Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos

Introducción

Las acciones de un grupo cualquiera sobre un cierto conjunto son generalizaciones de dos importantes acciones:

• la acción del grupo simétrico ${\textsf {S}}_{X}$ sobre los elementos de $X,$ mediante permutación de sus elementos, y
• la acción del grupo lineal ${\textsf {GL}}_{n}(\mathbb {R} )$ sobre los puntos del espacio $n$-dimensional $\mathbb {R} ^{n},$ mediante la multiplicación de una matriz por un vector.

G-conjuntos

Definición. (G-Conjunto) Sean $G$ un grupo y $X$ un conjunto no vacío. Decimos que $G$ actúa en $X$ cuando hay una función

$\phi :G\times X\longrightarrow X$

tal que, simbolizando $g\cdot x$ a la imagen por $\phi$ de la pareja $(g,x),$ se cumpla que:

1. $e\cdot x=e\cdot x.$
2. $(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x).$

En tal situación, decimos que: $\phi$ es una acción de $G$ sobre $X$ o, también, que $X$ es un G-conjunto.

Ejemplos.

1. Sea $X$ un conjunto no vacío. El grupo simétrico ${\textsf {S}}_{X}$ actúa de manera natural sobre $X,$ mediante la acción definida por $(\sigma ,x)\mapsto \sigma (x).$
2. La acción de ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$ asocia a cada matriz $A$ del grupo y punto $p={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},$ el punto $Ap$ (multiplicación de matriz por vector).
3. Cada grupo $G$ actúa sobre si mismo mediante la acción definida por la operación del grupo.
   1. (Acción por la izquierda) $(g,x)\mapsto gx.$
   2. (Acción por la derecha) $(g,x)\mapsto xg^{-1}.$
4. Sea $G$ un grupo. Otra acción de $G$ en si mismo mediante es provista por la conjugación. Para cada $g$ en $G,$ recordemos que llamamos conjugación por $g$ a la función de $G$ en si mismo, $C_{g},$ tal que $C_{g}(x)=gxg^{-1}.$

   Es fácil verificar que la función

   $(g,x)\mapsto C_{g}(x).$

   define una acción de $G$ sobre si mismo. \fin

5. Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G.$ Entonces $G$ actúa en $G/H$ mediante la acción definida por: $(g,xH)\mapsto gxH.$

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Observación. Asociado a $G$-conjuntos, tenemos la noción de $G$-subconjunto. Un subconjunto $Y$ de un $G$-conjunto $X$ es un $G$-subconjunto, ssi, para todo $g$ en $G,$ $y$ en $Y,$ $g\cdot y$ está en $Y$. También, decimos que $Y$ es G-invariante.

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Definición. (G-morfismo) Sean $X,$ $Y$ dos $G$-conjuntos. Decimos que una función $f:X\longrightarrow Y$ es un $G$-morfismo, ssi, $f$ permuta con la acción. Es decir, ssi,

$f(g\cdot x)=g\cdot f(x).$

• Claramente, la identidad es un $G$-morfismo y la composición de dos $G$-morfismos es un $G$- morfismo.
• Cuando no haya riesgo de confusión, de ahora en adelante, podremos escribir simplemente $gx$ en lugar de $g\cdot x.$
• La terminología de mono, supra, endo, auto se extiende a $G$-morfismos con el significado obvio.

Como se cumple que $x\mapsto gx\mapsto g^{-1}(g\cdot x)=ex=x,$ se tiene que cada función $x\mapsto gx$ es invertible. Es decir que podemos definir de manera natural una función

$G\longrightarrow {\textsf {S}}_{X}$

que asigna a cada $g$ en $G,$ la función $x\mapsto gx$ en ${\textsf {S}}_{X}.$ Las suposiciones sobre la acción implican que esa función es un homomorfismo de grupos. De forma recíproca, cuando $\rho :G\longrightarrow S_{X}$ sea un homomorfismo cualquiera de grupos, podemos definir una acción de $G$ en $X$ por:

$(g,x)\mapsto \rho (g)(x).$

Es decir que hay una correspondencia, que se puede probar que es biyectiva, entre acciones de $G$ sobre $X$ y las representaciones (homomorfismos) de $G$ en ${\textsf {S}}_{X}.$ (Representación permutacional del grupo.)

