Mecánica cuántica/El grupo de las rotaciones

Consideremos el conjunto de las rotaciones en un espacio tridimensional.

Para definir una rotación $R_{\vec {n}}(\phi )$ necesitamos 3 parámetros:

• Un eje ${\vec {n}}$ o vector de módulo unidad (2 parámetros)
• El ángulo de la rotación $\phi$ (1 parámetro)

donde para el ángulo se define el sentido positivo como antihorario.

• El conjunto de las rotaciones es continuo (infinito).
• Grupo de Lie 3-dim (es ¿isomorfo a las matrices de orden 3?)

Consideremos las rotaciones $R_{z}(\phi )$ sobre el plano $XY$ (por lo tanto, en torno al eje $Z$). Consideremos la base ortonormal $\{|e_{i}\rangle \}$ (piensa en X, Y y Z). ¿Cuál es la matriz que representa esas rotaciones en esta base?

La obtendremos de una forma muy fácil ya que es la misma que la involucrada en la siguiente igualdad en la que intervienen los vectores de la base (demostrar por qué). Ten en cuenta que en dicha igualdad ¡los vectores están compuestos de vectores!

$R_{z}(\phi ){\begin{pmatrix}|e_{1}\rangle &|e_{2}\rangle &|e_{3}\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}|e_{1}\rangle &|e_{2}\rangle &|e_{3}\rangle \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}?&?&?\\?&?&?\\?&?&?\end{pmatrix}}$

Veamos cómo actúa la rotación sobre los vectores de la base para determinar sus elementos. Recordemos como eran las coordenadas esféricas, aunque no sea necesario.

${\begin{cases}z=r\cos \theta \\x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi .\end{cases}}$

La vector unitario en el eje Z se quedará igual tras un giro en el plano XY. Dado que $\phi$ comienza en el eje X, una rotación de $\phi$ llevará al vector unitario del eje X a otro vector unitario cuya proyección en el eje X será $\cos(\phi )$ y $\sin(\phi )$ en Y. La posición del vector unitario del eje Y será igual a aquella donde haya llegado el vector unitario del eje X más un ángulo recto. Es decir, $\cos(\phi +\pi /2)=-\sin(\phi )$ en el eje X y $\sin(\phi +\pi /2)=\cos(\phi )$ en el eje Y.

${\begin{cases}R_{x}(\phi )|e_{1}\rangle &=\cos(\phi )\,|e_{1}\rangle +\sin(\phi )\,|e_{2}\rangle \\R_{y}(\phi )|e_{2}\rangle &=-\sin(\phi )\,|e_{1}\rangle +\cos(\phi )\,|e_{2}\rangle \\R_{z}(\phi )|e_{3}\rangle &=|e_{3}\rangle \end{cases}}$

Es fácil ver que la matriz incógnita es (abreviando la notación):

$R_{z}(\phi )={\begin{pmatrix}c_{\phi }&-s_{\phi }&0\\s_{\phi }&c_{\phi }&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

ya que en efecto

${\begin{pmatrix}|e_{1}\rangle &|e_{2}\rangle &|e_{3}\rangle \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{\phi }&-s_{\phi }&0\\s_{\phi }&c_{\phi }&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=(c_{\phi }\,|e_{1}\rangle +s_{\phi }\,|e_{2}\rangle ,\;-s_{\phi }\,|e_{1}\rangle +c_{\phi })\,\;|e_{2}\rangle ,\;|e_{3}\rangle )$

que es el resultado que hemos pensado anteriormente.

Veamos actúa como actúa la rotación sobre un vector en la base canónica que estamos utilizando

$|v\rangle \doteq {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}.$

$R_{z}(\phi )|v\rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\phi }&-s_{\phi }&0\\s_{\phi }&c_{\phi }&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v'_{1}\\v'_{2}\\v'_{3}\end{pmatrix}}$

Seguro que ahora te resulta fácil obtener las otras matrices de rotación:

$R_{x}(\phi )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&c_{\phi }&-s_{\phi }\\0&s_{\phi }&c_{\phi }\end{pmatrix}}$

$R_{y}(\phi )={\begin{pmatrix}c_{\phi }&0&s_{\phi }\\0&1&0\\-s_{\phi }&0&c_{\phi }\end{pmatrix}}$

Definición de grupo: conjunto de elementos con una operación interna que satisface las propiedades:

• Asociativa
• $\exists$ neutro
• $\exists$ inverso

Consideremos una rotación alrededor del eje Z infinitesimal. Usando el primer término de los desarrollos en serie de Taylor de $s_{\phi }$ y $c_{\phi }$

