Mecánica cuántica/Reglas de conmutación del momento angular orbital

Clásicamente: el momento angular ${\vec {L}}$ respecto al origen de una partícula con vector de posición ${\vec {x}}$ y momento lineal ${\vec {p}}$ es el siguiente:

${\vec {L}}={\vec {x}}\times {\vec {p}}$

• $L=xp\sin \theta$
• Si ${\vec {x}}\parallel {\vec {p}}\Rightarrow {\vec {L}}=0$

Postulado IV:

${\vec {x}}\rightarrow {\vec {X}}\quad {\vec {p}}\rightarrow {\vec {P}}$

${\vec {L}}={\vec {X}}\times {\vec {P}}$

$L_{1}=X_{2}P_{3}-X_{3}P_{2}\equiv YP_{z}-ZP_{y}$

$L_{i}=\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}X_{j}P_{k}$

Donde $\epsilon _{ijk}$ es el tensor (símbolo) antisimétrico epsilon Levi-Civita que se define como

$\epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{aligned}0&{\text{ si}}&{\text{hay índices repetidos}}\\1&{\text{ si}}&{\begin{cases}{\text{i=1, j=2 y k=3}}\\{\text{permutación par de lo anterior}}\end{cases}}\\-1&{\text{ si}}&{\text{permutación impar}}\end{aligned}}\right.$

En particular

${\begin{matrix}L_{1}&=&\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{1jk}X_{j}P_{k}=\\&=&\sum _{j,k=2}^{3}\epsilon _{1jk}X_{j}P_{k}+{\cancel {\sum _{j=1}^{3}\epsilon _{1j1}X_{j}P_{1}}}+{\cancel {\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{11k}X_{1}P_{k}}}\\&=&\underbrace {\epsilon _{122}} _{0}X_{2}P_{2}+\underbrace {\epsilon _{123}} _{1}X_{2}P_{3}+\underbrace {\epsilon _{132}} _{-1}X_{3}P_{2}+\underbrace {\epsilon _{133}} _{0}X_{3}P_{3}\\&=&YP_{z}-ZP_{y}\end{matrix}}$

A partir de

$[x_{i},p_{j}]=i\hbar \delta _{ij}{\mathcal {I}}$

llegamos a las reglas de conmutación del momento angular

$\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}$

• El momento angular cuántico ${\vec {L}}$ vendrá descrito por 3 matrices $(L_{1},L_{2},L_{3})$ que obedecen las reglas de conmutación.