La última correspondencia nos dice también que si $X$ es un $G$-conjunto y hay un homomorfismo de grupos $\rho :G'\longrightarrow G,$ $X$ es también un $G'$- conjunto, vía la composición de homomorfismos.

En particular, cuando $H$ sea una subgrupo de $G,$ cada $G$- conjunto tendrá una estructura de $H$-conjunto, vía la inclusión, a la que llamaremos la restricción de la acción de G a H.

Definición. (Órbita, Grupo de isotropía) Sean $X$ un $G$-conjunto y $x$ un elemento de $X.$

1. Llamamos órbita de $x$ por $G$ al subconjunto de $X$ formado por todos los elementos de $X$ de la forma $gx.$ Notación: $G\cdot x.$
2. Cuando sólo haya una órbita para la acción del grupo, decimos que el grupo actúa transitivamente, o también que el $G$-conjunto es transitivo.
3. Decimos que un elemento $g$ de $G$ fija a $x,$ cuando $gx=x.$
4. Llamamos grupo de isotropía o estabilizador de $x$ al subconjunto de $G$ formado por todos los elementos de $G$ que fijan a $x.$ $G_{x}:=\{g\in G:gx=x\}.$

Es fácil verificar que $G_{x}$ es un subgrupo de $G$ (de ahí el nombre de grupo). En efecto, $G_{x}$ no es vacío, ya que contiene al neutro. Si $g$ y $h$ están en $G_{x}$ se tiene que:

${\begin{array}{rcl}(gh)x&=&g(hx)=gx=x\quad {\text{y}}\\g^{-1}x&=&g^{-1}(gx)=ex=x.\end{array}}$

Ejemplos.

1. El grupo ${\textsf {S}}_{X}$ actúa en $X$ de manera transitiva, ya que dados elementos $x,$ $y,$ la transposición $(x\ y)$ toma uno en el otro. Por lo tanto, todos los elementos de $X$ pertenecen a la misma orbita.
2. El grupo simétrico en $n-1$ elementos puede considerarse actuando en $\{1,2,\ldots ,n-1,n\}$ , por la acción natural sobre $\{1,2,\ldots ,n-1\}.$ Coincide así con el subgrupo de ${\textsf {S}}_{n}$ formado por las permutaciones que dejan a $n$ fijo. Es decir, que podemos identificar el grupo simétrico ${\textsf {S}}_{n-1}$ con el (sub)grupo de isotropía de $n$ en ${\textsf {S}}_{n}.$ %
3. Sea $G$ el subgrupo de ${\textsf {S}}_{4}$ generado por $(2\ 3).$ $G$ actúa en $\{1,2,3,4\},$ fijando $1$ y $4$ y permutando $2$ y $3.$ Por lo tanto, tendremos tres órbitas: $\{1\},$ $\{2,3\}$ y $\{4\}.$
4. La acción (izquierda o derecha) de una grupo en si mismo definida por la operación es una acción transitiva. Es decir que hay una única órbita para la acción que es igual a todo el grupo.
5. En la acción por conjugación, la órbita de $x$ es la clase de conjugación de $x$ y el grupo de isotropía de $x$ es el centralizador de $x,$ $C_{G}(x)=\{y\in G:yxy^{-1}=x\}=\{y\in G:yx=xy\}.$
6. El grupo de isotropía de $eH$ por la acción natural de $G$ en $G/H,$ consiste de todos los $g$ en $G$ tales que $g(eH)=eH=H,$ Es decir de todos los $g$ en $H.$ Es decir, el grupo de isotropía de $eH$ coincide con $H.$ Claramente, la acción de $G$ es transitiva sobre $G/H.$

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La siguiente proposición es de fácil verificación:

Proposición 1. Sea $\phi :X\longrightarrow Y$ un $G$-morfismo. Entonces, el grupo de isotropía de $x$ está contenido en el grupo de isotropía de $\phi (x).$ Además, dichos grupos coincidirán, cuando $\phi$ sea inyectiva.