$s_{\phi }\approx \phi -{\frac {\phi ^{3}}{3!}}+\cdots$

$c_{\phi }\approx 1-{\frac {\phi ^{2}}{2!}}+\cdots$

se obtiene que la matriz de rotación infinitesimal es

$R_{z}(d\phi )={\begin{pmatrix}1&-d\phi &0\\d\phi &1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.$

Ahora, ya que la rotación es muy pequeña, por definición la escribimos como

$R_{z}(d\phi )\equiv {\mathcal {I}}-id\phi {\frac {J_{z}}{\hbar }}$

donde $J_{z}$ es el generador de las rotaciones alrededor del eje $Z$. Podemos obtener su expresión despejando

${\mathcal {I}}-id\phi {\frac {J_{z}}{\hbar }}={\begin{pmatrix}1&-d\phi &0\\d\phi &1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

${\frac {J_{z}}{\hbar }}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

Y mediante algún método más elegante que la multiplicación se comprueba que

$dR_{z}(\phi )\equiv R_{z}(\phi +d\phi )-R_{z}(\phi )=R_{z}(\phi )R_{z}(d\phi )-R_{z}(\phi )$

y con lo cual se obtiene la ecuación

\begin{center} \boxed{\frac{dR_z}{d\phi}=-iR_z\frac{J_z}{\hbar}.} \end{center}

Una solución de la ecuación anterior con la condición de contorno

$R_{z}(0)={\mathcal {I}}$

es

$R_{z}(\phi )=e^{-i\phi {\frac {J_{z}}{\hbar }}}.$

$ngrightarrow$ Ejercicio: Demostrar que desarrollando el operador exponencial se llega a la expresión matricial antes dada.

$e^{-i{\frac {J_{z}}{\hbar }}\phi }={\mathcal {I}}+\left({\frac {J_{z}}{\hbar }}\right)(-i\phi )+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {J_{z}}{\hbar }}\right)^{2}(-i\phi )^{2}+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {J_{z}}{\hbar }}\right)^{3}(-i\phi )^{3}+\cdots ={\begin{pmatrix}c_{\phi }&-s_{\phi }&0\\s_{\phi }&c_{\phi }&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=R_{z}(\phi )$

Resúmen: Calculando el operador de rotación infinitesimal hemos obtenido el generador del operador de rotación.

• Análogamente, se encuentran los generadores ${\frac {J_{z}}{\hbar }}$ y ${\frac {J_{y}}{\hbar }}$ de las rotaciones alrededor de los ejes x e y.

En general, una rotación infinitesimal $(d\phi )$ alrededor del eje ${\vec {n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})$ viene descrita por

$R_{\vec {n}}(d\phi )={\mathcal {I}}-id\phi \left(n_{x}{\frac {J_{x}}{\hbar }}+n_{y}{\frac {J_{y}}{\hbar }}+n_{z}{\frac {J_{z}}{\hbar }}\right)$

• ${\vec {n}}\cdot {\frac {\vec {J}}{\hbar }}$ es el generador de las rotaciones alrededor del eje ${\vec {n}}$

$\Rightarrow$ \boxed{R_{\vec n}(\phi)=e^{-i\phi\frac{\vec n\cdot \vec J}{\hbar}}}

• El generador ${\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}$ es una combinación lineal de ${\frac {J_{x}}{\hbar }}$, ${\frac {J_{y}}{\hbar }}$ y ${\frac {J_{z}}{\hbar }}$ (los generadores forman un espacio vectorial 3-dim: álgebra del grupo de rotaciones)

• Los 3 generadores obedecen la regla de conmutación: $\left[{\frac {J_{x}}{\hbar }},{\frac {J_{y}}{\hbar }}\right]={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\-i&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix}}-M_{1}\,M_{2}=i{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}=i{\frac {J_{z}}{\hbar }}$

• El generador por $\hbar$, $J_{i}$, verifica

\boxed{\left[J_x,J_y\right]=i\hbar J_z

$\Rightarrow$ ¡Los generadores de las rotaciones tienen las mismas reglas de conmutación que el momento angular!

