Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Grupos Topológicos

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Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos

Definiciones y Propiedades Básicas

Los grupos topológicos son grupos (en el sentido de Álgebra Abstracta; ver C.1) provistos con una topología compatibles con las operaciones del grupo. Tales objetos aparecen en diversas ramas de la matemática y tienen, incluso, aplicaciones importantes en Física

Nuestro ejemplo básico es G = GL(n). Vimos, en el capítulo anterior, que tanto la multiplicación de matrices y la función "tomar inversas" en G son funciones continuas, lo que conecta la parte algebraica con la parte topológica. Dichas propiedades se abstraen en la siguiente definición.

Definición. (Grupo Topológico) Un grupo topológico G es un grupo provisto de una topología tal que la operación del grupo y la operación unaria (x ↦ x⁻¹, tomar inversos) son funciones continuas.

Nuestro primer ejemplo es, por supuesto, GL(n). Con la topología usual tenemos, que además, son grupos topológicos: los Reales con la suma, los Reales no nulos con la multiplicación. También, Rⁿ con la suma de vectores es un grupo topológico y, en particular, las matrices n × n con la suma.

Veremos, a continuación, algunas propiedades generales de los grupos topológicos. Aunque nuestro interés es el estudio de los grupos de matrices, algunos resultados generales sobre grupos topológicos son relativamente fáciles de obtener y servirán de aplicaciones a nuestros conceptos topológicos generales. Además, la abstracción, como siempre, ilumina las relaciones entre los conceptos y puede simplificar algunas consideraciones. Por lo que, en esta sección, trabajaremos principalmente con grupos topológicos abstractos.

Lema 14.1.1. Sean G un grupo topológico, g un elemento cualquiera del grupo, y e el elemento neutro del grupo.

Las funciones L_g : G → G :: x ↦ gx (multiplicación, o traslación, por g por la izquierda), R_g : G → G :: x ↦ xg (multiplicación, o traslación, por g por la derecha) y c_g : G → G :: x ↦ gxg⁻¹ (conjugación por g), son homeomorfismos.
Tomar inversos, x ↦ x⁻¹, es un homeomorfismo.
Si U es una vecindad de e, entonces gU y Ug son vecindades de g. Viceversa, cuando V es una vecindad de g, g⁻¹V y Vg⁻¹ son vecindades de e.

Demostración parcial.

Observemos, primeramente, que para todo x en G se cumple que L_e(x) = ex = x, lo que implica que L_e = id_G (la función identidad en G. Sigue de la definición de multiplicación por la izquierda, que para todo g, h, x en G, se cumple que $(L_{g}L_{h})(x)=L_{g}(_{h}(x))=g(h(x))=(gh)x=L_{gh}(x).$
Es decir que $L_{g}L_{h}=L_{gh}$ .

Tomando h = g⁻¹, se concluye que L_gL_g⁻¹ = L_e = id_G; de donde concluimos que L_g es invertible y que su inversa es L_g⁻¹. Notemos que x ↦ gx es igual a x ↦ (x, g) ^* ↦ xg, lo que implica que L_g es composición de continuas, luego es continua. Como su inversa es del mismo tipo, dicha inversa es continua; luego, se trata de un homeomorfismo. El resto de las afirmaciones de (a) queda de ejercicio.
Tomar inversa es su propia inversa.
Trivial, ya que traslaciones por la izquierda o derecha son homeomorfismos. En el grupo topológico Rⁿ con la suma vectorial, las “multiplicaciones por la izquierda” son las traslaciones ta : x ↦ a + x. En esta caso, como la suma es conmutativa, las traslaciones por la derecha coinciden con las traslaciones por la izquierda.

Observación 14.1. Sigue directamente del lema anterior que para cualquier subconjunto A de un grupo topológico G, los subconjuntos A, gA, Ag, gAg⁻¹ y A⁻¹ son homeomórficos entre si. Tenemos, como consecuencia inmediata la siguiente proposición.

Lema 14.1.2. Sea G un grupo topológico. Sean U, F y Z subconjuntos de G tales que U es abierto, F es cerrado y Z es cualquiera. Sea g un elemento cualquiera. Entonces,

(a) gF y Fg son cerrados.

