($\lor$), la llamaremos proposición disyuntiva p $\lor$ q. p $\lor$ q tendrá un valor de verdad falso sólo cuando ambas componentes sean falsas, es decir, si al menos una de las componentes es verdadera, entonces p $\lor$ q es verdadera.

Sean A y B dos conjuntos, entonces definimos el conjunto A unión B, que anotaremos por A ∪ B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. A ∪ B = { x / x ∈ A $\lor$ x ∈ B }

Un elemento del resultado puede pertenecer a uno solo de los dos conjuntos o a los dos conjuntos dados, pero en este caso dicho elemento se considera una sola vez. Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de p(x) $\lor$ q(x) es P ∪ Q.

Implicación o Condicional

Para indicar que dos proposiciones están conectadas, la primera implicando la segunda se utiliza el símbolo $\Rightarrow$ , llamado conectivo condicional, la primera proposición es llamada antecedente o hipótesis y la segunda es consecuente o conclusión. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo condicional, le llamaremos proposición condicional. p $\Rightarrow$ q tendrá un valor de verdad falso solamente cuando el antecedente (p) es verdadero y el consecuente (q) es falso; en los demás casos diremos que p $\Rightarrow$q es verdadero. Entonces la implicacion resulta de que ambos tienen que ser iguales para que sea verdadero, de lo contrario seria falso....

Bicondicional, doble implicación

A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo bicondicional ($\Leftrightarrow$), la llamaremos proposición bicondicional.
Recordemos que p $\Leftrightarrow$ q significa ( p $\Rightarrow$ q ) $\land$ ( q $\Rightarrow$p ) Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p $\Leftrightarrow$ q es verdadera.
Y si p y q tienen valor de verdad opuestos, entonces p $\Leftrightarrow$ q es falsa.

La proposición$\forall \,$ x, p(x) $\Leftrightarrow$ q(x) es verdadera si y solo si P ⊂ Q y Q ⊂ P