Usuario:Juandelenzina/Test

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http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel

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http://fr.wiktionary.org/wiki/Wiktionnaire:Liste_de_tous_les_mod%C3%A8les/Fran%C3%A7ais/Conjugaison#Auxiliaire_avoir

les membres de la famille	Pronunciación	los miembros de la familia	Ejemplos y notas
le père	/pɛʀ/	el padre	1
le père		el padre	Esto es un ejemplo2
le père	/pɛʀ/	el padre	3
le père	/pɛʀ/	el padre	4
le père	/pɛʀ/	el padre	5
le père	/pɛʀ/	el padre
le père		el padre	7
le père	/pɛʀ/	el padre

Ejercicio • Passé Composé

Cambia las siguientes frases de présent de indicatif a passé composé

1. Je regarde.
2. Vous jouez.
3. Elles finissent.

Solución

1. J'ai regardé.
2. Vous avez joué.
3. Elles ont fini.

 

 

Definición: Topología. Espacio topológico. Abierto

Sean:

• $E\;$ un conjunto
• $T\subset P(E);\quad \quad P(E)\equiv$ Conjunto de partes de $E\;$

$T$ define una topología sobre $E$ $\Leftrightarrow$

1. $\varnothing ,E\in T$
2. $O_{1}\cap O_{2}\in T\quad \quad \forall O_{1},O_{2}\in T$
3. $O_{1}\cup O_{2}\in T$

Espacio topológico $\equiv (E,T)$

A los elementos de $T$ se les denomina conjuntos abiertos o simplemente abiertos

Teoría de conjuntos

(TODO --> Dar una introducción histórica. Hablar de la paradoja de B. Russell y de la teoría intuitiva y axiomática de conjuntos.

Las tres siguientes definiciones no son en realidad tales. Son conceptos primarios que en realidad no se pueden definir:

Definición: Conjunto. Elemento. Pertenencia.

Sean: {{{lista}}}

Un conjunto es cualquier colección de objetos determinados y bien distintos en nuestra percepción o pensamiento, reunidos en un todo.

Un elemento es cada uno de los elementos que constituyen un conjunto.

La pertenencia relaciona los elementos con los conjuntos que constituyen.

Notación: Si $E$ es un conjunto y $a\;$ uno de sus elementos, la pertenencia se denota así: $a\in E$ y diremos que $a$ pertenece a $E$.

Si por el contrario $a$ no es un elemento del conjunto $E$, se denota así: $a\not \in E$ y diremos que $a$ no pertenece a $E$.

Nota: Un conjunto $E$ puede representarse así:

• Por extensión: $E\equiv \{a,b,c...\}$ , donde $a\;,b\;,c\;$ ... son elementos de $E\;$.
• Por comprensión: $E\equiv \{x/x$ verifica una propiedad determinada $\}\;$

Axiomas de la Teoría de Conjuntos

Para demostrar algunos resultados fundamentales de la teoría de conjuntos y comenzar a definir otras ramas de las matemáticas basadas en ella, necesitamos comenzar con un conjunto de axiomas que asumimeremos que son verdaderos. Hay varias opciones para escoger los axiomas. Los mas populares son el sistema de Zermelo-Fraenkel o de forma mas general el de Zermelo-Fraenkel con el Axioma de Elección.

Comenzaremos por construir la axiomática conocida como $Z_{0}$

Axioma: Axioma de extensionalidad

$\forall A,\forall B:A=B\iff (\forall C:C\in A\iff C\in B)$

Dos conjuntos son iguales si y solo si poseen los mismos elmentos.

Axioma: Axioma del conjunto vacío

$\exists B,\forall A:\lnot (A\in B)$

Existe un conjunto sin elementos

Notación: Por el axioma de extensionalidad se puede demostrar la unicidad de éste conjunto sin elementos B. Lo llamaremos conjunto vacío y lo designaremos por $\varnothing$ o $\{\}$

Axioma: Axioma de separación (también llamado axioma de subconjuntos o de comprehension)

$\forall A,\exists B,\forall C:C\in B\iff C\in A\land P(C)$

Establece la existencia para cualquier conjunto A y una fórmula P(C) de un conjunto B que consiste en todos los elementos de A que satisfacen P(C)

Axioma: Axioma del Par

$\forall A,\forall B,\exists C,\forall D:D\in C\iff (D=A\lor D=B)$

Postula que dados dos conjuntos existe un tercero cuyos elementos son los dos conjuntos dados.

Axioma: Axioma de la Unión

$\forall A,\exists B,\forall C:C\in B\iff (\exists D:C\in D\land D\in A)$

Postula que dado un conjunto cualquiera existe el conjunto de los elementos de los elementos de dicho conjunto.

Axioma: Axioma de las Partes

$\forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}A},\forall B:B\in {{\mathcal {P}}A}\iff (\forall C:C\in B\implies C\in A)$