Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Topología de Matrices

Introducción

En este capítulo, y en los dos siguientes, presentaremos aplicaciones de lo visto anteriormente a ciertos grupos geométricos. Los grupos geométricos son objetos algebraicos asociados a nociones geométricas. En nuestro caso, se tratará de la geometría de los espacios Euclídeos Rⁿ.

Los grupos (abstractos o generales) se estudian en los cursos de Álgebra Abstracta, lo necesario para este capítulo está resumido en el apéndice C. Los principales grupos geométricos aparecerán como conjuntos de matrices, por lo que iniciaremos el capítulo estudiando la topología de las matrices n × n. En la tercera sección, generalizaremos lo visto en grupos de matrices a grupos topológicos cualesquiera. Finalmente, aplicaremos lo anterior a la topología de los grupos geométricos. Para concretar lo anterior consideremos a GL(n). (grupo lineal) que será el conjunto de todas las matrices n×n cuyo determinante no es nulo. Este conjunto como veremos, puede considerarse un subconjunto de Rⁿ², por lo que resulta natural preguntarse por la topología del mismo: ¿es abierto o cerrado? ¿es conexo? ¿es compacto? Además de presentar alguna matemática interesante por sí mismo, queremos, como dijimos arriba, mostrar como se aplican los conceptos vistos a esos conjuntos de matrices.

Este capítulo requiere un conocimiento básico de Álgebra Lineal. Cuando una lectora o lector no posea dicho conocimiento, puede hallar algunas dificultades en la lectura del mismo. Sin embargo, en cualquier caso, creemos que la lectura de estos capítulos puede ser provechoso, usando algo de fe para los resultados de Álgebra Lineal.

El Espacio Métrico de las Matrices

Simbolizaremos por M_n(R) al conjunto formado por todas las matrices n × n con entradas en los Reales. Cada matriz A = [a_ij ] puede identificarse con un punto de Rⁿ² , colocado las filas, ordenadamente, una tras otra. Es decir que a_ij ⇆ b_(i−1)n+j .

Ejemplo 13.2.1. En M₂(R),

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}\rightleftarrows (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})\in R^{4}.$

La identificación de M_n(R) con Rⁿ² provee, por lo tanto, a M_n(R) con la estructura de espacio normado y, en consecuencia, con la métrica deducida de tal norma. Luego, podremos aplicar a M_n(R) las nociones métricas y topológicas vistas anteriormente.

Cada subconjunto de M_n(R) será un subespacio con la topología relativa. Cualquier métrica de Rⁿ² define la misma topología en M_n(R), pero como estamos interesados en los grupos geométricos usaremos la norma euclídea, a menos que se indique lo contrario.

Recordemos que las proyecciones (o coordenadas) p_i : (x₁, ... , x_m) ↦ x_i, 1 ≤ i ≤ m de R^m en R son funciones continuas. Recordemos, también, que una función f : E → R^m, en particular m = n², es continua, ssi, la composición con cada una de las proyecciones es continua, o como diremos si es continua por coordenadas.

Cuando A = [a_ij}] sea una matriz $n\times n$, denotaremos las coordenadas como pares i,j o ij con $0\leq i,j\leq n$. Así la coordenada ij de la matriz A es $a_{ij}$.

Las Operaciones Matriciales son Funciones Continuas

La suma, resta, y producto de matrices n × n, son funciones continuas

Rⁿ² × Rⁿ² → Rⁿ² .

También es continua la multiplicación por escalar. Para probar lo anterior, basta con ver la continuidad por coordenadas. En efecto, sean A = [a_ij ] y B = [b_ij ] matrices en M_n(R) = Rⁿ². Las coordenadas _ij de la suma, resta y multiplicación son, respectivamente,

a_ij + b_ij,    a_ij − b_ij  y  ∑_k a_ik b_kj.

Como dichos valores son polinomios en las coordenadas de los operandos, vemos que son funciones continuas. (Ver la sección 6.5.3). Resumimos la discusión anterior en la siguiente proposición.

Proposición 13.2.1. La suma, resta y multiplicación son operaciones continuas en M_n(R).

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Se verifica que la suma y la multiplicación son asociativas, que la multiplicación es distributiva respecto a la suma. La suma es conmutativa, pero la multiplicación no lo es. La matriz identidad I es una matriz cuyas entradass en la diagonal principal son todas iguales a 1 y las demas entradas son nulas. Se verifica que para toda matriz A se cumple que AI = IA = A.