(b) gU y Ug son abiertos.

(c) UZ y ZU son conjuntos abiertos.

(d) U⁻¹ es abierto y F⁻¹ es cerrado.

Demostración.

_z∈Z

Observación. El producto (como subconjuntos del grupo) de dos conjuntos abiertos es abierto ¿vale lo mismo para conjuntos cerrados? Ver ejercicio 5.

Homogeneidad de los Grupos Topológicos

Decimos que un espacio topológico X es un espacio homogéneo, cuando para todo x, y en X hay un homeomorfismo f de X en sí mismo tal que f(x) = y.

Los grupos topológicos son espacios homogéneos, ya que sigue del lema anterior que dados puntos x, y del grupo, se cumple que L_g(x) = y cuando g = yx⁻¹. Cuando un espacio es homogéneo las propiedades locales (propiedades alrededor de un punto) son las mismas para cualquiera de los puntos. Resulta natural entonces, en el caso de los grupos topológicos, estudiar las vecindades del elemento neutro, como representante de cualquiera de los puntos de un grupo topológico.

Las vecindades del elemento neutro

Denotaremos por V_e al conjunto formado por todas las vecindades del neutro e. Sigue de la continuidad de la multiplicación y de que ee = e que dada una vecindad U de e, hay vecindades V, W de e, tales que VW ⊂ U. Análogamente, como tomar inversos es continuo y e⁻¹ = e, para cualquier U vecindad de e, hay una vecindad V tal que V ⁻¹ ⊂ U, Combinando los resultados anteriores y observando que e⁻¹e = e, dada una vecindad U del neutro e, hay vecindades V, W de e tales que V ⁻¹W ⊂ U.

Resultará conveniente para algunas demostraciones considerar vecindades simétricas. Una vecindad V del neutro es simétrica, ssi, V ⁻¹ = V. Dada cualquier vecindad U del neutro, la vecindad V = U ∩ U⁻¹ es simétrica y contenida en U.

Finalmente, Si U es una vecindad del neutro, hay una vecindad W tal que W² ⊂ U. Si V es una vecindad simétrica contenida en W, tenemos que V² ⊂ U. Registraremos los resultados anteriores en la siguiente proposición.

Proposición 14.1.3. Sea G un grupo topológico.

(a) Si U es una vecindad del neutro, hay una vecindad V del neutro tal que V ⁻¹ ⊂ U.

(b) Si U es una vecindad del neutro, hay vecindades V, W del neutro tales que
VW ⊂ U.
(c) Si U es una vecindad del neutro, hay vecindades V, W del neutro tales que
V ⁻¹W ⊂ U.
(d) Si U es una vecindad del neutro, hay una vecindad simétrica V del neutro tal
que V ⊂ U.
(e) Si U es una vecindad del neutro, hay una vecindad simétrica V del neutro tal

que V² = V V ⊂ U.

Observación 14.3. Sea G un grupo topológico y sea A un subconjunto cualquiera no vacío de G. Entonces, para cada vecindad U del neutro, UA es un abierto que contiene a A (ea = a). Si A = {g}, Ug es una vecindad de g.

Las propiedades de Separación

Convenios. Sea G un grupo topológico. Cuando especifiquemos un tipo especial de grupo, el adjetivo usado podría referirse a la estructura algebraica o a la topológica del grupo. Usualmente, los adjetivos se referirán a la estructura topológico: cerrado, abierto, compacto, conexo, etc. La única excepción será normal, ya que siempre lo usaremos para referirnos al significado algebraico (contener todos los posibles conjugados). Grupos con la propiedad de separación normal, se indicarán como grupos topológicamente normales.

Las definiciones de las propiedades topológicas de separación se hallan en el capítulo 12.

El siguiente lema muestra que los grupos topológicos tienen la propiedad de separación T₃.

Lema 14.1.4. Sea G un grupo topológico. Entonces, para cada vecindad U del neutro, hay una vecindad V del neutro tal que Cl(V ) ⊂ U.

Demostración.