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Sean $X$ un $G$-conjunto, $x,$ $y$ elementos de $X,$ y $z$ un elemento en las órbitas de $x$ y $y.$ Entonces, podremos hallar $g,$ $g'$ en $G$ tales que $z=gx=g'y.$ Por lo que, $x=g^{-1}g'y;$ lo que implica que $x$ está en la órbita de $y$ y viceversa. Por lo tanto, las órbitas o son iguales o no se intersecan. Es decir, las órbitas de la acción de $G$ definen una partición de $X.$ En otras palabras:

Proposición 2. Sea $X$ un $G$-conjunto. Si definimos la relación $\sim _{G}$ por $x\sim _{G}y,$ ssi, $x=gy$ para algún $g$ en $G,$ se tiene que: $\sim _{G}$ es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia coinciden con las órbitas de $G$ en $X.$

Sea $X$ un $G$-grupo y sea $x$ un elemento de $X.$

Sea $f_{x}:G\longrightarrow X$ definida por $f_{x}(g)=gx.$ Como $f_{x}(g'g)=(g'g)x=g'(gx)=g'f_{x}(g)$ tendremos que $f_{x}$ es una $G$-morfismo, cuya imagen es precisamente la órbita de $x.$ Notemos que $gx=g'x$ es equivalente a afirmar que $x=g^{-1}g'x.$ Es decir, que $g^{-1}g'\in G_{x}.$ Esto, a su vez, implica que las clases de equivalencia de $\sim _{f_{x}}$ coinciden con las clases laterales izquierdas de $G$ respecto a $G_{x}.$ En particular, esto nos dice que hay una biyección entre $G/G_{x}$ y $f_{x}(G)=G\cdot x{\text{ (órbita de x)}}.$ Tal biyección es un G-morfismo, o sea que como G-conjuntos son isomórficos.

Sea $H$ un subgrupo cualquiera de $G,$ entonces $G/H$ es de forma natural un $G$-conjunto. Supongamos que hubiera una $G$-morfismo $f$ de $G/H$ en $X,$ tal que $f(eH)=x.$ Entonces, como el grupo de isotropía de $eH$ estaría contenido en el grupo de isotropía de $f(x),$ tendríamos que $H$ sería un subgrupo de $G_{x}.$ En forma recíproca, si $H$ es un subgrupo de $G_{x}$ podemos definir $\phi :G/H\longrightarrow X$ por

$\phi (gH)=gx.$

La función estará bien definida, ya que si $g'=gh,$ se tendría que $g'x=(gh)x=g(hx)=gx.$ Además $\phi (eH)=x,$ y $\phi (g'(gH))=\phi ((g'g)H)=(g'g)x=g'(gx)g'\phi (gH);$ Es decir, $\phi$ es un $G$-morfismo. Es decir, que hemos probado la siguiente proposición.

Proposición 3. Sea $X$ un $G$-conjunto, $H$ un subgrupo de $G.$ y un $G$-mor\-fismo $\phi$ de $G/H$ en $X$ tal que $\phi (eH)=x,$ ssi, $H<G_{x}.$ Dicha aplicación es un $G$-isomorfismo cuando $H=G_{x};$ Es decir, como $G$-conjuntos son isomorfos $G/G_{x}$ y $G\cdot x$ (la órbita de $x$).

Corolario 3.1. Sea $G$ un grupo finito que actúa en el conjunto finito $X.$ Entonces,

$|G|/|G_{x}|=|G:G_{x}|=|G\cdot x|.$

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Las órbitas de $G$ en el $G$-conjunto $X$ determinan una partición de $X.$ Llamaremos conjunto de representantes de las órbitas, a un subconjunto $Y$ de $X$ que contiene exactamente un elemento de cada una de las órbitas.

Corolario 3.2. (Conteo para $G$-conjuntos) Sea $X$ un $G$-conjunto finito. Entonces,

$|X|=\sum _{y\in Y}|G:G_{y}|.$

Donde $Y$ es un conjunto de representantes de las órbitas.