Ejemplo. La matriz identidad de $M_{3}(\mathbb {R} )$ es ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$.

La Función Determinante y el Grupo Lineal

El determinante es una función de M_n(R) en R definida como

$\det([a_{ij}]):=\sum _{\sigma }(-1)^{{\text{sgn}}(\sigma )}a_{i\,\sigma (i)},$

donde la suma corre sobre todas las permutaciones $\sigma$ de los elemento del conjunto {1, 2, ... , n} y $\operatorname {sgn}(\sigma )$ es el signo de la permutación. Se verifica la siguiente importante relación (a la que nos referiremos como la identidad básica del determinante).

$\det(AB)=\det(A)\det(B).\qquad (IBD)$

Sigue de la definición que el determinante de la matriz identidad es igual a 1.

Decimos que una matriz A es invertible cuando hay una matriz $B$ tal que $AB=I$. Dicha matriz $B$ es única y se denota $A^{-1}$.

Sigue de la identidad~{IBD} que cuando una matriz $A$ es invertible se cumple que

$\det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det(I)=1.$

Por lo que el determinate de una matriz invertible no es cero. Se verifica que el converso es válido, por lo que una matriz es invertible, ssi, su determinante no es nulo. En particular la matriz identidad es invertible.

Notemos que cuando $A$ es invertible, $\det(A^{-1})=1/\det(A)$. Simbolizaremos por GL(n) al conjunto formado por todas las matrices n × n

invertibles. Cuando A y B son matrices invertibles, se cumple que

(i) El producto AB es invertible, con (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, y

(ii) La inversa de A es invertible con (A⁻¹)⁻¹ = A.

En la terminología de Álgebra Abstracta, las propiedades anteriores, conjuntamente con la asociatividad del producto, hacen que GL(n) tenga una estructura de grupo (ver definición C.1), al que llamamos el grupo lineal (real de dimensión n). Con esa terminología, la relación básica establece que el determinante es un homomorfismo (ver definición C.4) de grupos entre los grupos GL(n) y R^* (los Reales no nulos) que se verifica, además, que es suprayectivo. Sigue de la teoría de grupos, que la preimagen de cualquier subgrupo de R^* será un subgrupo de GL(n) (ver D.4.2). En particular, la preimagen del subgrupo {1} de R^* es un subgrupo de GL(n), al que llamamos el (sub)grupo lineal especial y que denotamos por SL(n).

Proposición 13.2.2. La función determinante es continua.

Demostración. Sigue de la definición que se trata de un polinomio en las coordenadas, por lo que es continua.

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Corolario 13.2.3. El grupo lineal GL(n) es un subconjunto abierto de M_n(R).

El grupo lineal especial SL(n) es un subconjunto cerrado (topológicamente) de GL(n).

Demostración. Como det : M_n(R) → R es continua y GLn(R) es la preimagen por determinante de R^* (reales no nulos), que es un subconjunto abierto de R, se tiene que GL(n) es abierto. Por su parte, SL(n) es la preimagen por el determinante del subconjunto cerrado {1} en R^*.

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Proposición 13.2.4. La asociación a cada matriz invertible A = [a_ij ] de su inversa es una función continua.

Demostración. Tenemos, por la Regla de Cramer, que $(A^{-1})_{ij}={\frac {1}{\det(A)}}(-1)^{i+j}C_{ij},$

donde C_ij es el ij–cofactor (el determinante de la matriz (n − 1) × (n − 1) que se obtiene a partir de A por eliminación de la i–ésima fila y la j-ésima columna). Sigue de la regla de Cramer que cada coordenada de la inversa es igual a un cociente de dos funciones continuas, el numerador siendo una suma de funciones continuas (determinantes), el denominador otra fución continua (también un determinante). Luego, $A\mapsto A^{-1}$ es continua.

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Corolario 13.2.5. La función $A\mapsto A^{-1}$ es un homemorfsimo de GL(n) en si mismo.

Demostración. La función $A\mapsto A^{-1}$ es su propia inversa (como función) ya que $(A^{-1})^{-1}=A.$

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La Conjugación

Sea G un grupo. Se llama conjugación por (un elemento) g de G, a la función del grupo en sí mismo tal que x ↦ gxg⁻¹ (el conjugado por g de x).

Proposición 13.2.5. La conjugación es un homeomorfismo para todo g.