²

₁

₂

₁

₂

x=v_{2}v_{1}^{-1}

Sigue directamente del lema anterior y de la proposición 12.3.1, la siguiente proposición

Proposición 14.1.5. Sea G un grupo topológico T₁, entonces G es regular, y, por lo tanto, Hausdorff.

(Para la noción de espacio regular, ver la sección 12.3.)

Sean G un grupo topológico T₀ y G^* el complemento de {e}. Probaremos que G^* es abierto. Sea x en G^*. Por estar en un espacio T₀ al menos una de las alternativas siguientes es válida.

(i) Hay una vecindad U de x que no contiene a e;

(ii) Hay una vecindad W de e que no contiene a x.

La alternativa (i) implica que x es un punto interior de G^*. Supongamos válida la alternativa (ii) y sea V una vecindad simétrica contenida en W. Entonces xV es una vecindad de x. Si e estuviera en xV, habrá un v tal que e = xv. Pero esto implica que v = x⁻¹ y como v es simétrica, v = (v⁻¹)⁻¹, tendríamos que x estaría en V. Luego, xV no contiene a e; lo que implica que x es interior de G^*. Por lo tanto G^* es un abierto. En consecuencia, {e} es cerrado. Por la homogeneidad, cada {x} = L_x(ε) es cerrado. En consecuencia, el grupo G como espacio topológico es T₁. Sigue de la proposición anterior que, también, es Hausdorff. Hemos probado, así, la siguiente proposición.

Proposición 14.1.6. En un grupo topológico, se cumple que T₀ ⇐⇒ T1 ⇐⇒ T2 (Hausdorff).

Corolario 14.1.7. Un grupo topológico T₀ es regular.

Observación 14.4. En la literatura matemática hay gran variedad acerca de cuáles propiedades de separación debe tener un grupo topológico. Algunos autores agregan a la definición que dimos la exigencia de que sean espacios T₁. Los últimos resultados muestran que podemos suponer indistintamente T₀, T₁ o Hausdorff. Como nuestros ejemplos de interés son los grupos de matrices, que son subconjuntos de espacios métricos, tenemos que son automáticamente Hausdorff, no necesitaremos una restricción especial.

Lema 14.1.8. Sean F y C subconjuntos disjuntos de un grupo topológico G. Si F es cerrado y C es compacto, hay una vecindad U del neutro e tal que UC ∪ CU es disjunta de F. Si G es localmente compacto, se puede seleccionar U de modo que Cl(UC ∪ CU) es compacta.

Demostración.

_x

²

_x

_i

_{x_i}

₁

_i

CU_{1}\subset \bigcup _{i}x_{i}W_{i}^{2}\subset \cup _{i}x_{i}V_{x_{i}}.

Lo que prueba que CU₁ no interseca a F. Análogamente, podemos hallar un U₂ tal que U₂C no interseca a F. Poniendo U = U₁ ∩ U₂ se obtiene la vecindad deseada.

Cuando G es localmente compacto, escogemos vecindades V_x que tengan clausura compacta, y procedemos como arriba.

Proposición 14.1.3. Sean A y B subconjuntos de G.

(a) Si A y B son compactos entonces AB también lo es.

(b) Si A es cerrado y B es compacto, AB es cerrado.

Demostración.

El producto A × B es, por el teorema de Tychonoff, compacto. AB es la imagen de A × B por (x, y) ↦ xy.
Sea x un elemento del complemento de AB, entonces A y xB^-1 son disjuntos. Aplicando el lema 14.1.8, podemos hallar una vecindad U del neutro tal que UA no interseca a xB^-1. Entonces, U^-1x no interseca AB, o sea que AB es cerrado.

Ejercicios 14.1

Sea G un subgrupo topológico, A un subconjunto cualquiera no vacío.
1. Sea x un punto de G tal que para toda vecindad U del neutro x está en xU ∩ A ≠ ∅, entonces x está en la clausura de A.
2. Sea y un punto de G tal que para toda vecindad U del neutro x está en UA, entonces x está en la clausura de A.
3. Usar cualesquiera de las afirmaciones de los ejercicios anteriores para dar una condición para que un punto x no esté en la clausura de A.
Sean G un grupo topológico, g un punto de G, A y B subconjuntos cualesquiera no vacíos, y U una vecindad del neutro. Probar que A ∩ UxB ≠ ∅, ssi, U^-1A ∩ xB ≠ ∅.

