Matemáticas/Teoría de anillos/Extensiones de Cuerpos

Definición.

Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,·) es un cuerpo y (K,+,·) es un cuerpo con la restricción a K de las operaciones + y · en L. Si L es extensión sobre K se denota L:K o L/K.

Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo

• Si L es una extensión de K, entonces L es un espacio vectorial sobre K.

En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo, $(L,+)$ es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares $\cdot :K\times L\longrightarrow L$ como una restricción a $K\times L$ del producto en $\cdot :L\times L\longrightarrow L$. De esta forma es inmediato que se cumple que:

• $a\cdot (\alpha +\beta )=(a\cdot \alpha )+(a\cdot \beta )$,

• $(a+b)\cdot \alpha =(a\cdot \alpha )+(b\cdot \alpha )$,

• $(a\cdot (b\cdot \alpha ))=(a\cdot b)\cdot \alpha$,

• $1\cdot \alpha =\alpha$,

cualesquiera que sean $a,b\in K$ y $\alpha ,\beta \in L$. Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en $L$ y a que $K\subset L$, la tercera se debe a que el producto es asociativo en $L$, y la cuarta se debe a que $K$ es subcuerpo de $L$, por lo que el elemento unidad de $L$ es el elemento unidad de $K$.

Extensión simple

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El conjunto $K(\alpha ):=\left\{{\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}:f,g\in K[x],g(\alpha )\neq 0\right\}$. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de $K$, es subcuerpo de $L$, y de hecho es la menor extensión de $K$ que contiene a $\alpha$. Se le denomina extensión generada por α sobre $K$.

Extensiones algebraicas y trascendentes

Teorema de Kronecker.

Sea $K$ un cuerpo y $p\in K[x]$ un polinomio irreducible, entonces existe alguna extensión $L:K$ de manera que $p$ tiene alguna raíz en $L$.

Homomorfismo evaluación

La función $\beta :K[x]\longrightarrow K(\alpha )$ que a cada polinomio $p(x)\in K[x]$ le hace corresponder su evaluación en $\alpha$, i.e., $\beta (p)=p(\alpha )$. Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Extensión algebraica

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Una extensión $L:K$ se dice que es algebraica si todo elemento $\alpha \in L$ es algebraico sobre $K$.

Elementos algebraicos

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Supongamos que existe algún polinomio $p\in K[x]$ que tiene a $\alpha$ por raíz.

En esta situación ($\ker(\beta )\neq \{0\}$, o equivalentemente, existe algún $p\in K[x]$ irreducible con ${\frac {K[x]}{(p)}}\cong K(\alpha )$) se dice que $\alpha$ es algebraico sobre $K$.

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y sólo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Polinomio mónico irreducible

Si $\alpha$ es un elemento algebraico sobre el cuerpo $K$ de manera que $\alpha \notin K$, el polinomio $p$ que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., $\ker \beta =(p)$) es irreducible. Dividiendo $p$ por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable $x$) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por $m_{\alpha }^{K}$ y se denomina polinomio mónico irreducible de $\alpha$ respecto de $K$.

Claramente, $K(\alpha )\cong {\frac {K[x]}{(m_{\alpha }^{K})}}$.

Extensión trascendente

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Una extensión $L:K$ se dice que es trascendente si existe algún elemento $\alpha \in L$ que sea trascendente sobre $K$.

Elementos trascendentes

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Si el ker$(\beta )=\{0\}$, será $\beta$ un monomorfismo. En ese caso, $K(x)$ es isomorfo a $K(\alpha )$.

Se dirá que el elemento $\alpha$ es trascendente sobre $K$ y que $K(\alpha )$ es una extensión trascendente sobre $K$. Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en $K$ que tenga por raíz a $\alpha$ (es decir, si $p\in K[x]$, entonces $p(\alpha )\neq 0$).

Grado de una extensión

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Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de $L$ como espacio vectorial sobre $K$, denotado por $\operatorname {dim} _{K}(L)$. Se denomina grado de la extensión $L:K$ a la dimensión de $L$ como $K$-espacio vectorial: $[L:K]=\operatorname {dim} _{K}(L)$.

Tomemos varios ejemplos:

K = $\mathbb {Q}$ el cuerpo de los racionales y L = $\mathbb {R}$ el cuerpo de los reales; $\mathbb {R}$ visto como espacio vectorial sobre $\mathbb {Q}$, es de dimensión infinita, es decir, $[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=\infty$.

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de $\mathbb {R}$ sobre $\mathbb {Q}$ fuese finita, $\mathbb {R}$ sería isomorfo a $\mathbb {Q} ^{n},n\in \mathbb {N}$, lo que no es posible porque $|\mathbb {Q} ^{n}|=|\mathbb {Q} |=|\mathbb {N} |<|\mathbb {R} |$.

Si K = $\mathbb {Q}$, el cuerpo de los racionales y L = $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$, el menor cuerpo que contiene a la vez $\mathbb {Q}$ y √2, claramente $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ es una extensión algebraica de $\mathbb {Q}$, ya que ${\sqrt {2}}$ es raíz del polinomio $x^{2}-2$.

Al mismo tiempo:

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong \mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)$

ya que el ideal $(x^{2}-2)$ es el núcleo del morfismo $\beta :\mathbb {Q} [x]\longrightarrow \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$, claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.

Además $[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}):\mathbb {Q} ]=2$, es decir, la dimensión de $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ como espacio vectorial sobre $\mathbb {Q}$ es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a √2 como raíz: $x^{2}-2$.

En general:

$[\mathbb {K} (\alpha ):\mathbb {K} ]=n$ si $n$ es el grado del polinomio mónico e irreducible en $\mathbb {K} [x]$ que tiene a $\alpha$ como raíz, donde $\mathbb {K}$ es un cuerpo y $\mathbb {K} [x]$ son los polinomios con coeficientes en $\mathbb {K}$.