Mecánica cuántica/Sistemas de espín

Consideremos las tres matrices complejas hermíticas ($J_{i}^{\dagger }=J_{i}$) $2\times 2$

$J_{1}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

$J_{2}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

$J_{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

tales que

$[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}.$

Estas a su vez se pueden definir en términos de las matrices Pauli $\rho _{i}$:

$J_{i}={\frac {\hbar }{2}}\rho _{i}$

• Pueden existir sistemas físicos (sistemas de espín ${\frac {1}{2}}$ y momento angular ${\frac {1}{2}}$) para los cuales el momento angular viene descrito por estas 3 matrices $2\times 2$.

$\underbrace {\left\{\left|{\frac {1}{2}}\;{\frac {1}{2}}\right\rangle ,\left|{\frac {1}{2}}\;{-{\frac {1}{2}}}\right\rangle \right\}} _{\equiv _{def}\{|+\rangle ,|-\rangle \}}\mathbb {H} \ni |\alpha \rangle ={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}$

Al medir $J_{3}$ encontraré ${\frac {\hbar }{2}}$ ó $-{\frac {\hbar }{2}}$.

Los vectores de $\mathbb {H} ^{1/2}$ rotan:

$\mathbb {H} ^{1/2}\ni |\alpha \rangle \mapsto |\alpha '\rangle =e^{-i{\frac {\phi }{\hbar }}{\vec {n}}\cdot {\vec {J}}}|\alpha \rangle =e^{-i{\frac {\phi }{2}}{\vec {n}}\cdot {\vec {\rho }}}|\alpha \rangle$

$R_{z}(\phi )=e^{-i{\frac {\pi }{2}}\rho _{z}}\doteq {\begin{pmatrix}e^{-i\pi /2}&0\\0&{e}^{i\pi /2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}$

$|\alpha \rangle \mapsto |\alpha '\rangle ={\begin{pmatrix}e^{-i\pi /2}&0\\0&{e}^{-i\pi /2}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}R_{y}(\beta )&=e^{-i{\frac {\beta }{2}}\rho _{y}}\\&={\mathcal {I}}_{2\times 2}+\left[-i{\frac {\beta }{2}}\right]\rho _{y}+{\frac {1}{2!}}\left[-i{\frac {\beta }{2}}\right]^{2}\rho _{y}\rho _{y}+\cdots \quad {\text{(serie de Taylor del operador)}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {-i\beta }{2}}\right)^{n}\rho _{y}^{n}\end{aligned}}$

Aunque no es tan fácil como con $\rho _{z}$ que es diagonal, ll tener varios ceros esperamos que las potencias de las otras matrices de Pauli tengan una periodicidad y podamos resolver la serie de Taylor fácilmente.

$\rho _{y}^{2}\equiv \rho _{y}\rho _{y}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\mathcal {I}}_{2}$

$\rho _{y}^{3}=\rho _{y}{\mathcal {I}}_{2}=\rho _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

$\rho _{y}^{4}=\rho _{y}^{3}\rho _{y}=\rho _{y}^{2}={\mathcal {I}}_{2}$

Es claro que las potencias pares de $\rho _{y}$ son la identidad y las potencias impares son iguales a si misma. Teniendo en cuenta también las potencias de la unidad imaginaria,

$(-i)^{2n}=\left((-i)^{2}\right)^{n}=(-1)^{n}$

$(-i)^{2n+1}=(-i)^{2n}(-i)=(-1)^{n}(-i)$

llegamos a

${\begin{aligned}R_{y}(\beta )&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}\left({\frac {-i\beta }{2}}\right)^{2n}{\mathcal {I}}_{2}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}\left({\frac {-i\beta }{2}}\right)^{2n+1}{\mathcal {\rho }}_{y}\\&={\mathcal {I}}_{2}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}(-1)^{n}\left({\frac {\beta }{2}}\right)^{2n}-i\rho _{y}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}(-1)^{n}\left({\frac {\beta }{2}}\right)^{2n+1}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)-i{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {\beta }{2}}&-\sin {\frac {\beta }{2}}\\\cos {\frac {\beta }{2}}&\sin {\frac {\beta }{2}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Entonces, rotación alrededor del eje $Y$

$R_{y}(\phi )={\begin{pmatrix}\cos {\frac {\phi }{2}}&-\sin {\frac {\phi }{2}}\\\cos {\frac {\phi }{2}}&\sin {\frac {\phi }{2}}\end{pmatrix}}$

$|\alpha \rangle \in \mathbb {H} ^{j=1/2}:\left\{\left|{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}\right\rangle ,\left|{\frac {1}{2}}{-{\frac {1}{2}}}\right\rangle \right\}$

$J_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

La rotación más general es

${\begin{matrix}R(\alpha ,\beta ,\gamma )&=&R_{z}(\alpha )R_{y}(\beta )R_{z}(\gamma )\\&=&{\begin{pmatrix}e^{-i{\frac {\alpha }{2}}}&0\\0&e^{i{\frac {\alpha }{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\ddots &\\&\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\ddots &\\&\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\alpha -\gamma }{2}}}\cos {\frac {\beta }{2}}&\\&\ddots \end{pmatrix}}\in SU(2)\end{matrix}}$

Rotaciones:

$\mathbb {R} ^{3},\mathbb {H} ^{j=1}$ matrices de $SO(3)$

$\mathbb {H} ^{j=1/2}$ matrices de $SU(2)$

Cuando la giramos una vez, cambia de signo, y otra vez vuelve al mismo estado.

$R_{y}(2\pi )={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi }{2}}\!=\!-1&\cdots \!=\!0\\0&-1\end{pmatrix}}=-{\mathcal {I}}$

$R_{y}(2\pi )R_{y}(2\pi )=R_{y}(4\pi )={\mathcal {I}}=R_{y}(0)$

Pon a los vectores de la base la notación $|+\rangle ,|-\rangle$

$J_{z}|\pm \rangle =\pm {\frac {\hbar }{2}}|\pm \rangle$

• ¿Cómo construir un estado tal que es propio de ${\vec {J}}$ en la dirección ${\vec {n}}$ (es decir, gira en esa dirección)? Dos formas:

${\vec {n}}\cdot {\vec {J}}=n_{x}J_{x}+\ldots$

${\vec {n}}\cdot {\vec {J}}|+\rangle _{\vec {n}}={\frac {\hbar }{2}}|+\rangle _{\vec {n}}\qquad (?)$

$R_{z}(\phi )R_{y}(\theta )|+\rangle _{z}=|+\rangle _{\vec {n}}$ (excepto fase)