Los Subgrupos Topológicos

Sea G un grupo, topológico o no. Recordemos que un conjunto no vacío H determina un subgrupo de G (lo que simbolizamos por H < G), cuando HH⁻¹ ⊂ H (ver definición de subgrupo en C.2). Veremos, a continuación, que cualquier subgrupo de un grupo topológico es un grupo topológico. Para simplicidad de la expresión, diremos “las operaciones del grupo” para referirnos conjuntamente a la operación del grupo junto con tomar inversos (operación unaria).

Proposición 14.2.1. Sea G un grupo topológico y H < G, entonces H es un grupo topológico.

Demostración.

^*

⁻¹

^*

⁻¹

^*

Subgrupos Topológicos. Resulta de la experiencia que un subgrupo de un grupo topológico tiene propiedades "agradables" cuando como subespacio topológico es cerrado. Por lo que es costumbre llamar subgrupos topológicos a tales subgrupos. Además, resultará que los subgrupos abiertos como subconjuntos de G, serán cerrados.

Proposición 14.2.2. Un subgrupo H de un grupo topológico G que sea abierto como subconjunto, será cerrado topológicamente.

Demostración.

Ejemplos 14.2.1.

Un subgrupo cerrado que no es abierto: Z en R. Un subgrupo que no es ni cerrado ni abierto: Q en R.

Definición. (Subgrupo Topológico) Sea G un grupo topológico y sea H un subgrupo (algebraico) de G. Decimos que H es un subgrupo topológico de G, ssi, H es cerrado como subespacio topológico de G.

Naturalmente que si deseamos que el subgrupo trivial {e} sea un subgrupo topológico, debemos suponer que el grupo es un espacio T₀ (o T₁ o Hausdorff).. Para la próxima proposición, recordemos que un subgrupo H de G se dice que es normal en G, cuando todos los conjugados de sus elementos son elementos de H; es decir, cuando para todo g en G se cumple que c_g(H) = gHg⁻¹ ⊂ H.

Proposición 14.2.3. Sea G un grupo topológico cualquiera. Sea H la intersección de todas las vecindades del neutro. Entonces, H es un subgrupo normal de G.

Demostración.

₁

₂

⁻¹

₁

₂

₁

₂

⁻¹

₁

₂

⁻¹

_g

⁻¹

La próxima proposición muestra que la clausura de cada subgrupo es un subgrupo topológico.

Proposición 14.2.3. Sea G un grupo topológico y sea H un subgrupo G, entonces CL(H) < G, o sea es un subgrupo topológico de G. Cuando H es normal, Cl(H) también lo es. Si H es abierto, entonces Cl(H) = H.

Demostración.

⁻¹

Ejercicios 14.2

Sean A y B subconjuntos de un grupo topológíco G.
1. Cl(A) Cl(B) ⊂ Cl(AB).
2. Cl(A^-1) = Cl(A)^-1.
3. x Cl(A)x⁻¹ = Cl(x A x⁻¹).
Usar los resultados del ejercicio anterior para probar que si H es un subgrupo (resp. subgrupo normal) de un grupo topológico G, entonces Cl(H) también lo es.
Sea G un grupo T₀, A y B subconjuntos de G.
1. Si para todo a en A, b en B se cumple que ab = ba, entonces para todo a en Cl(A) y b en Cl(B) se cumple que ab = ba.
2. Si H es un subgrupo abeliano (conmutativo) de G, entonces Cl(H) también lo es.
3. Sea G un grupo topológico con neutro e. La clausura de {e} es un subgrupo normal de G que es el menor (respecto a la inclusión) de los subgrupos cerrados de G.

Los Homomorfismos Continuos

Definición. (Homomorfismo Continuo) Sean G y H grupos topológicos.

