Números y Operaciones/Números Racionales/Otras operaciones

Cuando tenemos una unidad cualquiera, nos puede interesar una parte más pequeña para tomar. Así, si tenemos una tarta para ochos comensales, y estamos cuatro personas, lo normal seria que cada persona tomase dos trozos, expresados así:

${\frac {8}{8}}:4={\frac {8}{8}}\cdot {\frac {1}{4}}={\frac {8\cdot 1}{8\cdot 4}}={\frac {8}{32}}={\frac {8:4}{32:4}}={\frac {2}{8}}$

Lo que aquí se expresa es que cada persona cogería dos octavos de tarta, es decir, dos partes de las ocho que hay. Así, la parte de arriba (2) seria el numerador, y la parte de abajo (8), el denominador.

Existen situaciones en las que una fracción puede simplificarse dividiendo ambos términos entre un mismo número y resultar ambos valores enteros,

${\frac {12}{4}}={\frac {12:2}{4:2}}={\frac {6}{2}}$

La fracción original y la reducida son equivalentes, esto quiere decir tienen el mismo valor, aunque se escriban diferentes.

Si una fracción tiene términos que ya no se pueden simplificar más se denomina fracción irreducible.

Hallando el máximo común divisor (M.C.D.) de los dos términos y dividiendo ambos términos por él, se llega a una fracción irreducible.

Ejemplo:

Hallar la fracción irreducible de ${\frac {12}{4}}$:

$M.C.D.(12,4)=4$; dividiendo:

${\frac {12}{4}}={\frac {12:4}{4:4}}={\frac {3}{1}}$

Potenciacion de fracciones

Hay que decir que una potencia es aquella multiplicación donde se multiplica la base por si misma tantas veces como lo indique el exponente. Por lo que es una multiplicación de fracciones.

$\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1^{3}}{2^{3}}}={\frac {1}{8}}.$

En caso de que la potencia sea negativa, debemos proceder mediante la siguiente fórmula

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{n}.$

Esto se grafica con el siguiente ejemplo

$\left({\frac {1}{2}}\right)^{-3}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{3}=2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8.$

Entre las otras propiedades importantes de potenciación tenemos las siguientes

a) Producto de potencias con la misma base:

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}\cdot \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{m+n}.$

Por ejemplo

$\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}\cdot \left({\frac {2}{3}}\right)^{4}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{3+4}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{7}={\frac {2^{7}}{3^{7}}}={\frac {128}{2187}}.$

b) División de potencias con la misma base

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}:\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{m-n}.$

Por ejemplo

$\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}:\left({\frac {2}{3}}\right)^{4}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{3-4}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{-1}={\frac {3}{2}}.$

c) Potencia de una potencia

$\left(\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}\right)^{n}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{mn}.$

Por ejemplo

$\left(\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}\right)^{3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{9}={\frac {1}{512}}.$

d) Producto de potencias con el mismo exponente

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}\cdot \left({\frac {c}{d}}\right)^{m}=\left({\frac {ac}{bd}}\right)^{m}.$

Por ejemplo

$\left({\frac {2}{3}}\right)^{4}\cdot \left({\frac {3}{5}}\right)^{4}=\left({\frac {2}{5}}\right)^{4}={\frac {2^{4}}{5^{4}}}={\frac {16}{625}}.$

Radicalización de fracciones

La radicalización es el proceso inverso a la potenciación. Para radicalizar una fracción, se extrae la raiz enesíma al numerador y denominador.

${\sqrt[{3}]{\frac {8}{27}}}={\frac {\sqrt[{3}]{8}}{\sqrt[{3}]{27}}}={\frac {2}{3}}$

${\sqrt {\frac {16}{20}}}={\frac {\sqrt {16}}{\sqrt {20}}}={\frac {4}{\sqrt {20}}}$

Racionalización

En el caso anterior, comprobamos que el denominador tenía una raíz cuadrada en su denominador. Para evitar tal situación, se debe multiplicar la raíz en el denominador consigo misma y por el numerador para así eliminar la raíz.

${\frac {4\cdot {\sqrt {20}}}{{\sqrt {20}}\cdot {\sqrt {20}}}}={\frac {4{\sqrt {20}}}{20}}={\frac {\sqrt {20}}{5}}$

Existe otro caso en el que el denominador tiene una suma de un número entero con un radical. Para racionalizar, debemos multiplicar por su conjugado (esto es, los mismos elementos pero con el signo cambiado), para así eliminar la raíz del denominador.

${\frac {3-{\sqrt {2}}}{3+{\sqrt {2}}}}={\frac {(3-{\sqrt {2}})(3-{\sqrt {2}})}{(3+{\sqrt {2}})(3-{\sqrt {2}})}}={\frac {(3-{\sqrt {2}})^{2}}{(3+{\sqrt {2}})(3-{\sqrt {2}})}}={\frac {9+2-6{\sqrt {2}}}{9-2}}={\frac {11-6{\sqrt {2}}}{7}}$

esto no les va a servir es muy malo