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Ejercicios

1. Sea $G$ un grupo tal que $|G|=p^{n}$ con $p$ primo.
   1. Cada clase de conjugación de $G$ tiene como cardinal una potencia de $p.$
   2. Considere el conjunto formado por todos los elementos cuya clase de conjugación consiste de un sólo elemento. Probar que dicho conjunto no es vacío.
   3. Usando el hecho que: $|G|=\sum |C_{j}|=\sum _{|C_{j}|=1}|C_{j}|+\sum _{|C_{j}|\neq 1}|C_{j}|$

      donde los $C_{j}$ denotan a las distintas clases de conjugación de $G,$ concluir que hay elementos diferentes del neutro que tienen clases de conjugación consistentes de un único elemento. ¿Cuál es el número mínimo de esos elementos?

2. El centro de un grupo consiste de todos aquellos elementos que permutan con todos los elementos del grupo. $z(G):=\{g\in G:\forall x\in G,gx=xg\}.$
   1. Probar que el centro de un grupo es un subgrupo del grupo.
   2. Probar que la clase de conjugación de cada elemento del centro consiste únicamente del elemento. Usar esto para probar que el centro es un subgrupo normal de G.
   3. Probar que el centro de un $p$-grupo (un grupo cuyo orden es una potencia de $p,$ $p$ primo) es no trivial.
3. 1. La intersección de una familia de $G$-conjuntos es un $G$-conjunto, cuando dicha intersección no es vacía.
   2. Sea $X$ un $G$-conjunto, $Y$ un subconjunto no vacío de $X.$ Probar que hay un $G$-subconjunto de $X$ minimal conteniendo a $Y,$ al que simbolizaremos por $\langle Y\rangle$ y llamaremos el $G$-subconjunto generado por $Y.$
   3. El $G$-subconjunto generado por un conjunto no vacío $Y$ consiste de todas las órbitas de elementos de $Y.$
4. Sea $G$ el subgrupo de ${\textsf {S}}_{5}$ generado por $(12)(34)$ y $(12)(35).$ Considérese la acción natural izquierda de $G$ en $\{1,2,3,4,5\}.$ ¿Cuáles son las órbitas de cada elemento? ¿Cuáles son sus grupos de isotropía?
5. Sean $X,$ $Y$ dos $G$-conjuntos. Definir una estructura de $G$-conjunto en $X\times Y$ de modo que las proyecciones sean $G$-morfismos.
6. Sea $X$ un conjunto, $X^{n}$ el producto cartesiano de $n$ copias de $X.$ Para $\sigma$ en ${\textsf {S}}_{n},$ definir $\sigma \cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{\sigma ^{-1}(1)},\ldots ,x_{\sigma ^{-1}(n)}).$ Probar que la definición anterior define una acción de ${\textsf {S}}_{n}$ en $X^{n}.$

Los Grupos Geométricos

El apéndice Los Grupos Geométricos contiene definiciones, nociones y teoremas relacionados con la Geometría. En particular, de los grupos asociados a las nociones geométricas.

En esta sección veremos algunas de las acciones de los grupos geométricos del plano.

Acción de las Traslaciones

Sea P un punto (vector plano) cualquiera del plano y C un vector fijo. La traslación por $C$ es la transformación biyectiva $t_{C}:P\mapsto C+P$. Luego, $P$ es fijo por $t_{C}$, ssi, $C+P=P$, ssi, $C=0$. Notemos que una traslación deja fijo un punto, ssi, es la traslación por el vector nulo, ssi, $t=id$. Luego, si una traslación fija un punto, fija a todos los puntos.

Las traslaciones determinan el subgrupo ${\textsf {T}}_{2}(\mathbb {R} )$ de transformaciones (ver el apéndice citado).

Notemos que dados puntos $A$ y $B$ del plano, poniendo $C=B-A$, tenemos que $t_{C}(A)=B$. Es decir que para la acción deel grupo de las traslaciones, el plano tiene una única órbita, lo que equivale a afirmar que el grupo de las traslaciones actúa transitivamente en el plano.