Un homomorfismo continuo de G en H es un homomorfismo de grupos que, además, es continuo como función.
Un homomorfismo abierto es un homomorfismo continuo que, además, es abierto.
Un isomorfismo continuo es una biyección que es un isomorfismo de grupos y que es continuo.
Un isomorfismo–homeomorfismo o isomorfismo topológico, es un isomorfismo de los grupos que también es un homeomorfismo.
Un automorfismo topológico es un isomorfismo topológico de un grupo en si mismo.

La composición de dos homomorfismos continuos (resp. abiertos, isomorfismos topológicos) es también continuo (resp. abierto, isomorfismo topológico).

Ejemplos 14.3.1.

La función exponencial usual es un isomorfismo topológico entre el grupo aditivo de los Reales y el grupo multiplicativo de los Reales positivos.
La función identidad es un automorfismo de cualquier grupo topológico.
La función determinante de GLn en R^* es un homomorfismo continuo.
Sea E un espacio normado. La multiplicación por un escalar no nulo en E es un homomorfismo de la estructura aditiva que es un isomorfismo topológico.

Convenios. Sea G un grupo topológico. Cuando especifiquemos un tipo especial de grupo, el adjetivo usado especificará si se refiere a la estructura algebraica o a la topológica del grupo. Los adjetivos se referirán usualmente a la estructura topológica: cerrado, abierto, compacto, conexo, etc. La única excepción será normal, ya que siempre lo usaremos para referirnos al significado algebraico (contener todos los posibles conjugados).

Proposición 14.3.1. Sean G, H grupos topológicos y sea f : G → H un homomorfismo de grupos. f es continua (resp. abierta), ssi, es continua (resp. abierta) en el neutro.

Demostración.

Ejercicios 14.3

Probar la proposición 14.3.1.
La composición de dos homomorfismos continuos (resp. abiertos, isomorfismos continuos, isomorfismos–homeomorfismos) es también continuo (resp. abierto, isomorfismo continuo, isomorfismo–homeomorfismo).
Sea f : G → H un homomorfismo de grupos. f es un homomorfismo continuo, ssi, para cada vecindad del neutro eH de H hay una vecindad U de eG tal que f(U) ⊂ V.
Sea f : G → H un homomorfismo de grupos. Probar que cuando H es un espacio T₁, el núcleo de f, ker(f) = {x ∈ G : f(x) = e_H}—que siempre es un subgrupode G—es cerrado como subespacio de G.

Grupos Cocientes, Espacios Homogéneos

Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Se verifica que x ∼ y ↔ x⁻¹y ∈ H es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia son los conjuntos de la forma xH = {xh : h ∈ H} (clase lateral izquierda de x respecto a H). Denotamos por G/H al conjunto cociente de la relación, o sea al conjunto formado por todas las clases laterales respecto a H. El conjunto G/H no es necesariamente un grupo, a menos que H sea normal en G (o sea que H contiene a todos sus conjugados. Ver C.5).

G/H es un espacio topológico cuando se lo provee (canónicamente) con la topología más fina tal que la suprayección canónica η : G → G/H, η : x ↦ xH, sea continua. Sigue de esa definición que U^* es abierto en G/H, ssi, η⁻¹(U^*) es un abierto de G. Equivalentemente, una subconjunto F^* de G/H es cerrado, ssi, η^-1(F^*) es cerrado. La definición, también, implica que η es abierta.

Supongamos ahora que H fuera un subgrupo normal de G. Probaremos que G/H es un grupo topológico con la operación natural del grupo cociente,

xH * y H = (xy)H

Sean xH, yH dos puntos de G/H y sea zH = xyH. Sea U^* = η(U) una vecindad de zH en G/H. Como la multiplicación es continua en G, hay vecindades V de x y W de y, tales que VW ⊂ U. Entonces, V ^* = η(V ) y W^* = η(W) son vecindades de xH y yH, respectivamente, y tales que V ^*W^* ⊂ U^*. Lo que prueba que la multiplicación en G/H es continua. De manera análoga se verifica que tomar inversos es continua en G/H. Es decir que G/H es un grupo topológico.

Resumimos lo anterior en la siguiente proposición.

Proposición 14.4.1. Si G un grupo topológico y H un subgrupo de H, entonces se cumple lo siguiente.

