Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Separación

Introducción

En varios de los capítulos anteriores, hemos visto aparecer la propiedad de Hausdorff aparecer en varios resultados importantes.Recordemos que un espacio tiene dicha propiedad, cuando dados dos puntos distintos del espacio, hay abiertos disjuntos tales que cada uno de ellos contiene a exactamente uno de los puntos dados. En este capítulo estudiaremos propiedades análogas de separación, algunas más fuertes y otrás más débiles. Usaremos la notación tradicional de espacios T_i, i = 0, 1, 2, ... introducida por Alexandroff y Hopf (Topologie, 1935).

Generalizaremos la terminología de separación de la siguiente manera: diremos que hay abiertos que separan dos subconjuntos A y B, cuando haya abiertos disjuntos U y V tales que U contiene a A y V a B.

Cuando estudiamos los conjuntos disconexos, vimos que hay funciones reales que permiten distinguir a conjuntos disconexos. Resulta útil, especialmente en Análisis, disponer de ese tipo de funciones, por lo que en la sección 12.3.4 se hallará algunos resultados más profundos al respecto,

Definiciones y Propiedades

Iniciaremos nuestro estudio con algunos tipos simples de separación.

Definición. (Propiedades de Separación) Sea X un espacio topológico.

• X es un espacio T₀, ssi, para todo x, y en X, al menos uno de ellos está contenido en un abierto que no contiene al otro.
• X es un espacio T₁, ssi, para todo x, y en X, cada uno de ellos está contenido en un abierto que no contiene al otro.
• X es un espacio T₂ o Hausdorff, ssi, para todo x, y en X hay abiertos disjuntos, cada uno de los cuales contiene exactamente a uno de los dos puntos. Es decir que haya abiertos que separan los puntos. Siguiendo el uso tradicional, continuaremos usando el nombre Hausdorff para estos espacios.

Claramente, un espacio T₂ es T₁, y un espacio T₁ es T₀. Los siguientes ejemplos mostrarán que las inclusiones son estrictas. Además, notemos que un espacio topológico indiscreto con más de un punto no es T₀ — el único abierto no vacío es todo el espacio.

Ejemplos 12.2.1. Los ejemplos siguientes, aunque tienen un aire artificial, permiten ver que cada condición es más restrictiva que la anterior.

1. (Espacio T₀) X = {a, b}, con topología T_X= {∅ ,X, {b}}. X es T₀, pero no T₁.
2. (Espacio T1) Sea X un espacio infinito, por ejemplo los Naturales, y sea T_X el conjunto formado por el conjunto vacío y todos los subconjuntos cuyo complemento es finito. Si x, y son puntos diferentes de X entonces X \ {y} es una vecindad de x que no contiene a y. Análogamente, X \{x} es una vecindad de y que no contiene a x. Observemos que cualquier vecindad de x difiere de una vecindad de y por a lo más una cantidad finita de elementos, por lo que no son disjuntas. Es decir que X es T₁, pero no T₂.
3. Los espacios métricos son espacios Hausdorff (T₂).

Sea X un espacio T₁ y sea p un punto de X. Cada punto del complemento de {x} está contenido en un abierto que no contiene a p, o sea que está totalmente contenido en el complemento indicado. Luego, dicho complemento es un conjunto abierto. Luego, {x} es cerrado. Esta propiedad caracteriza a los espacios T₁.

Proposición 12.2.1. Un espacio topológico es T₁, ssi, cada punto es cerrado.

Demostración. X es T₁ ⇐⇒ cada punto tiene un complemento abierto, ⇐⇒ cada punto es cerrado.

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Sigue de la proposición que los subconjuntos finitos de espacios T₁ son cerrados. En particular, los espacios Hausdorff tienen la misma propiedad. Las siguientes proposiciones refuerzan la intuición de que compactos (al menos en espacios Hausdorff) se comportan como puntos.

Los espacios Hausdorff tienen interesantes propiedades de separación. La siguiente proposición establece que un punto y un conjunto compacto que no lo contengan pueden ser separados.

Proposición 12.2.2. Sean X un espacio Hausdorff, C un subconjunto compacto de X, y p un punto que no está en C. Entonces, hay abiertos disjuntos U, V tales que U contiene a p y V a C.

