Mecánica cuántica/Representaciones del momento angular

$\mathbb {H} ^{1}=\left\{{\begin{matrix}\hbar \\0\\-\hbar \end{matrix}}\right.$

$\mathbb {H} ^{1/2}=\left\{{\begin{matrix}\hbar \\-\hbar \end{matrix}}\right.$

¿El momento angular puede tomar otros valores?

Queremos encontrar todas las matrices que pueden describir el momento angular en MC.

$\to$ Se define $J^{2}=J_{1}^{2}+\ldots$. $[J^{2},J_{i}]$ (podéis comprobarlo)

$\Rightarrow$ Puedo definir simultánente $J^{2}$ y $J_{z}$

$\mathbb {H} :\left\{|a\ b\rangle \right\}$

$J^{2}|ab\rangle =a|ab\rangle$

$J_{z}|ab\rangle =b|ab\rangle$

$\to$ Es conveniente definir los operadores escalera

$J_{+}\equiv J_{1}+iJ_{2}\quad {\text{(ascendente)}}$

$J_{-}\equiv J_{1}-iJ_{2}\quad {\text{(descendente)}}$

Propiedades:

• $J_{i}^{\dagger }=J_{i}\Rightarrow J_{+}^{\dagger }=J_{-}$
• $[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}$
• $[J_{+},J_{-}]=2\hbar J_{3}$
• $[J_{z},J_{\pm }]=\pm \hbar J_{\pm }$

La idea es construir una base tomando un primer vector y luego actuando con J+ y J-. Si el nuevo vector es independiente lo podremos incluir en la base y lo utilizaremos para seguir obteniendo nuevos vectores.

Vamos a demostrar que

• $J_{+}|ab\rangle$ es propio de $J^{2}$ con el mismo valor propio que $|ab\rangle$. $J^{2}J_{+}|ab\rangle =\left([J^{2},J_{+}]+J_{+}J^{2}\right)|ab\rangle =J_{+}\underbrace {J^{2}|ab\rangle } _{a|ab\rangle }=aJ_{+}|ab\rangle$

Además

• $J_{+}|ab\rangle$ es propio de $J_{z}$ $J_{z}J_{+}|ab\rangle =\underbrace {[J_{z},J_{+}]} _{\hbar J_{+}}+J_{+}J_{z}|ab\rangle =\hbar J_{+}|ab\rangle +J_{+}b|ab\rangle =(\hbar +b)J_{+}|ab\rangle$

He empezado por el vector $|ab\rangle$ y aplicando $J_{+}$ y normalizando nos permite encontrar el vector $|a\quad {b+\hbar }\rangle$, que es proporcional a $J_{+}|a\ b\rangle$. Volvemos a aplicar $J_{+}$ para obtener $|a\quad b+\hbar \rangle$, y así hasta que $J_{+}|a\ b_{\max }\rangle =0$. Entonces $J_{z}|a\ b_{\max }\rangle =b_{\max }|a\ b_{\max }\rangle$.

$\to$ $J_{-}|ab\rangle$ es vector propio de $J^{2}$ (v.p. a) y de $J_{z}$ (val. propio $b-\hbar$)

$\to$ Todos los vectores son propios de $J^{2}$ con valor propio $a$.

$\to$ $J^{2}=J_{1}^{2}+\ldots =J_{z}^{2}+\hbar J_{z}+J_{+}J_{-}=J_{z}^{2}-\hbar J_{z}+J_{+}J_{-}$

$\to$ $a|a\ b_{\max }\rangle =J^{2}|a\ b_{\max }\rangle =\left(J_{z}^{2}+\hbar J_{z}+J_{-}J_{+}\right)|a\ b_{\max }\rangle =\left(b_{\max }^{2}+\hbar b_{\max }+0\right)|a\ b_{\max }\rangle$

