Variable Compleja/Los Números Complejos/Representación de Números Complejos

Forma Rectangular

Esta es la representación mas común de los números complejos,se compone de:

$z=a\pm bi$

Donde $a$ es un número real ($\mathbb {R}$),y $b$ es el número imaginario ($\mathbb {I}$)y su unión es con un símbolo positivo o negativo

Forma Trigonométrica

Aplicando el Teorema de Pitagoras en un Plano Complejo,se puede obtener la representación trigonométrica que corresponder a:

$\cos \phi ={\frac {a}{r}}\ ,\ \sin \phi ={\frac {b}{r}}$

Donde ${\phi }$ representa el ángulo o Argumento formado en el Plano de Angard y $r$ es el Valor Absoluto o Módulo del Número Complejo

$\textstyle {\phi }=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\arctan \left({\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)=-\arctan \left(-{\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)$

Al despejar a y b obtenemos
$a=r\cos \phi$
$b=r\mathrm {i} \sin \phi$

Sustituimos y su representación queda así:

$z=a\pm bi=r\cos {\phi }+\mathrm {i} r\sin {\phi }=r(\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi })$

Forma Polar

El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; $r(\cos \phi +i\sin \phi )$ o $re^{i\phi }$ es la expresión polar del punto.

Al aplicar la Fórmula de Euler, vemos que:

$\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi }=e^{\mathrm {i} \phi };\;z=re^{i\phi }$

No obstante, el ángulo $\phi$ no está unívocamente determinado por z, pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros $k\in \mathbb {Z}$, como implica la fórmula de Euler:

$\forall {k}{\in }\mathbb {Z} \;z=e^{\mathrm {i} (\phi +2\pi {}k)}$

Por esto, generalmente restringimos $\phi$ al intervalo [-π, π) y a éste $\phi$ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

También puede tener estas dos representaciónes

-En forma de Subíndice

$z_{\phi }$

-O cómo Ángulo

$z\langle \phi$

Este tipo de representación es la más recomendable para efectuar multiplicaciones y divisiones

Forma Exponencial

Está forma solamente es aplicando la Fórmula de Euler.
$\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi }=e^{\mathrm {i} \phi }$

Donde se saca el Módulo

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {{\hbox{Re}}^{2}(z)+{\hbox{Im}}^{2}(z)}}$

y el Argumento

$\textstyle {\phi }=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\arctan \left({\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)$

Quedando así.

$z=re^{i\phi }$