Demostrración. Sea z un punto de C. Como el espacio es Haudorff hay abiertos $U_z$ y $V_z$ que separan p de z, o sea que p está en U_z y z está en V_z, con U_z y V_zdisjuntos. La familia de los V_z, z en C forman una cubierta abierta de C. Como C es compacto, una subfamilia de tales abiertos cubre a C, digamos que son V₁, ... , V_m. Sean U_i, i=1,..., m los correspondientes U₁'s,y sea U = ∩ {U_i ; 1 ≤ i ≤ m} y V = ∪ {V_i: 1 ≤ i ≤ m. Claramente, U y V son abiertos con p en U y C contenido en V. Probaremos que son disjuntos. ${\begin{array}{rcl}U\cap V&=&(\bigcap _{i}U_{i})\cap (\bigcup _{j}V_{j})\\&=&\bigcup _{j}(\bigcap _{i}U_{i}\cap V_{j})\\&=&\bigcup _{j}(U_{1}\cap \dots \cap U_{j}\dots \cap V_{j})&=&\emptyset .\end{array}}$

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Sigue en forma inmediata de la proposicion que un subconjunto compacto de un espacio Hausdorff es cerrado. Resultado que vimos anteriormente como proposición 10.2.6.

La proposición anterior, se puede generalizar de la siguiente manera.

Proposición 12.2.3. En un espacio Hausdorff, abiertos separan a conjuntos compactos.

Demostración. Sean C y D conjuntos compactos disjuntos de un espacio de Hausdorff X. Sigue de la proposición 12.2.2 que para todo x en C hay una vecindad abierta U_x de x y una vecindad V_x de D tales que U_x ∩ V_x = ∅. La familia de abiertos U_x, x ∈ C, forman una cubierta de X, por lo que hay una familia finita de ellos que cubre a C, digamos, los U_{x_i} con i = 1, ... ,m. Sea U la reunión de todos esos conjuntos. Sea V la intersección de los correspondientes V_{x_i}’s. Claramente V contiene a D y U ∩ V = ∅ .

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Ejercicios 12.2

1. Decimos que una propiedad de un espacio topológico es hereditaria, cuando cada subespacio tiene la propiedad. Probar que las propiedades T_i, i = 0, 1, 2 son hereditarias.
2. Sea f : X → Y continua e inyectiva. Probar que si Y es Hausdorff, X también los es.
3. Probar que cada espacio T₁ con una base finita es un espacio finito y discreto.
4. Sea X un espacio infinito y sea T la topología generada por abiertos que tienen complementos finitos. Probar que X es T₁, pero no Hausdorff.
5. Sea X un espacio topológico. Las afirmaciones siguientes son equivalentes.

   a) X es Hausdorff.

   b) La intersección de las vecindades cerradas de un punto x es {x}.

   c) Cuando una sucesión en X converge, tiene un único límite.

6. El producto de una familia de espacios Hausdorff es un espacio Hausdorff.
7. Sea X un espacio topológico y sea D= {(x, y) ∈ X × X : x = y} (la diagonal principal del producto). Probar que X es un espacio Hausdorff, ssi, D es un subconjunto cerrado de X × X. Probar que R con la topología de complementos finitos es un espaco T₁, pero no T₂.

Los Espacios Regulares y Normales

Advertencia. La terminología acerca de estos espacios no está estandarizada, al contrario de la terminología usada en la sección anterior. Cuando visitando un libro de topología, resulta conveniente ates de mirar a los teoremas, ver los convenios sobre la terminología usada.

Definición. (Espacio Regular) Un espacio X es un espacio regular, ssi, es T₁ (cada punto es cerrado) y se cumple la siguiente propiedad:
(Propiedad T₃.) Abiertos separan puntos de conjuntos cerrados. Es decir que para cada punto p y cada conjunto cerrado C tal que p no está en C, hay abiertos disjuntos U, V tales que p está en U y C está contenido en V.

Algunos autores llaman regular a un espacio que satisface la condición T₃, pero no necesariamente T₁, y llaman completamente regular a lo que aquí llamamos regular.

Definición. (Espacio Normal) Un espacio es normal o T₄, ssi, es T₁ y se cumple la siguiente propiedad.
(Propiedad T₄.) Abiertos separan conjuntos cerrados. Es decir, si H y K son subconjuntos cerrados, hay abiertos disjuntos U, V tales que U contiene a H y V contiene a K.