El conjunto cociente G/H es un espacio con la topología más fina tal que la suprayección canónica es continua,
La suprayección canónica es además abierta.
Si H es normal en G, G/H es un grupo topológico con las operaciones que hacen que la suprayección canónica sea un homomorfismo de grupos.

Proposición 14.4.2. Sea G un grupo topológico, H un subgrupo de G, ν : G → G/H la suprayección natural, y f : G → X continua tal que x, y en H implica que f(x) = f(y). Entonces, hay una función continua inyectiva f^* : G/H → X tal que f^* ◦ ν = f. Cuando f es abierta o cerrada, f^* es un homeomorfismo sobre su imagen. Si, además, H es normal en G y X un grupo topológico, f es un homomorfismo.

Demostración.

Corolario 14.4.3. Sea f : G → G′ un homomorfismo continuo de grupos topológicos. El núcleo de f, ker(f) = {x ∈ G : f(x) = e′}, e′ neutro de G′, es un subgrupo normal de G. Además, si G′ es Hausdorff, entonces ker(f) es un subgrupo topológico.

Demostración.

Proposición 14.4.4.

Sea G un grupo topológico y H un subgrupo de G. Entonces, G/H es un espacio homogéneo.

Demostración.

^*

_gH

_g

Como ν◦ L_g es una función abierta, obtenemos que L_gH^* es un homeomorfismo tal que $L_{gH}^{*}(xH)=(gx)H.$ Por lo que dados xH, yH, se tiene que ${L_{gH}}^{*}(x)=yH,$ cuando g = x^-1y. Es decir que G/H es un espacio homogéneo.

Proposición 14.4.5. Sea G un grupo topológico y H un subgrupo cerrado de G. Entonces, G/H es un espacio que satisface la condición de separación $T_{3}$ .

Demostración.

⁻¹

_g

₁

^*

⁻¹

^*

⁻¹

^*

⁻¹

₁

₂

₁

₂

⁻¹

₁

⁻¹

₂

⁻¹

₁

⁻¹

^*

⁻¹

^*

Notemos que podemos usar la última proposición para probar que un grupo topológico T₁ es regular. En efecto, la hipótesis T₁ implica que {e} es cerrado y G es homeomórfico a G/{e}.

Subgrupos, Grupos Cocientes y Compacidad

Proposición 14.5.1. Sea G un grupo topológico y H un subgrupo topológico de G. Si G es compacto (resp. localmente compacto) entonces H y G/H también lo son.

Demostración.

^*

Proposición 14.5.2. Sea G un grupo y H un subgrupo topológico compacto. Entonces, la suprayección canónica η : G → G/H es cerrada.

Demostración.

Proposición 14.5.3. Sea G un grupo y H un subgrupo topológico. Cuando H y G/H son compactos, entonces G también lo es.

Demostración. (Chevalley [2])

^*

^_1

\Phi _{1}:=\{U^{-1}F\cap xH:U\in V_{e},F\in \Phi \}.

Probaremos que Φ₁ tiene la propiedad de intersección finita. En efecto, sean F₁,..., F_m cerrados de Φ₁ y U₁,..., U_m vecindades del neutro, entonces

\bigcap _{i=1}^{m}(U_{i}^{-1}\cap F_{i})\supset U^{-1}F\cap xH\neq \emptyset ,

donde F = ∩_i F_i y U = ∩_iU_i. Como xH es imagen homeomórfica de H, es un conjunto compacto, y Φ1 es una familia de cerrados de xH con PIF, hay un y en xH que pertenece a todos los miembros de Φ_i y, en consecuencia, a todos los U^-1F. Si para F fijo, consideramos lo anterior para toda vecindad U del neutro, tenemos que y pertenece a la clausura de F, pero como F es cerrado pertenece a F. Luego, y es común a todos los F’s en Φ.

Observación 14.5. Hay una proposición análoga para el caso de H y G/H localmente compactos.

Subgrupos, Grupos Cocientes y Conexidad

Proposición 14.6.1. Sea G un grupo topológico. La componente conexa G_e que contiene al elemento neutro, es un subgrupo normal cerrado de G.

Demostración.