Demostración. La conjugación c_g es la composición de la multiplicación por la izquierda por g, con la multiplicación por la derecha por g−1 $x\mapsto (x,g^{-1}){\overset {*}{\mapsto }}xg^{-1}\mapsto (g,xg^{-1}){\overset {*}{\mapsto }}gxg^{-1}.$

Lo que prueba que $c_{g}$ es continua. Notemos que $c_{g}(c_{h}(x))=c_{g}(hxh^{-1})=ghxh^{-1}g^{-1}=(gh)x(gh)^{-1}$. Es decir que $c_{g}c_{h}=c_{gh}$. Si $h=g^{-1}$, se tiene que $c_{g}c_{h}=c_{gg^{-1}}=c_{I}=id$. Es decir que $c_{g}$ es invertible como función, y la función inversa es continua, ya que también es una conjugación. Recordemos que decimos que un subgrupo es normal en G cuando los conjugados de cada uno desus elementos es un elemento del subgrupo. Por ejemplo, SL(n) es normal en GL(n),

ya que para toda A en SL(n) y B en GL(n) se cumple que

det(BAB⁻¹) = det(B) det(A) det(B⁻¹) = det(A) = 1.

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Las Matrices y las Transformaciones Lineales

Cualquier matriz $A$, $n\times n$, define una función de $\mathbb {R} ^{n}$ en si mismo, asignando a cada $x$ de $\mathbb {R} ^{n}$ el vector $Ax$. Identificamos a los vectores con matrices $n\times 1$ (vectores columnas) y usamos la multiplicación general de matrices (filas por columnas).

$Ax={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{j}a_{1j}x_{j}\\\sum _{j}a_{2j}x_{j}\\\vdots \\\sum _{j}a_{nj}x_{j}\end{bmatrix}}$

Simbolizaremos por $L_{A}$ o simplemente por $A$ dicha función. Se cumple que

(i) L_A(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = L_A(x) + L_A(y)

(ii) L_A(αx) = A(αx) = αAx = αL_A(x).

Tales propiedades establecen que la función L_A es una transformación ineal (en la terminología del Álgebra Lineal). En los cursos de Álgebra Lineal, se prueba que una vez seleccionada una base B de un espacio vectorial, podemos representar a cada transformación lineal T por una matriz T_B (llamada matriz de coordenadas de T) tal que las funciones A ↦ L_A y T ↦ T_B son inversas una de la otra. Las columnas de la matriz de coordenadas son las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base.

Las Matrices Ortogonales

Definición. (Transformación Ortogonal) Sea E = Rⁿ el espacio Euclídeo de dimensión n. Una transformación lineal T es ortogonal, ssi, preserva el producto interior, es decir, ssi, para todo x, y en E se cumple que

$T(x)\cdot T(y)=x\cdot y.\qquad$ (TO)




Proposición 13.2.4. Cuando T es transformación lineal ortogonal se cumple lo siguiente:

(a) T preserva la norma (o largo de los vectores), ||T(x)|| = ||x||.

(b) T preserva el origen, T(0) = 0.

(c) T preserva la ortogonalidad (perpendicularidad) entre vectores.

(d) La composición de transformaciones ortogonales es ortogonal.

(e) Cuando T es biyectiva, su inversa es ortogonal.

Demostración. Ejercicio

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Sea B = {v₁, ... , v_n} un base ortonormal de E, o sea que los vectores v_i tienen largo 1 y son mutuamente ortogonales. Lo que podemos simbolizar como que v_i · v_j = δ_ij , donde δ_ij es el delta de Kronecker, definido como δ_ij = 1, cuando i = j, y 0 en caso contrario.

Cuando T es ortogonal, sigue de la proposición anterior, que las imágenes de los vectores de una base ortonormal forman un conjunto ortonormal de vectores, que se verifica que también es una base ortonormal del espacio.

Supongamos que A = [a_ij ] es la matriz de una transformación lineal ortogonal respecto a una base ortonormal. Llamando w₁, ... ,w_n a las columnas de la matriz A, tenemos que dicho conjunto de vectores es ortonormal. Esto implica que para todo 1 ≤ i, j ≤ n se cumple que w_i · w_j = δ_ij (o sea igual a 1 cuando i = j y 0 en caso contrario). Con la notación introducida arriba, tenemos que

$w_{i}={\begin{bmatrix}a_{1,i}\\a_{2,i}\\\vdots \\a_{n,i}\end{bmatrix}}$


Luego,

$w_{i}\cdot w_{j}=\sum _{k}a_{k,i}a_{k,j}=\delta _{ij}.$

(*)




Sea B = [b_η,μ] = A^t la transpuesta de A . Entonces, b_η,μ = a_μ,η . Escribiendo (*) usando los b_η,μ, tenemos que

$w_{i}\cdot w_{j}=\sum _{k}b_{i,k}a_{k,j}$

(**)




Podemos interpretar el número de la derecha como el elemento en la posición (i, j) del producto BA = A^t A. Por las relaciones obtenidas, esos elementos son nulos si i ≠ j y son 1 si i = j. Es decir que hemos probado que

$A^{t}\,A=I.$

(MO )




Notemos que la relación implica que A es invertible y que su inversa es A^t.

