Mecánica clásica/Mecánica analítica/Formulación Hamiltoniana

El principio variacional de Hamilton

El principio de Hamilton es otra hipótesis tal que de ella se derivan las leyes de la Mecánica Clásica, sin necesidad de nada más. El principio de Hamilton sostiene que

$\delta \left(\int dt{\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},t)\right)=0.$

Llamando

$p\equiv \partial _{\dot {q}}{\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},t)$

y definiendo $H(q,p)$ como la transformada de Legendre de la función Lagrangiana con respecto a su variable ${\dot {q}}$

$H(q,p)={\dot {q}}(p)\,p-{\mathcal {L}}(q,\,{\dot {q}}(p),\,t),$

desarrollamos la expresión anterior

${\begin{aligned}0&=\delta \int dt{\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},t)\\&=\delta \int dt\left[{\dot {q}}p-H(q,p,t)\right]\\&=\int dt\left[\delta ({\dot {q}})p+{\dot {q}}\delta (p)-\partial _{q}H(q,p,t)\delta q-\partial _{p}H(q,p,t)\delta p\right]\end{aligned}}$

donde se ha aplicado que las variaciones no actúan sobre la variable tiempo. Por el mismo argumento, la variación entra dentro de la derivada temporal sin problemas. Aplicando esto y la regla de la derivada del producto podemos escribir el primer término como

$\delta ({\dot {q}})p={\frac {d}{dt}}\left(\delta q\right)p={\frac {d}{dt}}\left[\delta (q)p\right]-\delta (q){\dot {p}}$

Sustituyendo este término en nuestra ecuación

${\begin{aligned}0&=\int dt\left[{\frac {d}{dt}}\left[\delta (q)p\right]-\delta q\left({\dot {p}}+\partial _{q}H\right)+\delta p\left({\dot {q}}-\partial pH\right)\right]\\&=\left[\delta (q)p\right]_{t_{0}}^{t_{1}}+\int dt\left[-\delta q\left({\dot {p}}+\partial _{q}H\right)+\delta p\left({\dot {q}}-\partial pH\right)\right]\end{aligned}}$

Las variaciones, en particular la de q, no dependen del tiempo por el principio variacional, por lo que el primer término se anula. Además, dado que q y p son independientes, sus variaciones también lo son. Esto implica que, para que la integral se anule siempre, sendos factores acompañando a \delta q y \delta p deben ser siempre nulos.

Así se obtienen las llamadas ecuaciones de Hamilton:

${\begin{cases}{\dot {q}}=\partial _{p}H(q,p,t)\\{\dot {p}}=-\partial _{q}H(q,p,t)\end{cases}}.$

Es fácil de recuerdar cuál lleva el signo negativo pensando en la partícula libre. Para ella su Hamiltoniano es la energía cínética:

$H_{\mbox{libre}}={\frac {p^{2}}{2m}}$

Derivando con respecto a p se obtiene

${\frac {\partial H}{\partial p}}={\frac {p}{m}}$

y dado que sabemos que para la particula libre $p=mv=m{\dot {x}}=m{\dot {q}}$ se induce que

${\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}$

y debe ser la otra ecuación la que incluye un signo negativo.

Otra derivación de las ecuaciones de Hamilton

Una vez definida la función Lagrangiana del sistema

$L=L(q_{j},{\dot {q}}_{j},t)$

se definen los momentos generalizados como

$p_{i}\equiv {\frac {\partial L(q_{j},{\dot {q}}_{j},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.$

El conjunto de las (q,p) es conocido como variables o coordenadas canónicas (incluídos también los momentos generalizados y no solo las coordenadas generalizadas, como se podría esperar por el nombre).

Desde un punto de vista matemático, las variables $q_{j}\!$ y ${\dot {q}}_{j}\!$ pueden ser tratadas como independientes. Es por ello que se pueden tomar derivadas parciales con respecto a una $q_{i}\!$ considerando las restantes $q_{j}\!$ (j distinto de i) y todas las ${\dot {q}}_{j}\!$ como constantes . Desde un punto de vista estrictamente matemático, el paso de la formulación Lagrangiana a la Hamiltoniana se basa en cambiar las variables $(q,{\dot {q}},t)\!$ de nuestras funciones mecánicas a $(q,p,t)\!$ mediante el formalismo de las Transformadas de Legendre :

$H(q,p,t)={\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,\,{\dot {q}}(q,p,t),\,t),$

que tiene el diferencial

$dH={\dot {q}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dq_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}},$

ya que el término $p_{i}dq_{i}\!$ desaparece al realizar la transformada de Legendre.

