Trigonometría/Funciones Trigonométricas

Funciones trigonométricas de ángulo doble

Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que $\alpha =\beta$

$\operatorname {sen}(\alpha +\beta )=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta +\operatorname {sen} \beta \cos \alpha$

$\operatorname {sen} 2\alpha =\operatorname {sen} \alpha \cos \alpha +\operatorname {sen} \alpha \cos \alpha =2\operatorname {sen} \alpha \cos \alpha$

$\cos(\alpha +\beta )=cos\alpha \cos \beta -\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta$

$\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\operatorname {sen} ^{2}\alpha$

Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo $\cos \alpha$ a términos de $\operatorname {sen} \alpha$, o convirtiendo $\operatorname {sen} \alpha$ a términos de $\cos \alpha$:

$\cos 2\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1$

$\cos 2\alpha =1-2\operatorname {sen} ^{2}\alpha$

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias, se tiene que:

$\operatorname {sen}(A)\cos(B)=\operatorname {sen} \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)+\operatorname {sen} \left({\frac {A-B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)$

$\operatorname {sen}(A)\cos(B)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {sen}(A+B)+\operatorname {sen}(A-B)\right)$

Y para el caso alternativo:

$\cos(A)\operatorname {sen}(B)=\operatorname {sen} \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)-\operatorname {sen} \left({\frac {A-B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)$

$\cos(A)\operatorname {sen}(B)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {sen}(A+B)-\operatorname {sen}(A-B)\right)$

Funciones trigonométricas inversas

Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:

• Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor.

La función arcoseno real es una función $\left[-1,1\right]\to \left[0,2\pi \right]\,$, es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

$\operatorname {arcsen} (x)={\begin{cases}-{\cfrac {\pi }{2}}&x=-1\\x+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {x^{3}}{3}}+{\cfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\cfrac {x^{5}}{5}}+{\cfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\cfrac {x^{7}}{7}}+\dots &-1<x<1\\+{\cfrac {\pi }{2}}&x=1\end{cases}}$

• Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.

Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:

$\arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsen} (x)$

• Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.

A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:

$\arctan(x)={\begin{cases}x-{\cfrac {x^{3}}{3}}+{\cfrac {x^{5}}{5}}-{\cfrac {x^{7}}{7}}+\dots &|x|<1\\\pm {\cfrac {\pi }{2}}-{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{3x^{3}}}-{\cfrac {1}{5x^{5}}}+\dots &+{\text{ con }}x\geq 1,-{\text{ con }}x\leq -1\end{cases}}$

Representación gráfica

Representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas.