Elementos de probabilidad

Cuando se trabaja con muestras de una población, se eligen individuos al azar de la misma que se utilizarán para el estudio. El cálculo de probabilidades estudia los experimentos en los cuales no puede predecirse el resultado del mismo.

Experimentos aleatorios

Un experimento es un proceso por el cual asociamos a un individuo un valor de una variable.

Cada realización del experimento es un ensayo o prueba.
La asociación del valor es un resultado, dato u observación.

Si el valor obtenido es numérico:

Se llaman parámetros a cualquier función definida sobre los valores de la población.
Se llaman estadísticos a cualquier función definida sobre los valores de la muestra.

Hay dos clases de experimentos:

Deterministas. En estos experimentos los resultados se conocen a priori por alguna ley o relación establecida.
Aleatorios. En estos experimentos los resultados son (potencialmente) diferentes en diferentes ensayos.

Sucesos

En un experimento aleatorio, el espacio de todos los resultados posibles es el espacio muestral $\Omega$ . A cada uno de los posibles resultados se le denomina suceso elemental.

En general, a cualquier subconjunto de posibles sucesos elementales se le denomina suceso. Así, la descripción de un suceso es la descripción de un subconjunto de las posibles características del resultado de un experimento aleatorio. Una vez realizado un ensayo, cada suceso sucede o no sucede. Sucederá si el resultado obtenido estaba incluido en la descripción del suceso.

Operaciones con sucesos

El suceso contrario ${\bar {A}}$ de un suceso A comprende todos los sucesos elementales que no estaban incluidos en A.

Unión de sucesos: $A\cup B$ .

Intersección de sucesos: $A\cap B$

Diferencia de sucesos: $A-B=A-(A\cap B)$

Concepto de probabilidad

La ley del azar puede enunciarse de la siguiente forma: En una serie de ensayos de un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse alrededor de un número fijo denominado probabilidad del suceso.

Esta definición implica que la determinación de la probabilidad de un suceso puede hacerse mediante la experimentación repetida, con un cierto grado de precisión. No obstante, para algunos casos puede calcularse de forma exacta, mediante la regla de Laplace:

$P(A)={\frac {\text{numero de casos favorables}}{\text{numero de casos posibles}}}$

Lógicamente, la aplicación de esa regla requiere de cierto conocimiento a priori, que no siempre se tiene.

Propiedades de la probabilidad

Axiomas

Axioma 1. La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1.

$0\leq P(A)\leq 1$

Axioma 2. La probabilidad del espacio muestral es 1. $P(\Omega )=1$

Axioma 3. Si A y B son sucesos incompatibles, la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Las siguientes propiedades se deducen de los anteriores axiomas.

Propiedad 1. La probabilidad del suces contrario es:

$P({\bar {A}})=1-P(A)$

Propiedad 2. La probabilidad del suceso imposible es cero. $P(\emptyset )=0$

Propiedad 3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es en general:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Probabilidades condicionadas

Si tenemos el conocimiento de un determinado suceso, la probabilidad de que suceda otra habiendo sucedido ese está condicionada por él. En general, la probabilidad del suceso A condicionada a la ocurrencia de otro suceso B es:

$P(A/B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

De aquí se desprende una forma de calcular la probabilidad de las intersecciones de sucesos:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B/A)=P(B)\cdot P(A/B)$

Sucesos independientes

Si la probabilidad de A condicionada a B es la misma que la probabilidad de B condicionada a A, es decir, $P(A/B)=P(B/A)$ , entonces se dice que A y B son sucesos independientes.

En el caso de que dos sucesos sean independientes, tenemos que: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Probabilidad total y teorema de Bayes

Si tenemos una serie de sucesos $C_{1},C_{2},\dots C_{n}$ incompatibles dos a dos y que juntos abarcan todo el espacio muestral, tenemos que la probabilidad de cualquier suceso viene dada por la fórmula de la probabilidad total:

$P(A)=P(A/C_{1})\cdot P(C_{1})+P(A/C_{2})\cdot P(C_{2})+\dots P(A/C_{n})\cdot P(C_{n})$

La fórmula de Bayes nos da la probabilidad de cada $C_{i}$ condicionado a la ocurrencia de A.

$P(C_{i}/A)={\frac {P(A/C_{i})\cdot P(C_{i})}{P(A)}}$