Redefinimos

• $b_{\max }\equiv \hbar j$

• $b_{\min }\equiv \hbar l$

• $\{|j\ j\rangle ,|j,j-1\rangle ,\ldots ,|j\ m\rangle ,\ldots ,|j,l\rangle \}$

En particular

$J^{2}|j\ m\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|jm\rangle$

$J_{z}|j\ m\rangle =m\hbar |j\ m\rangle .$

Y ahora

$J^{2}|ab\rangle =\left(b_{\max }\hbar b_{\max }\right)|ab_{\max }\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)\underbrace {|ab_{\max }\rangle } _{=|jj\rangle }$

$b_{\max }\equiv \hbar j\quad v_{\min }\equiv \hbar l\quad b\equiv \hbar m$

$J^{2}|jm\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|jm\rangle$

$J_{z}|jm\rangle =\hbar m|jm\rangle$

El módulo de $J_{-}|jl\rangle =0$

$|J_{-}|jl\rangle |^{2}=\langle jl|J_{-}^{\dagger }J_{-}|jl\rangle =\langle jl|\underbrace {J_{+}J_{-}} _{J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}}|jl\rangle =\hbar ^{2}\left[\underbrace {j(j+1)-l^{2}+l} _{l=-j}\right]\langle jl|jl\rangle$

La diferencia $j-(-j)=2j\equiv n\in \mathbb {Z} _{+}$ es el número de saltos que se han dado.

$j={\frac {n}{2}},\quad n=\left(0,{\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},\ldots \right)$

Es decir, $n$ es entero o semientero.

$\#{\text{ vect. base}}={\text{ Dim }}\mathbb {H} ^{j}=1+n=2j+1$

$\mathbb {H} ^{j}:\{|j\;j\rangle ,|j\;{j-1}\rangle ,\ldots |j\;m\rangle ,\ldots |j\;{-j}\rangle \}$

Hemos demostrado que

$J^{2}|jm\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|jm\rangle$

$J_{z}|jm\rangle =\hbar m|jm\rangle$

$J_{\pm }|jm\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}|j\ m\pm 1\rangle$

$\mathbb {H} ^{j={\frac {3}{2}}}:\left\{\left|{\frac {3}{2}}{\frac {3}{2}}\right\rangle ,\left|{\frac {3}{2}}{\frac {1}{2}}\right\rangle ,\left|{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\right\rangle ,\left|{\frac {3}{2}}-{\frac {3}{2}}\right\rangle \right\}$

Y

$J_{z}\left(\ldots \right)={\begin{pmatrix}|{\frac {3}{2}}{\frac {3}{2}}\rangle &\ldots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}\hbar &0&&\\0&{\frac {1}{2}}\hbar &&\\0&0&\ddots &\\0&0&&\end{pmatrix}}$

$J_{+}+J_{-}=2J_{x}$

$J_{+}-J_{-}=2iJ_{y}$

• Podríamos haber elegido una base de estados propios de $J^{2}$ y $J_{x}$ $J_{z}\rightarrow J_{x}$ $J_{x}\rightarrow J_{y}$ $J_{y}\rightarrow J_{z},$

lo cual es equivalente a diagonalizar $J_{x}$.

• Hemos encontrado las representaciones "irreducibles" del momento angular, pero la suma de dos representaciones irreducibles también es una representación.

$\mathbb {H} ^{j_{1}}:2j_{1}+1\quad J_{i}^{j_{1}}={\begin{pmatrix}&\\&\end{pmatrix}}$

$\mathbb {H} ^{j_{2}}:2j_{2}+1\quad J_{i}^{j_{2}}={\begin{pmatrix}&\\&\end{pmatrix}}$

Si las dos matrices lo verifican, ésta más grande también verifica las relaciones de conmutación:

$J_{i}={\begin{pmatrix}J_{i}^{j_{1}}&\\&J_{i}^{j_{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\vdots \\\vdots \end{pmatrix}}$

$\mathbb {H} =\mathbb {H} ^{j_{1}}\oplus \mathbb {H} ^{j_{2}}$

${\text{Dim }}\mathbb {H} =(2j_{1}+1)+(2j_{2}+1)$

$\mathbb {H} \ni |\alpha \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|jm\rangle +|j_{2}m\rangle \right)$

Son vectores sin momento angular bien definido (al medir podría salir uno u otro).