La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real ) x y para cualquier entero n se verifica que:
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
=
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
.
{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,}
Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria ) con la trigonometría . La expresión "cos x + i sen x " a veces se abrevia como cis x .
Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx ) y sen(nx ) en términos de cos(x ) y sen(x ). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad , eso es, números complejos z tal que zn = 1.
Abraham De Moivre fue amigo de Newton ; en 1698 este último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676 .
La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler :
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x}
aplicando leyes de la exponenciación
(
e
i
x
)
n
=
e
i
n
x
.
{\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.\,}
Entonces, por la fórmula de Euler ,
e
i
(
n
x
)
=
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
{\displaystyle e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,}
Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler :
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x}
Si hacemos que
x
=
π
{\displaystyle x=\pi }
e
i
π
=
cos
π
+
i
sin
π
=
−
1
+
0
=
−
1
{\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\sin \pi =-1+0=-1}
Es decir:
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}
Además como tenemos estas dos igualdades:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x\,}
e
−
i
x
=
cos
x
−
i
sin
x
{\displaystyle e^{-ix}=\cos x-\mathrm {i} \,\sin x\,}
podemos deducir lo siguiente:
cos
x
=
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
/
2
{\displaystyle \cos x=(e^{ix}+e^{-ix})/2\,}
sin
x
=
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
/
2
i
{\displaystyle \sin x=(e^{ix}-e^{-ix})/2\mathrm {i} \,}
[ editar ] Consideramos tres casos.
Para un entero n > 0, procedemos a través de la inducción matemática . Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k . Eso es que asumimos:
(
cos
x
+
i
sin
x
)
k
=
cos
(
k
x
)
+
i
sin
(
k
x
)
.
{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,}
Ahora, considerando el caso n = k + 1:
(
cos
x
+
i
sin
x
)
k
+
1
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
k
(
cos
x
+
i
sin
x
)
=
[
cos
(
k
x
)
+
i
sin
(
k
x
)
]
(
cos
x
+
i
sin
x
)
por la hipótesis de inducción
=
cos
(
k
x
)
cos
x
−
sin
(
k
x
)
sin
x
+
i
[
cos
(
k
x
)
sin
x
+
sin
(
k
x
)
cos
x
]
=
cos
[
(
k
+
1
)
x
]
+
i
sin
[
(
k
+
1
)
x
]
por las identidades trigonométricas
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)\qquad {\mbox{por la hipótesis de inducción}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]\qquad {\mbox{por las identidades trigonométricas}}\end{alignedat}}}
Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k . Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n ≥1.
Cuando n = 0 la fórmula es verdadera ya que
cos
(
0
x
)
+
i
sin
(
0
x
)
=
1
+
i
0
=
1
{\displaystyle \cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1}
z
0
=
1
{\displaystyle z^{0}=1}
n < 0, consideramos un entero positivo m tal que n = −m . Por lo tanto:
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
−
m
=
1
(
cos
x
+
i
sin
x
)
m
=
1
(
cos
m
x
+
i
sin
m
x
)
=
cos
(
m
x
)
−
i
sin
(
m
x
)
=
cos
(
−
m
x
)
+
i
sin
(
−
m
x
)
=
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{alignedat}}}
Por lo tanto el teorema es verdadero para todos los valores enteros de n .
Una representación en el plano complejo de las raíces cúbicas de 1. La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces
(
cos
z
+
i
sin
z
)
w
{\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}}
es una función multivaluada mientras
cos
(
w
z
)
+
i
sin
(
w
z
)
{\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}
no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:
cos
(
w
z
)
+
i
sin
(
w
z
)
{\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}
(
cos
z
+
i
sin
z
)
w
{\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,}
Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.
z
=
r
(
cos
x
+
i
sin
x
)
{\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right)}
Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar. (siendo r el módulo)
Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:
z
n
=
[
r
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
]
n
=
r
n
[
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
]
{\displaystyle z^{n}=\left[r\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)\right]^{n}=r^{n}\left[\cos(nx)+i\sin(nx)\right]}
Para obtener las
n
{\displaystyle n}
z
1
/
n
=
[
r
(
cos
x
+
i
sin
x
)
]
1
/
n
=
r
1
/
n
[
cos
(
x
+
2
k
π
n
)
+
i
sin
(
x
+
2
k
π
n
)
]
{\displaystyle z^{1/n}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{1/n}=r^{1/n}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}
donde
k
{\displaystyle k}
0
{\displaystyle 0}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
n
{\displaystyle n}
z
{\displaystyle z}
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)\qquad {\mbox{por la hipótesis de inducción}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]\qquad {\mbox{por las identidades trigonométricas}}\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/101fed493f078d86c779fdf76d59c448dc2bf730)
![{\displaystyle z^{n}=\left[r\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)\right]^{n}=r^{n}\left[\cos(nx)+i\sin(nx)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b966009d12e25dbe9218694107a837140b39dbee)
![{\displaystyle z^{1/n}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{1/n}=r^{1/n}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64198efa0f43c6de224913b65f3e03aa2bfd579)