Simbolizaremos por O(n) al conjunto formado por todas las matrices que satisfacen la relación (MO). Claramente, ese conjunto no es vacío ya que la (matriz) identidad I tiene esa propiedad. Recordando que el determinante de una transpuesta es igual al determinante de la matriz original,por lo que usando la relación (MO) tenemos que

1 = det(I) = det(A^tA) = det(A^t) det(A) = det(A)².

Luego, el determinante de una matriz ortogonal puede ser 1 o −1. La matriz identidad es una transformación ortogonal con determinante igual a 1. Sea A una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son nulos, y todos los elementos de su diagonal son 1, excepto el último que es -1.

${\begin{bmatrix}1&0&\dots &\dots &0\\0&1&\dots &\dots &0\\0&0&\ddots &&\vdots \\0&0&\dots &1&0\\0&0&\dots &0&-1\end{bmatrix}}$

Claramente, AA^t=I, por lo que A es ortogonal y su determinante es igual a −1. Sigue de esa discusión, que la restricción de la función determinante a O(n) tiene como imagen al espacio discreto {1,−1}, concluimos que O(n) es disconexo como espacio topológico.Denotaremos por O⁺(n) (resp. O^-(n)) al subconjunto de O(n) formado por todas las matrices ortogonales con determinante igual a 1 (resp. −1).

Proposición 13.2.5. O(n) es un subgrupo de GL(n), al que llamaremos grupo ortogonal (de dimensión n).

Demostración. Recordemos que la matriz identidad es un elemento de O⁺(n). Sean A, B matrices ortogonales. Entonces,

(i) (AB)^t AB = B^tA^tAB = B^t(A^tA)B = B^tB = I, o sea que el producto de ortogonales es ortogonal.

(ii) Recordemos que cuando A es ortogonal, su inversa es A^t. Entonces, la relación

AA⁻¹ = I implica que (A⁻¹)⁻¹A⁻¹ = I, o sea que (A⁻¹)^t A⁻¹ = I,

o sea que A⁻¹ es ortogonal. Esto concluye la prueba.

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Sea A = [A_ij ] una matriz ortogonal. Entonces, usando la norma euclídea, tenemos que:

$||A||^{2}=\sum _{i,j}a_{ij}^{2}$


Como las columnas de la matriz A forman un conjunto ortonormal, tenemos que la norma de cada columna es igual a 1. Por lo que reagrupando la suma anterior por columnas, tendremos que

$||A||^{2}=\sum _{i=1}^{n}(\sum _{j}a_{ij}^{2})=\sum _{i=1}^{n}1=n.$


Por lo que ||A|| = √n. Lo que implica que O(n) es un conjunto acotado.

Consideremos ahora, la función A ↦ A^t A de M_n(R) en sí mismo. Es fácil ver que esa función es continua, A ↦ (A^t ,A) ^*→ A^tA. Como O(n) es la preimagen por esa función de {I}, vemos que O(n) es cerrado. Como es cerrado y acotado en Rⁿ², por el teorema de Heine–Borel (11.5.5), O(n) es un conjunto compacto.


Proposición 13.2.6. El grupo O(n) es un subgrupo compacto de GL(n).

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Ejemplo 13.3.1 (Grupo no Acotado). El grupo SL(2) no es acotado en M₂(R).

En efecto, sea $A={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}.$ Entonces, det(A) = 1 y ||A|| = √(n² + 2). Lo que muestra que el grupo lineal especial no puede ser acotado.