Para poder obtener $H=H(q,p,t)$ a partir de $L=L(q,{\dot {q}},t)$, es decir, para poder pasar de la Formulación Lagrangiana a la Formulación Hamiltoniana, es necesario hacer uso del teorema de la función implícita, que determina cuándo se podrán expresar las velocidades generalizadas en términos de los momentos generalizados

$p_{i}\equiv {\frac {\partial L(q_{j},{\dot {q}}_{j},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\quad \longrightarrow \quad {\dot {q}}_{j}={\dot {q}}_{j}(q_{i},p_{i},t).$

La condición que debe cumplirse es que el determinante de la matriz Hessiana de la Lagrangiana con respecto a las velocidades generalizadas sea cero

$det\left({\frac {\partial L(q,{\dot {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}\,\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)=0.$

Continuando con la ecuación obtenida antes, igualando las derivadas segundas cruzadas de la función Hamiltoniana, se tiene un total de 2n+1 ecuaciones

${\begin{cases}{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\\{\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\\{\dot {\frac {\partial L}{\partial t}}}=-{\frac {\partial H}{\partial t}}\end{cases}}$

que se conocen como las ecuaciones canónicas de Hamilton. Arreglar: Como se han presentado, parecería que dichas ecuaciones son un simple resultado matemático, cuando en realidad han de suponerse para establecer las bases de la mecánica.

La matriz simpléctica

Las dos primeras ecuaciones se pueden escribir por medio de la matriz simpléctica $\Omega ={\bigl (}{\begin{smallmatrix}\mathbf {0} &{\mathcal {I}}\\-{\mathcal {I}}&\mathbf {0} \end{smallmatrix}}{\bigl )}$.

${\begin{pmatrix}{\dot {q}}_{1}\\{\dot {q}}_{2}\\\vdots \\{\dot {q}}_{n}\\{\dot {p}}_{1}\\{\dot {p}}_{2}\\\vdots \\{\dot {p}}_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&1&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0&0&0&\cdots &1\\-1&0&\cdots &0&0&0&\cdots &0\\0&-1&\cdots &0&0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &-1&0&0&\cdots &0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial H}{\partial q_{1}}}\\{\frac {\partial H}{\partial q_{2}}}\\\vdots \\{\frac {\partial H}{\partial q_{n}}}\\{\frac {\partial H}{\partial p_{1}}}\\{\frac {\partial H}{\partial p_{2}}}\\\vdots \\{\frac {\partial H}{\partial p_{n}}}\end{pmatrix}}$

o de forma más compacta (usando q y p como vectores) y gradientes en vez de derivadas parciales.

${\begin{pmatrix}{\dot {q}}\\{\dot {p}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {0} _{n\times n}&{\mathcal {I}}_{n\times n}\\-{\mathcal {I}}_{n\times n}&\mathbf {0} _{n\times n}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial H}{\partial q}}\\{\frac {\partial H}{\partial p}}\end{pmatrix}}.$

De manera aún más compacta y agradable a la vista y a la memoria se puede escribir como

${\dot {\varphi }}=\Omega \,\partial _{\varphi }H$

donde $\varphi$ es un vector que incluye todas nuestras coordenadas canónicas (coordenadas y momentos) de nuestro sistema y $\partial _{\varphi }$ es el operador gradiente con respecto a cada una de dichas coordenadas

$\varphi \,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\\vdots \\q_{n}\\p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}},\quad \partial _{\varphi }={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\\{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\\\vdots \\{\frac {\partial }{\partial q_{n}}}\\{\frac {\partial }{\partial p_{1}}}\\{\frac {\partial }{\partial p_{2}}}\\\vdots \\{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial q}}\\{\frac {\partial }{\partial p}}\end{pmatrix}}.$

Dicha ecuación matricial puede escribirse también para cada coordenada individualmente

${\dot {\varphi }}_{a}=\omega _{ab}\,\partial _{\varphi _{b}}H$

donde en esta caso la derivada es simplemente una derivada parcial convencional. Cuando se utilizan $\varphi _{a}$ concretos, es natural evitar notación numérica en los subíndices y hacer referencia a las coordenadas a las que se quiere hacer referencia, ya que es más intuitivo. Por ejemplo $\varphi _{q_{2}}$ o simplemente $q_{2}$. Si se recuerdan las ecuaciones de Hamilton es inmediato dar los valores adecuados a $\omega _{ab}$:

${\begin{cases}\omega _{q_{i}p_{i}}=1\\\omega _{p_{i}q_{i}}=-1\\\omega _{ab}=0\,{\mbox{ si }}a{\mbox{ hace referencia a una coordenada canónica y }}b{\mbox{ a otra que no es su conjugada.}}\end{cases}}$

De esta forma recordamos fácilmente las ecuaciones de Hamilton tanto en forma matricial como coordenada a coordenada.

En el caso de un grado de libertad, se escribe simplemente:

${\begin{pmatrix}{\dot {q}}\\{\dot {p}}\end{pmatrix}}=\Omega {\begin{pmatrix}\partial _{q}H\\\partial _{p}H\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\partial _{q}H\\\partial _{p}H\end{pmatrix}}.$

La matriz simpléctica hace las ecuaciones de Hamilton muy simples de recordar, pero no solo eso, permitirá escribir y demostrar otros teoremas de forma muy corta, sin tener que abusar de los puntos suspensivos. Tan solo es un requisito el habituarse a ver las coordenadas como vectores y las derivadas como gradientes.

Conservación de la energía

Si las ligaduras de las coordenadas $q_{i}\!$ no dependen del tiempo explícitamente, y las fuerzas provienen de potenciales conservativos, se cumple que

$H=T+U\!$

y su valor es igual al de la energía total del sistema

$H=E.\!$