Acción de las Transformaciones Lineales

El grupo ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$ es el grupo de las matrices invertibles 2x2 (equivalentes a las transformaciones lineales invertibles). Cuando $M={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$, su acción sobre un punto $P$ (representado por una matrix columna) es la multiplicación de matrices. Es decir,

$M(P)=MP={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ap_{1}+bp_{2}\\cp_{1}+dp_{2}\end{bmatrix}}.$

Se verifica (ver apéndice Los Grupos Geométricos) que cuando $u$ es un elemento de ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$, $u$ envía líneas sobre líneas y preserva el paralelismo (si dos líneas son paralelas, sus imágenes también lo son).

Las rotaciones alrededor del origen forma un grupo que simbolizaremos aquí por ${\textsf {Rot}}_{0}$, se verifica que tales rotaciones son lineales con matriz dada por

${\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\operatorname {sen}(\theta )\\\operatorname {sen}(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}},$

donde $\theta$ es el ángulo de la rotación.

Un cómputo algebraico prueba que si $r\neq id$ es un rotación alrededor del origen, el único punto fijo por $r$ es el origen. Cuando $P\neq (0,0)$, se tiene que la orbita de $P$ es la circunferencia con centro en el origen y radio la distancia de $P$ al origen.

Clasificación de las Congruencias

Ilustraremos la importancia de la noción de punto fijo, clasificando a las congruencias, es decir haciendo un listado de todas las posibles congruencias del plano.

Usaremos el siguiente resultado de la Geometría (ver apéndice citado arriba).

Proposición 4. Los puntos equidistantes a dos puntos dados forman una línea que es perpendicular a la linea que pasa por los puntos y corta a esa línea en el punto medio entre los puntos.
Llamamos simetral ortogonal de los puntos a la línea de la proposición.
Notemos que dada una línea $\ell$ la reflexión $\sigma$ entorno a esa línea, fija cada punto de la línea, y envía cada punto $P$ que no está en la línea en un punto $\sigma (P)$ tal que la línea es la simetral ortogonal de $P$ y $\sigma (P)$.

Sea $f$ una congruencia del plano.

• Si $f$ tiene tres puntos no colineales fijos entonces $f=id$; es decir $f$ deja a todos los puntos fijos. Supongamos que $A$, $B$ y $C$ son los tres puntos fijos. Supongamos que $f\neq id$, es decir supongamos que hay un punto $P$ tal que $f(P)\neq P$. Sea $X$ fijo por $f$, o sea $f(X)=X$. Entonces, $d(f(P),X)=d(f(P),f(X))=d(P,X)$.

  Lo que dice que $X$ equidista de $P$ y $f(P)$, por lo que está en la simetral ortogonal de esos puntos. Como esto implica que $A$, $B$ y $C$ son colineales (están en la misma línea), hemos llegado a una contradicción. Por lo que $f$ debe ser la identidad.

• Si $f$ tiene dos puntos fijos, $f$ es la identidad o una reflexión entorno a la línea que pasa por esos dos puntos. Sean $A$ y $B$ los puntos fijos. Supongamos que $f$ no es la identidad. Entonces, debe haber un punto $P$ que no es colineal con $A$ y $B$, tal que $f(P)\neq P$. Sea $\sigma$ la reflexión en la simetral ortogonal $\ell$ de $P$ y $f(P)$. Entonces, razonando, como en el caso anterior, tenemos que $A$ y $B$ están en $\ell$, por lo que son fijas por $\sigma$. Tenemos entonces, que $\sigma (f(A))=A,\quad \sigma (f(B))=B,\quad {\text{ y }}\sigma (f(P))=P,$ por lo que $\sigma f$ es una congruencia que fija tres puntos no colineales. del caso anterior, tenemos que $\sigma f=id$, de donde, $\sigma \sigma f=\sigma$, de donde $f=\sigma$.
• Si $f$ tiene un único punto fijo, entonces $f$ es un producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan en el punto fijo. Sea $A$ el punto fijo. Entonces, para todo $P\neq A$, $f(P)\neq P$. Razonando como arriba, $A$ pertenece a la simetral ortogonal a $P$ y $f(P)$. Sea $\sigma$ la reflexión entorno a esa simetral. Entonces, $\sigma (f(A))=\sigma (A)=A,\quad \sigma (f(P))=P.$

  Por lo tanto, $\sigma f$ es una congruencia que deja dos puntos fijos, Por lo que es una reflexión, digamos que $\sigma f=\sigma _{1}$. Luego, (multiplicando por $\sigma$ en ambos lados, tenemos que %f = \sigma sigma_1 </math>.