• Otra parametrización de las rotaciones en $\mathbb {R} ^{3}$ son los ángulos de Euler:

$R(\alpha ,\beta ,\gamma )=R_{z}(\alpha )R_{y}(\beta )R_{z}(\gamma )={\begin{pmatrix}-c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }c_{\gamma }&c_{\alpha }s_{\beta }\\s_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }+c_{\alpha }s_{\gamma }&-s_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }+c_{\alpha }c_{\gamma }&s_{\alpha }s_{\beta }\\-s_{\beta }c_{\gamma }&s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\beta }\end{pmatrix}}$

donde se cumple

$\varphi ={\frac {\pi +\alpha -\gamma }{2}}$

$tg\theta ={\frac {tg\beta /2}{\sin {\frac {\gamma +\alpha }{2}}}}$

$\cos \phi =2\cos ^{2}{\frac {\beta }{2}}$

$x\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}-1\{?\}$

Dicha matriz tiene las siguientes propiedades

• Matriz $3\times 3$
• $\det A=1$
• $A^{\dagger }A={\mathcal {I}}$

$[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}$

$\Longrightarrow$ Si en un espacio de Hilbert $\mathbb {H}$ pueden definirse el operador momento angular y los generadores de las rotaciones, esos dos operadores serán el mismo.

• En Mecanica Cuántica las tres componentes del momento angular "son" los generadores de las rotaciones. El momento angular determina cómo gira el sistema.
• Las rotaciones son operaciones que pueden realizarse sobre distintos sistemas físicos (en general, los sistemas físicos no tienen que ser vectores de $\mathbb {R} ^{3}$ sino un vector de un $\mathbb {H}$ y matemáticamente la operación es una transformación lineal sobre $\mathbb {H}$).
• ¿Sobre qué espacios de Hilbert pueden actuar las rotaciones? Sobre cualquier $\mathbb {H}$ donde existan 3 matrices $(J_{x},J_{y},J_{z})$ con $[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{n}$ $\to R_{\vec {n}}(\phi )=e^{-{\frac {i}{\hbar }}\phi {\vec {n}}\cdot {\vec {J}}}$
• Cada uno de los espacios de Hilbert que obedecen las reglas de conmutación son una representación del grupo de rotaciones.
• En estos $\mathbb {H}$ los operadores que representan al momento angular serán los mismos que los operadores que representan a los generadores de las rotaciones. Si tienen momento angular entonces: ${\vec {J}}=(J_{x},J_{y},J_{z})=\,sobre\,=\mathbb {H}$
• Los valores propios de esos operadores determinan los posibles valores propios del momento angular.

Queremos encontrar todos los espacios de Hilbert $\mathbb {H}$ donde puede definirse el momento angular (o todas las representaciones del grupo de rotaciones) donde puedo determinar 3 operadores $J_{i}$ con

$[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}.$

Pero recapitulando: ¿Qúe posibles valores tiene $L_{i}$?

El momento lineal es un operador que coincide con el generador de las translaciones.

Uno acaba diciendo en mecánica cuántica que el momento angular es el generador de las rotaciones.

Lo que viva en un determinado espacio de Hilbert, si gira, rotará de la forma

$R_{\vec {n}}(\phi )=e^{i\phi {\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}}$

Vamos a encontrar TODOS los $\mathbb {H}$ con 3 operadores $J_{i}$ que definan momento angular: $[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}$

Ya conocemos uno parecido a $\mathbb {R} ^{3}$ (pero distinto):

$J_{1}=\hbar {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\quad \cdots$

Al medir $J_{z}$ obtendremos algunos de los valores propios.

$\hbar \left|{\begin{matrix}-\lambda &-i&0\\i&-\lambda &0\\0&0&0\end{matrix}}\right|\quad \Rightarrow \quad \lambda =\left\{{\begin{matrix}\hbar \\0\\-\hbar \end{matrix}}\right.$

${\begin{matrix}|1\ 1\rangle &\doteq &{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\mathrm{i}\\0\end{pmatrix}}\\|1\ 0\rangle &\doteq &{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\\|1\ {-1}\rangle &\doteq &{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\mathrm{i}\\0\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

La matriz de cambio de base

$S={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}$ relaciona las componentes en la base nueva con las componentes en base antigua:

$|1\ 1\rangle \doteq {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

$S^{\dagger }J_{z}SS^{-1}V=S^{\dagger }V'$

Si hacéis los cálculos

$S^{\dagger }J_{3}S=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

tiene que ser diagonal. Es importante no alterar el orden de $S$ y $S^{\dagger }$.

Puede haber sistemas físicos donde el momento angular viene descrito por esas tres matrices. Al medir $J_{z}$ se encuentra $\hbar$, 0 ó $-\hbar$. El momento angular está cuantizado.

El estado $|\alpha \rangle \in \mathbb {H} ^{j=1}$ "gira" (rota)

$|\alpha \rangle \overbrace {\rightarrow } ^{R_{\vec {n}}(\phi )}R_{\vec {n}}(\phi )|\alpha \rangle$