Matemáticas/Matrices/Multiplicación

Ya vimos en los temas anteriores que se pueden extender las operaciones para los números reales a los sistemas con vectores y matrices, en cuanto a la multiplicación se puede extender en el producto escalar por matriz y el producto entre matrices.

Definición

Sí $\mathbb {A} \,$ es una matriz de n x m, $\mathbb {A} =\left[U_{1}\ U_{2}\ ...\ U_{m}\right]$, y $\mathbb {B} \,$ es una matriz de m x k, $\mathbb {B} =\left[V_{1}\ V_{2}\ ...\ V_{k}\right]$, el producto $\mathbb {A} *\mathbb {B} \,$ es la matriz de n x k, $\mathbb {A} *\mathbb {B} =\left[AV_{1}\ AV_{2}\ ...\ AV_{k}\right]$ .

Cálculo del producto de matrices

Si $\mathbb {A} \,$ es una matriz de dimensiones m x r y $\mathbb {B} \,$ otra matriz de dimensiones r x n, entonces para calcular el elemento que está en el renglón i-ésimo y la columna j-ésima de $\mathbb {A} *\mathbb {B} \,$ y que se denomina $c_{ij}\,$ se toma el renglón i-ésimo de la matriz A y la columna j-ésima de B. Se multiplican los elementos correspondientes del renglón y la columna y después se suman los productos. Esta expresión equivale a:

$c_{(i,j)}=a_{(i,1)}b_{(1,j)}+a_{(i,2)}b_{(2,j)}+a_{(i,3)}b_{(3,j)}+...+a_{(i,r)}b_{(r,j)}\,$

Seguidamente, se desarrolla un ejemplo con dos matrices de 2 x 2. Sean las siguientes matrices:

$\mathbb {A} ={\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}};\mathbb {B} ={\begin{bmatrix}7&9&6\\3&4&5\end{bmatrix}}$

De acuerdo a lo anterior, el producto se calcula así:

$\mathbb {A} *\mathbb {B} ={\begin{bmatrix}(2\cdot 7)+(3\cdot 3)&(2\cdot 9)+(3\cdot 4)&(2\cdot 6)+(3\cdot 5)\\(4\cdot 7)+(5\cdot 3)&(4\cdot 9)+(5\cdot 4)&(4\cdot 6)+(5\cdot 5)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}23&30&27\\43&56&49\end{bmatrix}}$

Como podemos observar, el número de columnas de $\mathbb {A} \,$ debe corresponder al número de renglones que haya en $\mathbb {B} \,$ para que el producto de las matrices esté definido. También, la definición de $\mathbb {A} *\mathbb {B} \,$ muestra que la matriz producto tiene idéntica cantidad de filas o renglones que $\mathbb {A} \,$ y de columnas que $\mathbb {B}$.

Cálculo parcial del producto de matrices

En ocasiones, no es necesario calcular todos los elementos de un producto de matrices, sino una fila o una columna determinada. Para ello, supondremos que existen dos matrices $\mathbb {A} \,$ y $\mathbb {B} \,$ de dimensiones m x r y r x n, respectivamente. Si se desea calcular los elementos de la fila i-ésima de la matriz producto, se deberá tomar de la matriz $\mathbb {A} \,$ únicamente la fila i-ésima y multiplicarla por la matriz $\mathbb {B} \,$. Esto se representa así:

$\mathbb {A} _{i}*\mathbb {B} ={\begin{bmatrix}a_{(i,1)}&a_{(i,2)}&\dots &a_{(i,r)}\end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}b_{(1,1)}&b_{(1,2)}&\dots &b_{(1,n)}\\b_{(2,1)}&b_{(2,2)}&\dots &b_{(2,n)}\\\dots &\dots &\dots \\b_{(r,1)}&b_{(r,2)}&\dots &b_{(r,n)}\end{bmatrix}}=$

$={\begin{bmatrix}c_{(i,1)}&c_{(i,2)}&\dots &c_{(i,r)}\end{bmatrix}}$

En el caso de los elementos de la columna j-ésima de la matriz producto, se deberá tomar de la matriz $\mathbb {B} \,$ únicamente la columna j-ésima y multiplicarla por la matriz $\mathbb {A} \,$:

$\mathbb {A} *\mathbb {B} _{j}={\begin{bmatrix}a_{(1,1)}&a_{(1,2)}&\dots &a_{(1,n)}\\a_{(2,1)}&a_{(2,2)}&\dots &a_{(2,n)}\\\dots &\dots &\dots \\a_{(r,1)}&a_{(r,2)}&\dots &a_{(r,n)}\end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}b_{(1,j)}\\b_{(2,j)}\\\dots \\b_{(r,j)}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{(1,j)}\\c_{(2,j)}\\\dots \\c_{(r,j)}\\\end{bmatrix}}$

En ambos casos, cada elemento de la fila i-ésima y columna j-ésima de la matriz producto es calculado así:

$c_{(i,j)}=a_{(i,1)}b_{(1,j)}+a_{(i,2)}b_{(2,j)}+a_{(i,3)}b_{(3,j)}+...+a_{(i,r)}b_{(r,j)}\,$

Propiedades del producto entre matrices

1. $A(BC)=(AB)C\,$ Propiedad asociativa.
2. $A(B+C)=AB+AC\,$ Propiedad distributiva izquierda.
3. $(B+C)A=BA+CA\,$ Propiedad distributiva derecha.
4. $r(AB)=(rA)B=A(rB)\,$ Para cualquier $r\in \mathbb {R}$.
5. $I_{m}A=A=AI_{n}\,$ Identidad de la multiplicación entre matrices. Las matrices $I_{m}\,$ e $I_{n}\,$ denotan a la Matriz identidad.

Bibliografía

1. Apuntes de clase de Álgebra Lineal. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
2. ANTON, Howard. Introducción al álgebra lineal. Editorial Limusa, México, 1985. ISBN 968-18-0631-X
3. LAY, David. Álgebra lineal y sus aplicaciones. Pearson Educación, México, 2007. ISBN 970-26-0906-2