• Si $f$ no tiene puntos fijos, $f$ es el producto de tres reflexiones. Sea $A$ un punto cualquiera y sea $\sigma$ la reflexión entorno a la simetral ortogonal de $A$ y $f(A)$. Entonces, $\sigma (f(A))=A$, lo que prueba que $\sigma f$ tiene un punto fijo, por lo que es un producto de dos reflexiones, digamos $\sigma _{1}\sigma _{2}$. Procediendo, como arriba, se tiene que $f=\sigma \sigma _{1}\sigma _{2}$.

Los razonamientos anteriores prueban el siguiente teorema.

Teorema de Cartan--Dieudonné Cada congruencia del plano es el producto de a lo más tres reflexiones.

Notemos que los cómputos anteriores muestran que las rotaciones son producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan. Se puede probar que el producto de dos reflexiones cuyos ejes son paralelos es una traslación.

Ejercicios

1. Sea $A$ un punto del plano. Verificar que las congruencias que fijan al punto $A$ forman un grupo de transformaciones
2. Sea $A$ un punto del plano. Probar que las rotaciones alrededor de $A$ forman un grupo ${\textsf {Rot}}_{A}$. Sea $t=t_{A}$ y sea $r$ una rotación alrededor del origen, o sea un elemento de ${\textsf {Rot}}_{0}$.
   1. Probar que $trt^{-1}$ es una rotación alrededor de $A$.
   2. Probar que ${\textsf {Rot}}_{A}$ y ${\textsf {Rot}}_{0}$ son subgrupos conjugados del grupo de transformaciones del plano.
3. Una simetría central con centro en un punto $C$ es una transformación $s_{C}$ que envía cada punto $P$ en un punto $s_{C}(P)=2C-P$.
   1. Probar que $C=(1/2)(P+s_{C}(P))$ (punto medio entre $P$ y su imagen.
   2. Probar que las líneas que pasan por $P$ quedan fijas globalmente por $s_{C}$.
   3. Probar que $s_{C}^{2}=d$ y que $s_{C}s_{D}$, $C\neq D$ es una traslación.
   4. Probar que el producto de una traslación por una simetría central es una simetría central.
   5. Si $C$ es el origen, $s_{C}$ es lineal. Hallar la correspondiente matriz.

Representación Lineal de Grupos

Esta sección requiere un conocimiento de nociones básicas de Álgebra Lineal.

El objetivo de la sección es ver como podemos obtener para cualquier grupo, un grupo de matrices isomorfo. Podemos considerarlo tanto como una generalización o una concretization del teorema de Cayley por grupos de permutaciones, dependiendo de la familiaridad con el Álgebra Lineal. La teoría de las representaciones lineales iniciadas a fines del siglo XIX por Frobenius . ha sido, es y continuará siendo un área activa, ya que permite un muy buen entendimiento de los grupos.

Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión $n$. Lo que significa que hay una base de $n$ vectores en $E$, es decir un conjunto $\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$ tal que cada vector $x$ de $E$ puede escribirse de una única manera como

$x=\alpha _{1}e_{1}+\dots +\alpha _{n}e_{n}.$

Cada transformación lineal de $E$ en si mismo, tiene asociada una matriz, cuyas columnas son las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base. Las transformaciones lineales biyectivas (isomorfismos lineales) tiene asociadas matrices $n\times n$ invertibles, que determinan un grupo, el grupo lineal de $E$, ${\textsf {GL}}_{n}(k)$

Definición. (Representación Lineal) Sea $E$ un espacio vectorial sobre un cuerpo cualquiera $k$. Sea $G$ un grupo. Una representación de $G$ en $E$ es un homomorfismo de grupos

$\rho :G\longrightarrow {\textsf {GL}}_{n}(K).$

Tal homomorfismo define una acción de $G$ en $E$ por

$g\cdot x=\rho (g)(x).$

Cada grupo $G$ tiene varias representaciones lineales posibles, qu aunque no siempre e pueden determinar el grupo, usualmente proveen valiosa información sobre el mismo. A nosotros nos interesara una representación en particular: la representación regular, que definiremos a continuación.

