Usuario:Daniel Mendoza:Heuristica

Heurística

¿Que es la Heurística?

La heurística trata de métodos o algoritmos exploratorios durante la resolución de problemas en los cuales las soluciones se descubren por la evaluación del progreso logrado en la búsqueda de un resultado final. La heurística esta caracterizada por la utilización de técnicas por las cuales se mejora en promedio el resultado de una tarea resolutiva de problemas. La heurística depende de la experiencia y procesos meta cognitivos, entre sus distintos métodos están: estrategias globales como la analogía con otros problemas, la descomposición del problema en sus elementos, el ensayo y error dirigido por la meta buscada, etc. La heurística no siempre logra la respuesta esperada pero puede ser muy útil en los procesos para solucionar problemas. Una buena heurística puede reducir significativamente el tiempo requerido para resolver un problema ya que elimina la necesidad de considerar datos o posibilidades irrelevantes en la solución de un problema. Lo que se busca con la heurística es que nos ayude a dirigir la atención hacia la posible solución de un problema dado.

¿Cual es el método heurístico?

Hay muchos métodos heurísticos pero aquí solo se va a explicar uno, el cual consta de cuatro pasos o preguntas que uno se debe hacer para resolver determinado problema. El primer paso es mirar lo que esta dado, es tener conciencia de lo que ya se tiene; el segundo paso es tener claro lo que queremos conocer o que es lo que nos están pidiendo que resolvamos; El tercer paso, el cual es el más importante ya que nos va a llevar a la solución del problema, es relacionar lo que nos han dado con lo que nos están pidiendo para llegar a una posible solución; El cuarto y ultimo paso es preguntarse si la relación que se hizo es correcta para corroborar la veracidad de la solución, generalmente se puede afirmar que la relación fue correcta si se utilizaron teoremas o ecuaciones ya demostradas o si se resolvió por medio de una demostración, también es correcta la relación si el problema fue resuelto por medio de pasos lógicos que se explican claramente el uno al otro, en este caso se dice que la relación es cierta por construcción.

¿De donde viene la palabra heurística?

Heurística viene de la palabra “Eureka” la cual fue una exclamación famosa de Arquímedes. Se dice que el la pronuncio cuando de repente comprendió los principios de flotación, la historia dice que posteriormente el salto de su bañera y salio corriendo desnudo a las calles de Atenas a gritarla. "Eureka" es una forma simple del verbo griego “heuriskein” que significa "encontrar"; “Eureka” significa que "lo he encontrado". Desde ahí Eureka se ha convertido en una exclamación común para expresar un descubrimiento científico o intelectual significativo.

Ejercicios

Ejercicio 13:

Una pieza de equipo comprada hoy en $80.000 se devalua linealmente hacia un valor de chatarra de $2.000 despues de 20 años. Escriba la formula para su valor V despues de n años.

¿Que me dan?

Me dan que una pieza se devalua linealmente con algunos valores de algunos años.

Me dan $V_{0}=80000$, $V_{20}=2000$, $n_{0}$ y $n_{20}$

Archivo:Heu4.png

¿Que me piden?

Me piden escribir una formula para V despues de n años.

¿Cómo relaciono lo que me dan con lo que me piden?

Como me dijeron que la la pieza se devalua linealmente, la ecuacion que necesito encontrar debe tener la forma $y=mx+b$ y en nuestro caso en particular $V=mn+b$. Como ya esten relacionados V y n solo me falta hallar b y la pendiente m.(se puede deducir que m va a ser negativo porque la pieza se devalua a los n años).

Como el devaluo no a comenzado en el año 0 va ser muy facil despejar b ya que $mn_{0}=0$

$V_{0}=mn_{0}+b$ $80000=m(0)+b$ $80000=0+b$ $b=80000$

Como ya se tiene b ahora se puede sacar m con los datos del año $n_{20}$.

$V_{20}=mn_{20}+b$ $2000=m(20)+80000$ $-78000=m(20)$ $m=-3900$

Con esto ya se completo la ecuacion $V=(-3900)n+80000$ donde v es el valor de la pieza despues de n años.

Tambien hubiera podido sacar m utilizando la ecuacion de la pendiente $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ el los puntos P1(0,80000) y P2(20,2000).

$m={\frac {2000-80000}{20-0}}=-3900$

Hallado ya m seria ya sencillo hallar b el cual ya sabemos que es 80000.

¿Cómo verifico que la relación es cierta?

