Matemáticas/Precálculo/Números y polinomios

Polinomio, en matemáticas, se denomina a la suma de varios monomios, llamados términos del polinomio. Es una expresión algebraica constituida por una o más variables, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos. El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio.

La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:

por ejemplo: $p(x)=x^{3}+x^{2}-x+2$

Se denomina grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo componen.

Funciones polinómicas

Las funciones polinómicas son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son una clase de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).

A las funciones polinómicas de

-grado 0 se les llama funciones constantes

-grado 1 se les llama funciones lineales,

-grado 2 se les llama funciones cuadráticas,

-grado 3 se les llama funciones cúbicas.

Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.

En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.

Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en interpolación spline y gráficos por ordenador.

Definición algebraica

Para a0, …, an constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero, para n > 0, entonces un polinomio de grado n en la variable x es un objeto de la forma

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.