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Ejercicios 13.2

1. En el texto, se dice que la función determinante es suprayectiva, explicar porque eso es cierto.
2. La función A ↦ A^t de M_n(R) en sí mismo es continua.
3. Hallar la norma euclídea de cada una de las siguientes matrices. ${\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}\ a^{2}+b^{2}=1.$
4. Sea G el conjunto de todas las matrices 2 × 2 cuyas entradas son todas números racionales. Probar que G es un subgrupo de GL(2) que no es cerrado en GL(2). ¿Cuál es la clausura de G en GL(2)?
5. Los grupos GL(n) y SL(n) no son acotados como subconjuntos de M_n(R).
6. GL(n) es por restricción de la distancia euclídea un espacio métrico. Luego, es un espacio completamente normal—ver teorema 12.3.5. ¿Qué se puede decir de SL(n) y de O(n)?
7. Sean H un subgrupo cerrado de GL(n) y K un subgrupo cerrado de H. Probar que K es cerrado en GL(n).
8. Probar que O⁺(n) es un subgrupo cerrado de O(n) y, por lo tanto, de GL(n). ¿Por qué O^-(n) no puede ser un grupo? ¿Es O⁺(n) compacto, acotado?
9. Sea UT(2) el conjunto de matrices 2×2 tal que el elemento bajo la diagonal es 0. Probar que UT(2) es un subgrupo cerrado de GL(2) .
10. (Ortogonales de dimensión 1) (Matrices 1 × 1 se identifican con números reales) Probar que O(1) = {1,−1}. Identificar a O⁺(1).
11. (Ortogonales de dimensión 2.)
    1. Probar que las matrices de la forma ${\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\operatorname {sen}(\theta )\\\operatorname {sen}(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}$, θ real, son ortogonales con determinante 1.
    2. Probar que toda matriz ortogonal con determinante 1 tiene una matriz de la forma anterior. (Sug. Verificar que cualquier vector de largo 1 tiene la forma necesaria para aparecer como columna de la matriz. Usar que cuando (a, b) es un vector cualquiera, los únicos vectores de igual largo y ortogonales a él, son (−b, a) y (b,−a).)
    3. Sea J = ${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.$ Probar que J es ortogonal con determinante igual a −1.
    4. Sea ϕ : O^-(2) → O⁺(2) la función que asocia a cada B en O^-(2) con el producto JB. Probar que ϕ es un homeomorfismo.
    5. ¿Es O(2) conexo?

    
    

12. Sea A una matriz n × n con determinante nulo. Para todo ε > 0 hay una matriz B tal que ||B − A|| < ε y el determinante de B no es nulo.
13. Sea A una matriz n × n y sea B la matrix (n + 1) × (n + 1) tal que $B={\begin{bmatrix}A&\vdots &0\\\dots &&\dots \\0&\vdots &1\end{bmatrix}}.$

    Probar que A es ortogonal, ssi, B lo es. Usar el resultado para probar que podemos considerar a O(n) como un subgrupo cerrado de O(n + 1).

14. Sea A una matriz n×n con determinante no nulo. Probar que hay un ε > 0 tal que para toda matriz B tal que max{|b_ij − a_ij |1 ≤ i, j ≤ n} < ε, se cumple que det(B) ≠ 0.
15. Sea ${\mathcal {B}}$ una base ortonormal de $\mathbb {R} ^{n}$. Sean $x$ y $y$ vectores de $\mathbb {R} ^{n}$, cuyas matrices de coordenadas respecto a la base ${\mathcal {B}}$ son las matrices $n\times 1$, $[x_{i}]$ y $[y_{i}]$ respectivamente. Entonces, se cumple que $x\cdot y=[x_{i}]^{t}[y_{i}].$ Usar esa relación para probar la proposición 13.3.2.
16. Sea $A$ una matriz $n\times n$ con determinante nulo. Para todo $\varepsilon >0$ hay una matriz $B$ tal que $||B-A||<\varepsilon$ y el determinante de $B$ no es nulo.
17. Considerar el espacio normado $M_{n}(\mathbb {R} )$ y sea $Exp(X)$ la serie de potencias definida en el ejercicio 4 del final del capítulo sobre Sucesiones. Para cada matrix $A$, $Exp(A)$ es otra matriz, la matriz exponencial de $A$. Para toda matriz $A$ se cumple que
    1. $Exp(0_{n})=I_{n}$.
    2. $Exp(\alpha A)Exp(\beta A)=Exp((\alpha +\beta )A)$, $\alpha$ y $\beta$ en $\mathbb {R}$.
    3. $Exp(A)$ es invertible y $Exp(A)^{-1}=Exp(-A)$.
    4. $Exp(A^{t})=(Exp(A))^{t}$.

    Luego, $Exp$ define una función de $M_{n}(\mathbb {R} )$ en GL(n) que es central en la teoría de grupos de Lie, grupos donde las operaciones son derivables (en el sentido del Cálculo Infinitesimal) y, por lo tanto, continuas.

Referencias