Porque ya esta demostrado que la ecuacion de las funciones lineales tienen la forma de $y=mx+b$ y lo que me dieron con lo que me piden esta logicamente relacionado en esta ecuacion.

Ejercicio:

Despega un cohete en un punto a 1500 metros de un observador, quien se encuentra al nivel del piso. si el cohete se eleva en linea recta hacia arriba a una velocidad de 80 metros por segundo.¿que tan rapido esta aumentando la distancia del observador al cohete cuando el cohete esta a 500 metros de altura?

Archivo:Heu2.png

¿Que me dan?

La velocidad del cohete 80 metros por segundo (${\frac {dx}{dt}}=80$)

La distancia entre el observador y el cohete es de 1500m.

¿Que me piden?

La velocidad con la que aumenta la distancia del observador al cohete (${\frac {ds}{dt}}$) en el instante en que h=500m

¿Cómo relaciono lo que me dan con lo que me piden?

Las variables s y h cambian con el tiempo(son funciones implicitas de t), pero siempre estan relacionadas por medio de la ecuacion pitagorica.

$s^{2}=h^{2}+(1500)^{2}$

Ahora si derivo de manera implicita la ecuacion pitagorica obtengo una ecuacion que me relaciona s, ${\frac {ds}{dt}}$(la velocidad con la que aumenta la distancia del observador al cohete), h y ${\frac {dh}{dt}}$ (la velocidad con la que sube el cohete).

$2s{\frac {ds}{dt}}=2h{\frac {dh}{dt}}$ $s{\frac {ds}{dt}}=h{\frac {dh}{dt}}$

Esta relacion se cumple para todo t>0

Ya tengo h y ${\frac {dh}{dt}}$ ahora me falta hallar hallar s en el momento de h=50 para poder despejar ${\frac {ds}{dt}}$

$s={\sqrt {(500)^{2}+(1500)^{2}}}$ $s=500{\sqrt {10}}$

Ya teniendo s solo falta sustituir todos los datos conocidos en la ecuacion $s{\frac {ds}{dt}}=h{\frac {dh}{dt}}$ para espejar ${\frac {ds}{dt}}$

$(500{\sqrt {10}}){\frac {ds}{dt}}=(500)(80)$ ${\frac {ds}{dt}}=25.3m/s$

la velocidad con la que aumenta la distancia del observador al cohete en el instante en que h=500m es de ${\frac {ds}{dt}}=25.3m/s$

¿Cómo verifico que la relación es cierta?

Esta situacion se vio representada con la forma de un triangulo con angulo recto por lo tanto se le dio una relacion a las variables utilizando el teorema de pitagoras el cual ya esta demostrado, por lo tanto la relacion debe estar correcta.

Ejercicio 3.28.b:

Verificar la relación utilizando inducción matemática:

$\sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

¿Que me dan?

Me afirman que $\sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

¿Que me piden?

Verificar esa afirmación por el método de inducción matemática, el cual consta de dos pasos:

(Sea P(n) una afirmación que depende de n)

PASO 1: demostrar que esa afirmación es cierta para el primer numero de la serie.

(Demostrar que P(1) es cierta).

PASO 2: suponer que la afirmación es cierta para cualquier numero, y a partir de esta hipótesis demostrar que la afirmación tambien es valida para el siguiente termino de ese numero cualquiera .

(Suponer que $P(k)$ es cierta, y a partir de esa hipótesis demostrar que $P(k+1)$ es cierta)

¿Cómo relaciono lo que me dan con lo que me piden?

Se relacionan mediante la demostracion, ya que lo que me piden es demostrar por inducción matemática que es valido lo que me dan.

DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN:

Sea $P(n)$ la afirmacion $\sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

PASO 1: Demostrar que P(1) es cierta

Se supone que la siguiente igualdad es verdadera. En caso de llegar a una contradicción, la relación es desde luego falsa:

$\sum _{i=0}^{1}1^{2}={\frac {1(1+1)(2(1)+1)}{6}}$ $\sum _{i=0}^{1}1^{2}={\frac {6}{6}}$ $\sum _{i=0}^{1}1^{2}=1$ $1=1$

Con esto queda demostrado que $\sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ es cierto para el primer termino (P(1)).

PASO 2: Se supone $P(k)$ cierta (esta es la hipótesis de inducción).