Observación 12.1. Notemos que las condiciones T₃ y T₄ corresponden a las proposiciones 12.2.2 y 12.2.3 reemplazando compactos por cerrados.

Los Espacios Regulares

Proposición 12.3.1. Un T₁–espacio X es regular si, y sólo si, para cada punto p y cada abierto U que contiene a p hay un abierto V cuya clausura está contenida en U.

Demostración. Supongamos que X es regular y que el punto p está contenido en el abierto U. Como X es regular, hay abiertos disjuntos V y W tales que p está en V y W contiene a X \ U. Como, W ∩ V = ∅ , se tiene que W ∩ Cl(V) = ∅ , lo que implica que Cl(V) ⊂ U. Recíprocamente, sea p un punto cualquiera de X y F un cerrado que no contiene a p. Entonces X \ F es un abierto que contiene a p, luego hay un abierto V que contiene a p y cuya clausura está contenida en X \ F. Entonces, X \ V es un abierto conteniendo a F.

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Proposición 12.3.2. Sean $X$ un espacio, $p$ un punto de $X$ y $C$ un subconjunto cerrado de $X$. Hay abiertos que separan $p$ y $C$ cuyas clausuras son disjuntas.

Demostración. Por la proposición 12.3.1 hay un abierto $V$ que contiene a $p$ y cuya clausura está contenida en el complemento de $C$, $X\setminus C$, Por la misma proposición, hay un abierto $W$ que contiene a $p$ y tal que $Cl(A)\subset V$. Entonces, $W$ y $X\setminus V$ son los abiertos deseados.

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Los Espacios Normales

Proposición 12.3.3. Si H y K son subconjuntos cerrados de un espacio normal X, hay abiertos con clausuras disjuntas, uno de ellos contiene a H y el otro a K.

Proposición 12.3.4. Un espacio Hausdorff compacto es normal.

Demostración. Como cada conjunto conjuntos cerrado en un espacio compacto es compacto (ver 11.4.1), sigue de la proposición 12.2.3 que, en un espacio Hausdorff compacto, abiertos separan cerrados.

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Las propiedades de separación de espacios topológicos.

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La Separación y los Espacios Métricos

Sea E un espacio métrico, p un punto de E y U un abierto que contiene a p. Luego, hay una bola abierta B(p; r) que contiene a p y está contenida en U. Entonces, B(p; r/2) es un abierto contenido en U cuya clausura está contenida en B(p; r) y, por lo tanto en U. Sigue de la proposición 12.3.1 que E es regular.

Probaremos que los espacios métricos tienen la siguiente propiedad:
(Propiedad T₅.) Si H y K son dos subespacios separados (en el sentido de los espacios conexos, ninguno de ellos contiene puntos de acumulación del otro) entonces hay abiertos separando los conjuntos.

Un espacio T₁ se llama completamente normal cuando tienen la propiedad T₅. Los espacios completamente normales son normales.

Teorema 12.3.5. Los espacios métricos son completamente normales.

Demostración. Sea E un espacio métrico y sean H y K subconjuntos separados. Sea U el conjunto formado por todos los puntos p tales que d(p,H) < d(p,K) y sea V el conjunto formado por todos los puntos p tales d(p,H) > d(p.K). Claramente, tales conjuntos son disjuntos H ⊂ U, ya que d(h,H) = 0 y d(h,K) > 0 para todo h en H. Análogamente, K ⊂ V . Probaremos que H es abierto. Sea x cualquier punto de U y sea δ= d(x, k) − d(x,H). Tenemos para y en B(x;δ/2) que d(x,K) ≤ d(x, y) + d(y,K) < δ/2 + d(y,K), de donde d(y,K) + δ/2 > d(x,K) = d(x,H) + δ; lo que implica que d(y,K) > d(x,H) + δ/2. Es decir que y está en U; por lo que U es abierto. En forma análoga, se prueba que V es abierto.

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Los resultados sobre los espacios vistos anteriormente muestra que las propiedades de separación son abstracciones de propiedades de los espacios métricos.

La Separación por Funciones

Esta sección contiene tres resultados importantes, especialmente para el Análisis, pero que no usaremos en el resto del libro. Por esa razón, solamente los enunciaremos, pero referiremos a la literatura para las demostraciones, ver por ejemplo Simmons [15].

