Consideremos 2 partículas idénticas (n y p) identificadas por sus valores propios respecto a un mismo CCOC.

$|a'b'c'\ldots \rangle \equiv |a'\rangle$

$A|a'b'c'\ldots \rangle =a'|a'b'c'\ldots \rangle$

$|a''b''\ldots \rangle =|a''\rangle$

$A|a''b''\ldots \rangle =a''|a''\rangle$

El sistema de ambas partículas viene descrito por su producto directo

donde la posición que ocupan escritas en el ket (en el sentido de orden) indica si se trata de la primera o de la segunda partícula.

¿Cómo actúa el observable $A=A_{1}+A_{2}=A_{1}\otimes {\mathcal {I}}_{2}+{\mathcal {I}}_{1}\otimes A_{2}$ sobre el sistema?

$A|a'a''\rangle =A|a'\rangle \otimes {\mathcal {I}}|a''\rangle +{\mathcal {I}}|a'\rangle \otimes A|a''\rangle =(a'+a'')|a'a''\rangle$

Entonces

$A|a'a''\rangle =(a'+a'')|a'a''\rangle$

$A|a''a'\rangle =(a''+a')|a''a'\rangle$

tenemos que estos dos estados matemáticamente distinguibles (ortogonales) son físicamente indistinguibles: los observables del CCOC da para ambos el mismo valor propio. Haciendo medidas no se pueden distinguir.

"Degeneración de intercambio" $c_{1}|a'a''\rangle +c_{2}|a''a'\rangle$ tiene los mismos valores propios.

Es conveniente introducir el grupo $S_{n}$ de permutaciones de n objetos $S_{n}\ni p$ tal que cambie el orden de n elementos

$S_{n}\ni p={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\p_{1}&p_{2}&\cdots &p_{n}\end{pmatrix}}$

Ejemplo:

$S_{2}=\left\{e={\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}\right\}$

Ejemplo: $S_{3}=\left\{e={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}\right\}$

Las tres primeras de este ejemplo son trasposiciones y las demás se componen con dos transpociones.

El orden de $S_{n}$ es $n(n-1)\cdots =n!$

${\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}$

Notación "2-ado"

${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}{\cancel {\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}}}$

"1 va a 2, 2 va a 1"

${\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}$ es lo mismo que ${\begin{pmatrix}\ldots \end{pmatrix}}$

Y se multiplican leyendo...

${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}$

Otro ejemplo..

${\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}{\cancel {\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}$

Podemos definir la acción de una permutación de $S_{n}$ sobre un estado cuántico de n partículas.

Ejemplo: $n=2$ $|a'a''\rangle$ $S_{2}=\{e_{1}{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}\}$

${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}|a'a''\rangle =|a''a'\rangle$

Ejemplo $n=3$ $|a'a''a'''\rangle$

${\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}|a'a''a'''\rangle =|a'a''a'''\rangle$

Para el grupo $S_{2}?\{e,{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}\}$ se definen el simetrizador $S$ y el antisimetrizador $a$ del grupo.

$S={\frac {1}{2}}\left[e+{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}\right]$

$a={\frac {1}{2}}\left[e-{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}\right]$

¿Cómo actúan $S$ y $a$ sobre $|a'a''\rangle$ ?

$S|a'a''\rangle ={\frac {1}{2}}\left(e+{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}\right)|a'a''\rangle ={\frac {1}{2}}\left(|a'a''\rangle +|a''a'\rangle \right)$

Y normalizando

${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {1}{2}}\left(|a'a''\rangle +|a''a'\rangle \right)\equiv |a'a''\rangle _{S}$

$|a'a''\rangle _{S}={\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}|a'a''\rangle _{S}={\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|a'a''\rangle +|a''a'\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|a''a'\rangle +|a''a'\rangle \right)$

$a|a'a''\rangle ={\frac {1}{2}}\left[e-{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}|a'a''\rangle \right]={\frac {1}{2}}\left(|a'a''\rangle -|a''a'\rangle \right)$

Y normalizando

${\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|a'a''\rangle -|a''a'\rangle \right)\equiv |a'a''\rangle _{a}$

$|a'a''\rangle _{a}={\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}|a'a''\rangle _{a}={\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|a'a''\rangle -|a''a'\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|a''a'\rangle -|a''a'\rangle \right)=\ldots$

Simetría bajo permutaciones

Para n partículas

$S={\frac {1}{n!}}\sum _{p}p$

$S_{3}\to s={\frac {1}{6}}\left[e+{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&3&2\end{pmatrix}}\right]$

$a={\frac {1}{n!}}\sum _{p}(-1)^{p}p$

$S_{3}\to a={\frac {1}{6}}\left[e-{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&3&2\end{pmatrix}}\right]$

$|i_{1}\ldots i_{n}\rangle _{S}=S|i_{1}\ldots i_{n}\rangle \quad {\text{normalizado}}$

es simétrico (par) bajo transposiciones.

$|i_{1}\ldots i_{n}\rangle _{a}=a|i_{1}\ldots i_{n}\rangle \quad {\text{normalizado}}$

es antisimétrico (impar) bajo transposiciones.

Dadas 3 partículas idéticas en el estado $|a'\rangle$ , $|a''\rangle$ y $|a'''\rangle$ constante $|a'a''a'''\rangle _{S}$ y $|a'a''a'''\rangle _{a}$ .

(Creo que esto va aquí)

Ejercicio para casa: Simetrizar y antisimetrizar este estado $|a'a'a''\rangle$ y comprobar

${\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}|a'a''a'''\rangle _{s}=+|a'a''a'''\rangle _{s}$

${\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}|a'a''a'''\rangle _{a}=-|a'a''a'''\rangle _{a}$