$\sum _{i=0}^{k}i^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}$

A partir de es hipotesis se debe demostrar que $P(k+1)$ es cierta: $\sum _{i=0}^{k+1}i^{2}={\frac {(k+1)((k+2)(2k+3)}{6}}$

$\sum _{i=0}^{k}i^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}$

$\sum _{i=0}^{k}i^{2}+(k+1)^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}$

$\sum _{i=0}^{k}i^{2}+(k+1)^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^{2}}{6}}$

$\sum _{i=0}^{k}i^{2}+(k+1)^{2}={\frac {(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))}{6}}$

$\sum _{i=0}^{k}i^{2}+(k+1)^{2}={\frac {(k+1)(2k^{2}+k+6k+6))}{6}}$

$\sum _{i=0}^{k}i^{2}+(k+1)^{2}={\frac {(k+1)(2k^{2}+7k+6))}{6}}$

$\sum _{i=0}^{k}i^{2}+(k+1)^{2}={\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}$

Utilizando las propiedades de sumatoria se obtiene:

$\sum _{i=0}^{k+1}i^{2}={\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}$

Por lo tanto, $P(k+1)$ es consecuencia de $P(k)$ y esto demuestra que la afirmación $\sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ es cierta.

¿Cómo verifico que la relación es cierta?

Por que la relación se valido por medio de una demostración.

Ejercicio 11: Calculo de Purcell octava edición sección 3.9:

Una alberca tiene 40 pies de largo, 20 pies de ancho, 8 pies de profundidad en el extremo más hondo y 3 pies en el extremo menos profundo; el fondo es rectangular. Si la alberca se llena bombeándose agua a razón de 40 pies cúbicos por minuto, ¿con que rapidez se eleva el nivel del agua cuando la profundidad es de 3 pies en el extremo más hondo?

¿Que me dan?

La rapidez con que se llena la alberca 40 ft^3/min (${\frac {dv}{dt}}=40$)

Las dimensiones de la alberca:

Archivo:Heu6.png

¿Que me piden?

La rapidez con que se eleva el nivel del agua (${\frac {dh}{dt}}$) en el instante que h=3.

¿Cómo relaciono lo que me dan con lo que me piden?

Necesitamos encontrar una ecuación que nos relacione a V y a h; después la derivamos para obtener una relación entre ${\frac {dV}{dt}}$ y ${\frac {dh}{dt}}$.

La formula que nos relaciona esto es la ecuación del volumen de la piscina. Ya que el h que voy a relacionar esta dentro de la parte triangular solo voy a necesitar sacar la ecuación del volumen de la piscina para este sector, por lo tanto:

V=(AREA DEL TRIANGULO)X(EL ANCHO DE LA PISINA) $V=10bh$

El problema yace en que esta ecuación tiene una variable no deseada b; no es deseada puesto que no conocemos su razón ${\frac {db}{dt}}$; así que seria apropiado dejar toda la ecuación en términos de h y para resolver esto seria acertado utilizar el teorema de triángulos semejantes usando los datos que nos dan cuando la piscina esta llena (cuando h=5 y b=40), entonces:

${\frac {h}{5}}={\frac {b}{40}}$ $b=8h$

Por lo tanto sustituyendo esto, la ecuación del volumen seria:

$V=80h^{2}$

ahora derivamos de manera implicita, teniendo en mente que tanto V como h dependen de t. Obtenemos:

${\frac {dV}{dt}}=160h{\frac {dh}{dt}}$

ahora que tenemos una relacion entre ${\frac {dV}{dt}}$, h y ${\frac {dh}{dt}}$, se concidera la situación cuando ${\frac {dV}{dt}}=40$ y $h=3$ para poder despejar ${\frac {dh}{dt}}$.

$40=160(3){\frac {dh}{dt}}$ $40=160(3){\frac {dh}{dt}}$ ${\frac {40}{480}}={\frac {dh}{dt}}$ ${\frac {1}{12}}={\frac {dh}{dt}}$

La rapidez con que se eleva el nivel del agua en el instante que h=3 es de ${\frac {1}{12}}$ft/min.

¿Cómo verifico que la relación es cierta?

Por construcción y por que utilice teoremas y formulas geométricas ya demostradas por lo tanto la relación debe estar correcta.

Ejercicio 19: Calculo de Purcell octava edición sección 3.9:

Un largo paso a desnivel de una autopista que pasa por encima de una vía de ferrocarril que esta 100 pies por debajo y forma un ángulo recto con él. Si un automóvil viaja a 45 millas por hora(66 pies por segundo) esta directamente por arriba de la parte delantera de un tren que va a 60 millas por hora(88 pies por segundo,¿Qué tan rápido se están separando 10 segundos después?

¿Que me dan?

La velocidad del automóvil: 45 mi/h=66 ft/s (${\frac {dy}{dt}}=66$).