Proposición 12.3.6. (Lema de Urysohn) Sea X un espacio normal y sean A y B subconjuntos cerrados disjuntos de X. Entonces, hay una función continua de X en [0, 1] tal que f(A) = {0} y f(B) = {1}.

Proposición 12.3.7 (Lema de la extensión de Tietze). Sea X un espacio normal y F un subconjunto cerrado de X. Suponer que tenemos una función f : A → [a, b] ⊂ R continua. Entonces, hay una extensión g : X → [a, b] de f, o sea que la restricción de g a F coincide con f.

El siguiente lema responde a la pregunta de cuando un espacio topológico X es metrizable, es decir cuando hay una métrica en X cuya topología inducida coincide con la topología del espacio.

Proposición 12.3.8 (Lema de la Metrización de Urysohn). Cada espacio normal X con una base con una cantidad contable de elementos (se pueden escribir como una sucesión), es metrizable.

• Heinrich Franz Friedrich Tietze 1880–1964, Austriaco
• Pavel Samuilovich Urysohn (1898–1924), Ucraniano.

Ejercicios 12.3

1. Probar que subespacios de espacios regulares (resp. completamente regulares, normales, completamente regulares) también lo son.
2. Los espacios completamente normales son normales.
3. Sea X un espacio regular y p un punto de X y F un cerrado que no contiene a p. Entonces, hay abiertos tales que uno de ellos contiene a p y el otro a F y cuyas clausuras son disjuntas.

Ejercicios del Capítulo 12

1. Sea X un espacio topológico. Probar que X es un espacio T₀, ssi, para todo x, y en X, x ∉ cl{y} o y ∉ cl{y}, ssi, x ≠ y implica que cl{x} ≠ cl{y}.
2. Sea X un espacio topológico. Definamos una relación de equivalencia R en X, por x R y, ssi, cl{x} = cl{y}. Probar que el espacio cociente es T₀.
3. Sea X un espacio topológico y sea ∼ la relación en X tal que x ∼ y, ssi, x ∈ cl{y}. La relación es reflexiva y simétrica. La relación es antisimétrica, ssi, el espacio es T₀.
4. Sea X_i, i ∈ I una familia no vacía de espacios topológicos no vacíos y sea X su producto topológico. Probar que X es un espacios T_k, k = 0, 1, 2, ssi, cada espacio X_i lo es.
5. Sean f, g : X → Y continuas y supongamos que Y es Hausdorff.
   1. El conjunto {x ∈ X : f(x) = g(x} es un conjunto cerrado.
   2. La gráfica de f, {(x, y) ∈ X × Y : y = f(x)} es cerrado en X × Y .
   3. Si f y g coinciden sobre un subconjunto denso, entonces son iguales.
6. Sea X un espacio topológico y sea R una relación de equivalencia en X, sea g : X → X/R the canonical suprayección. Si (1) R es cerrado en X ×X y (2) g es una función abierta, entonces X/R es Hausdorff.
7. La única topología Hausdorff en un espacio finito es la topología discreta.
8. Subespacios de espacios regulares son regulares.
9. Sea X = {a, b, c} y sea T = {∅ ,X, {a}, {b, c}}. Probar que < X, T > satisface la propiedad T₃, pero no es regular.
10. Un espacio X es completamente regular, ssi, es T₁ y satisface la propiedad T_{3 1/2} para cada p de X y conjunto cerrado F que no contiene a p, hay una función continua de X en [0, 1] tal que f(p) = 0 y f(F) = {1}. (Advertencia: la terminología no está estandarizada, algunos autores intercambian el significado de completamente regular y T_{3 1/2}. También son llamados espacios de Tychonoff).
    1. Cada espacio completamente regular es regular.
    2. Producto de espacios completamente regulares son completamente regulares.
11. Sean f, g : X → Y funciones continuas, Y un espacio Hausdorff. Probar que {x ∈ X : f(x) = g(x)} es cerrado. Dar un ejemplo mostrando que la condición Hausdorff es esencial.
12. Sea X un espacio topológico Hausdorff y f una función continua de X en si mismo. Probar que el conjunto formado por los puntos fijos de F es cerrado. Dar un ejemplo, mostrando que la condición Hausdorff es esencial.
13. Probar que cuando f, g : X → Y son continuas, Y es Hausdorff, y A es un subconjunto denso en X. Entonces, si f|_A = g|_A, se cumple que f = g.