Teorema del binomio

Potencias de un binomio. Teorema del binomio

El Teorema del binomio de permite desarrollar la potencia de una suma o diferencia de dos monomios.

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}$

Siendo $n\in \mathbb {N}$.

Formulación del teorema

Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de ${\tbinom {n}{k}}$ (que también es representado ocasionalmente como $C(n,k)\,$ o $C_{k}^{n}$) se obtiene la siguiente representación:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}x^{n-k}y^{k}$

El coeficiente de $x^{n-k}y^{k}\,$ en el desarrollo de $(x+y)^{n}\,$ es ${n \choose k}$ donde ${\tbinom {n}{k}}$ recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos.

Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}xy^{n-1}+{n \choose n}y^{n}$

Ejemplo

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal:

(2) ${\begin{cases}(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\\(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\\(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\end{cases}}$

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

$(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,$

Demostración

Demostraremos la fórmula anterior por inducción sobre N.

Base de inducción

Comprobamos que la fórumula se verifica para n = 1:

$(a+b)^{1}=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{1-k}b^{k}={1 \choose 0}a^{1}b^{0}+{1 \choose 1}a^{0}b^{1}=a+b$

Paso de inducción

Se trata de comprobar que, si la fórmula se verifica para el valor n, entonces se verifica para n + 1.

Puesto que ${n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}$, se tiene

$(a+b)^{n+1}=(a+b)\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=$

$={n \choose 0}a^{n+1}b^{0}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k-1}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}a^{0}b^{n+1}=$

$={n+1 \choose 0}a^{n+1}b^{0}+\sum _{k=1}^{n}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n+1 \choose n+1}a^{0}b^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}$

[...]

Importante

El teorema del binomio dio un vuelco cualitativo cuando el exponente de la potencia de un binomio , se considera un número racional; obviamente con una cantidad infinita de términos, si se trata de exponentes enteros negativos o números fraccionarios, y, correlativamente, los los números combinatorios que se se usan en dichos casos, difieren del típico número combinatorio de enteros no negativos.<ref> Banach, Stefan: "Cálculo diferencial e integral", ISBN 968-18-3949-8, (1991)