La velocidad del tren: 60 mi/h=88 ft/s (${\frac {dx}{dt}}=88$).

La diferencia de altitud de los dos vehículos: h=100ft

La dirección de cada vehículo, cada uno esta andando en dirección contraria al otro por vías perpendiculares (la vía del ferrocarril forma un Angulo recto con la autopista).

Archivo:Heu18.png

¿Que me piden?

La velocidad con la que aumenta la distancia entre el tren y el automóvil (${\frac {dz}{dt}}$) en el instante en que han pasado 10 segundos desde su intersección.

¿Cómo relaciono lo que me dan con lo que me piden?

Las variables y, x, s y z cambian con el tiempo (son funciones implícitas de t), pero siempre están relacionadas por medio de la ecuación pitagórica.

Como lo que nos están pidiendo es hallar el cambio de distancia con respecto al tiempo o sea la velocidad de z (${\frac {dz}{dt}}$), para poder hallar ese dato es necesario saber s, la velocidad de s(${\frac {ds}{dt}}$) y la velocidad de y(${\frac {dy}{dt}}$).

La velocidad de y ya la sabemos es 66 ft/s (${\frac {dy}{dt}}=66$). Pero la velocidad de s no se sabe así que tenemos que hallarla mediante la ecuación pitagórica.

$s^{2}=(100)^{2}+x^{2}$

Como nos piden que hallemos (${\frac {dz}{dt}}$) en el instante en que t=10s entonces tenemos que saber la distancia recorrida por cada vehículo en ese periodo de tiempo.

$Distancia=Velocidad*tiempo$ $y=66ft/s*10s=660ft$ $x=88ft/s*10s=880ft$

En este caso el automóvil habrá recorrido 660ft(y=660) y el tren 880ft(x=880). Ya que se conoce la longitud de x podemos hallar la longitud de s.

$s^{2}=(100)^{2}+(880)^{2}$ $s=885.66ft$

Como ya se había mencionado las variables x y s son funciones implícitas de t y como están relacionadas por medio de la ecuación pitagórica.

$s^{2}=(100)^{2}+x^{2}$

y si derivamos con respecto al tiempo

$2s{\frac {ds}{dt}}=2x{\frac {dx}{dt}}$

Se obtiene una ecuación que relaciona a s, ${\frac {ds}{dt}}$(la velocidad con la que aumenta la distancia entre el tren y el punto de intersección), x y ${\frac {dx}{dt}}$(la velocidad del tren).

Ahora si se remplazan los datos conocidos en esa ecuación se obtiene

$2(885.66){\frac {ds}{dt}}=2(880)(88)$

y con esto se despeja ${\frac {ds}{dt}}$

$(885.66){\frac {ds}{dt}}=(880)(88)$ $(885.66){\frac {ds}{dt}}=77440$ ${\frac {ds}{dt}}=87.44$

Ya con el ${\frac {ds}{dt}}$ hallado solo resta relacionarlo con el triangulo rectángulo que se forma con las distancias y, s y z. Como siempre esta relación se hace con Pitágoras.

$z^{2}=s^{2}+y^{2}$

Ahora se vuelve a hacer el mismo procedimiento del triangulo anterior para hallar z y tener la relación de y, ${\frac {dy}{dt}}$, s ${\frac {ds}{dt}}$, z y ${\frac {dz}{dt}}$.

Para hallar z

$z^{2}=(885.66)^{2}+(660)^{2}$ $z=1104.53$

Para relacionar todas las variables se deriva $z^{2}=s^{2}+y^{2}$

$2z{\frac {dz}{dt}}=2y{\frac {dy}{dt}}+2s{\frac {ds}{dt}}$

Remplazando los datos conocidos nos queda

$2(1104.53){\frac {dz}{dt}}=2(660)(66)+2(885.66)(87.44)$ $(1104.53){\frac {dz}{dt}}=(660)(66)+(885.66)(87.44)$ $1104.53{\frac {dz}{dt}}=1210021.11$ ${\frac {dz}{dt}}=109.55$

la velocidad con la que aumenta la distancia entre el tren y el automóvil en el instante en que han pasado 10 segundos desde su intersección es de ${\frac {ds}{dt}}=109.55ft/s$.

¿Cómo verifico que la relación es cierta?

Esta situación se vio representada con la forma de varios triangulos con ángulo recto por lo tanto se le dio una relación a las variables utilizando el teorema de Pitágoras el cual ya esta demostrado, por lo tanto la relación debe estar correcta.