Problemario de Métodos Matemáticos de la Física I/Sección 11.

1. Describir el dominio para cada una de las siguientes funciones de variable compleja.

a) $f(z)={\frac {1}{z^{2}+1}}$

Analizando la función, observamos que esta se indefine cuando el denominador es igual a cero, es decir cuando

$z=\pm i$

Por lo tanto f(z) está definida para todo el plano, excepto $\pm i$

b) $f(z)=Arg({\frac {1}{z}})$

Esta función f(z) se indefine cuando

$z=0$

Entonces su dominio es todo el plano complejo excepto $z=0$

c) $f(z)={\frac {1}{1+|z^{2}|}}$

De igual forma que en el a) esta función se indefine cuando el denominador es igual a cero, en este caso cuando

$|z^{2}|={1}$

Con esto, se tiene que el dominio de esta función es

${\mathcal {D}}={(x+iy)\forall x^{2}+y^{2}\neq 1}$

2. Exprese la función $f(z)=z^{3}+z+1$ en la forma $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$.

Sea $z=x+iy$, entonces

$f(z)=(x+iy)^{3}+(x+iy)+1$

Desarrollando f(z)

$f(z)=x^{3}-3xy^{2}+x+1+i(3x^{2}y+y^{3}+y)$

donde

$u(x,y)=x^{3}-3xy^{2}+x+1$

$v(x,y)=3x^{2}y-y^{3}+y$

3. Sea $f(z)=x^{2}-y^{2}-2y+i(2x-2xy)$ donde $z=x+iy$. Expresar f(z) en términos de z.

De la teoría de los números complejos sabemos que

$x={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$

$y={\frac {z-{\bar {z}}}{2}}$

Sustituyendo estas últimas expresiones en f(z). Tenemos

$f(z)=({\frac {z+{\bar {z}}}{2}})^{2}-({\frac {z-{\bar {z}}}{2}})^{2}+i({\frac {z-{\bar {z}}}{2}})^{2}+i(z+{\bar {z}})-{\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}})(z-{\bar {z}})$

Haciendo álgebra, f(z) queda expresada como

$f(z)={\bar {z}}^{2}+2iz$

4. Escribir la función $f(z)=z+{\frac {1}{z}}$ con $z\neq 0$ en la forma $f(z)=u(r,\theta )+iv(r,\theta )$. Expresar f(z) en términos de z.

Definiendo $z=re^{i\theta }$ y sustituyendo en f(z)

$f(z)=re^{i\theta }+{\frac {1}{re^{i\theta }}}$

Reescribiendo esta última expresión de f(z) en términos de senos y cosenos y agrupando parte real y parte imaginaria.

$f(z)=(r+{\frac {1}{r}})cos{\theta }+i(r+{\frac {1}{r}})sen{\theta }$

donde

$u(x,y)=(r+{\frac {1}{r}})cos{\theta }$

$v(x,y)=(r+{\frac {1}{r}})sen{\theta }$