Sea $G=\{g_{1}=e,g_{2},\ldots ,g_{n}\}$. Asociaremos con el grupo $G$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $K$ (que puede ser los Reales, los Complejos u otro cualquiera) denotado por $k[G]$ y formado por todas las expresiones

$\alpha _{1}g_{1}+\dots \alpha _{n}g_{n}.$

Se define una suma y una multiplicación por escalares de modo que $G$ es una base de $k[G]$, es decir si $x=\sum _{i}\alpha _{i}g_{i}$ y $y=\sum _{i}\beta _{i}g_{i}$, entonces

${\begin{array}{rcl}x+y&:=&\sum _{i}(\alpha _{i}+\beta _{i})g_{i}\\\alpha x&:=&\sum _{i}(\alpha \alpha _{i})g_{i}\end{array}}$

Además, podemos definir una multiplicación en $k[G]$ usando la multiplicación del grupo

$xy:=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}g_{i}*g_{j},$

donde $*$ es la multiplicación del grupo. Esta multiplicación provee a $k[G]$ con una estructura de álgebra (anillo con operaciones compatibles con la multiplicación por escalar.

Para cada $g$ en $G$ la multiplicación $g$ produce una transformación lineal $L(g)$ de $k[G]$. Además, $L(gh)=L(g)L(h)$ es decir que tenemos una representación del grupo $G$ por las matrices de la forma $L(g)$. Es fácil verifica que la correspondencia $g\mapsto L_{g}$ es inyectiva. Esdecir que $G$ es isomorfo a un grupo de matrices, subgrupo de del grupo de isomorfismos lineales de $k[G]$.

La matriz de cada $L(g)$ tiene una forma peculiar. En efecto, como su efecto en la base $G$ es una multiplicación por la izquierda en $G$ es una permutación de $G$. Luego, la matriz

$L(g)={\begin{bmatrix}gg_{1}&gg_{2}&\dots &gg_{n}\end{bmatrix}}.$

Como $gg_{i}$ es un elemento de $G$ digamos que $gg_{i}=g_{j}$, la $i$--ésima columna de $L(g)$, correspondiente a las coordenadas de $gg_{i}$, tiene un 0 en cada posición, excepto en la $j$--ésima fila donde aparece un 1. (En otras palabras, las matrices $L(g)$ tienen como columnas permutaciones de las columnas de la matrix identidad.

Ejemplo.

Sea $G={\textsf {C}}_{4}=\{g_{1}=e,g_{2}=a,g_{3}=a_{2},g_{4}=a^{3}\}$. Entonces,

$L(e)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\qquad L(a)={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}},$ $L(a^{2})={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&1\end{bmatrix}},\qquad L(a^{3})={\begin{bmatrix}0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.$

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Tenemos el siguiente teorema.

Teorema. Cada grupo finito es isomorfo a un grupo de matrices.

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Ejercicios

1. Hallar el grupo de matrices correspondientes a la representación regular del grupo de Klein y aquella de ${\textsf {S}}_{3}.$
2. Sea $G={\textsf {D}}_{8}=\langle a,b|a^{4}=b^{2}=e,ba=a^{3}b\rangle$. Probar que la asignación $a\mapsto {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\qquad {\text{ y }}\qquad b\mapsto {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

   define una representación de ${\textsf {D}}_{8}$.

Comentarios

En el apéndice F,Teoremas de Sylow, se demuestran el segundo y tercer teorema de Sylow, usando técnicas de acción de grupos.