_e

⁻¹

_e

⁻¹

_e

⁻¹

_e

⁻¹

_e

⁻¹

_e

Proposición 14.6.2. Sea G un grupo topológico y sea H un subgrupo cerrado conexo de G, si H y G/H son espacios conexos entonces G también lo es.

Demostración.

_g

Ejercicios del Capítulo 14

Sea E un espacio normado. Verificar que con respecto a la suma E es un grupo topológico.
La composición de homomorfismos continuos es un homomorfismo continuo.
Cualquier grupo finito (cantidad finita de elementos) es un grupo topológico respecto a la topología discreta.
Sean X un espacio topológico y G un grupo topológico. Sean f, g : X → G dos funciones continuas. Probar que las funciones h : x ↦ f(x)g(x) y k : x ↦ f(x)⁻¹ son continuas.
¿Cuáles de los siguientes subgrupos del grupo aditivo de los Reales son cerrados? (a) Z, (b) √2 Z, (c) Z + √2 Z.
Dar ejemplo de un subgrupo de un grupo topológico que
a) es cerrado, pero no abierto;

b) no es ni cerrado ni abierto.
Sea G = R² con la suma de vectores. Sean v₁, v₂ vectores no nulos tales que ninguno de ellos es un múltiplo del otro. Verificar que los siguientes subconjuntos son subgrupos topológicos de G.
a) A = {α v₁ : α ∈ R}.

b) B = {m v₁ : m ∈ Z}.

c) C = {m₁v₁ + m₂v₂ : m₁,m₂ ∈ Z}.

d) D = {mv₁ + α v₂ : m ∈ Z, α en R}.
Sea G = R² con la suma de vectores. Sean v un vector no nulo y H = {qv : q ∈ Q}. Probar que H es un subgrupo de R². pero que no es cerrado. ¿Cuál es la clausura de H?
Cualquier subgrupo cerrado que tiene una cantidad finita de clases laterales es también abierto.
Un subgrupo H de un grupo topológico es un subespacio discreto, ssi, H contiene un punto aislado.
Un subgrupo abierto H de G es cerrado (o sea un subgrupo topológico). (Sug. Probar que las clases laterales de H diferentes de H forman un conjunto abierto.)
Sean G un grupo topológico con neutro e, U una vecindad de E, y n un entero positivo. Probar que hay una vecindad simétrica V de e tal que V n ⊂ U.
Sea V una vecindad simétrica de V del neutro e. Probar que ∩_n≥1 Vⁿ es un subgrupo abierto–cerrado.
Una base de las vecindades del neutro es una colección de abiertos C tal que para cada U del neutro e, hay un V en C tal que V ⊂ U.
1. Sea C una base de las vecindades del neutro y sean A := {xU : x ∈ G, U ∈ C} y B := {Ux : x ∈ G, U ∈ C}. Probar que tanto A como B son bases de la topología de G.
2. Hay una base de las vecindades del neutro consistente únicamente de vecindades simétricas.
En el texto vimos que la clausura de un subgrupo es siempre un subgrupo. ¿Será siempre válido que el interior de un subgrupo es un subgrupo?
Probar que el producto de dos grupos topológicos es un grupo topológico.
Sea G un grupo cualquiera. Probar que G con la topología discreta es un grupo topológico.
Sea H un subgrupo de un grupo topológico, probar que si H tiene al menos un punto interior, entoces H es abierto.
Sea H un subgrupo conexo de G. La preimagen de cualquier componente conexa de G/H es una componente conexa de G.
Sea H un subgrupo de G tal que G/H es un espacio regular. Entonces, H es cerrado (ver proposición 14.4.5).
Sea G un grupo topológico y V una vecindad simétrica del neutro e.
1. Sea W = &cup_n≥1 V^k es un subgrupo abierto y cerrado de G.
2. Si G es conexo, G = W. Es decir que V es un conjunto generador de G, o sea que cualquier g en G es producto de elementos de V.
Sea G un grupo topológico y H un subgrupo de G. Si hay una vecindad U del neutro de G tal que Cl(U) ∩ H es cerrado, entonces H es un subgrupo topológico (cerrado).
Sea G un grupo topológico localmente compacto, H un subgrupo de G. Entonces G/H es localmente compacto.