Aritmética/Números complejos

Definición

Un Número Complejo ($\mathbb {C}$) es aquel que se compone de un número real ($\mathbb {R}$) junto a uno imaginario ($\mathbb {I}$).

Unidad Imaginaria

Se define un número complejo especial, sobre todo en el álgebra, de suma relevancia, el número i ( j en física), llamado unidad imaginaria, definido como

$\mathrm {i} =(0,1)\,\!$

Que satisface la siguiente igualdad:

$\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} =(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1$

De donde resulta:

${\sqrt {-1}}=\mathrm {i}$

Tomando en cuenta que $(a,0)\cdot (0,1)=(0,a)$, cabe la identificación

$(a,0)\cdot (0,1)=a\mathrm {i} =(0,a)$

Plano de Argard

En matemáticas, el plano complejo es una forma de visualizar y ordenar el conjunto de los números complejos.

Puede entenderse como un plano cartesiano modificado, en el que la parte real está representada en el eje de abscisas y la parte imaginaria en el eje de ordenadas.

El eje de abscisas también recibe el nombre de eje real y el eje de ordenadas el nombre de eje imaginario. Asimismo, cualquier campo de números complejos se puede representar en su forma polar, formando así un plano polar, en el que el valor absoluto, módulo o magnitud representa la longitud de un vector y su argumento es equivalente al ángulo del mencionado vector.

Un número puede ser visualmente representado por un par de números formando un vector en un diagrama llamado Diagrama de Argand.

Valor Absoluto

La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

$|z|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {{\hbox{Re}}^{2}(z)+{\hbox{Im}}^{2}(z)}}$

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el Teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.

Si el complejo está escrito en forma exponencial $z=re^{i\phi }$, entonces $|z|=r$

Representación de Números Complejos

Forma Rectangular

Esta es la representación mas común de los números complejos,se compone de:

$z=a\pm bi$

Donde $a$ es un número real ($\mathbb {R}$),y $b$ es el número imaginario ($\mathbb {I}$)y su unión es con un símbolo positivo o negativo

Forma Trigonométrica

Aplicando el Teorema de Pitagoras en un Plano Complejo,se puede obtener la representación trigonométrica que corresponder a:

$\cos \phi ={\frac {a}{r}}\ ,\ \sin \phi ={\frac {b}{r}}$

Donde ${\phi }$ representa el ángulo o Argumento formado en el Plano de Angard y $r$ es el Valor Absoluto o Módulo del Número Complejo

$\textstyle {\phi }=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\arctan \left({\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)=-\arctan \left(-{\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)$

Al despejar a y b obtenemos
$a=r\cos \phi$
$b=r\mathrm {i} \sin \phi$

Sustituimos y su representación queda así:

$z=a\pm bi=r\cos {\phi }+\mathrm {i} r\sin {\phi }=r(\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi })$

Forma Polar

El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; $r(\cos \phi +i\sin \phi )$ o $re^{i\phi }$ es la expresión polar del punto.

Al aplicar la Fórmula de Euler, vemos que:

$\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi }=e^{\mathrm {i} \phi };\;z=re^{i\phi }$

No obstante, el ángulo $\phi$ no está unívocamente determinado por z, pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros $k\in \mathbb {Z}$, como implica la fórmula de Euler:

$\forall {k}{\in }\mathbb {Z} \;z=e^{\mathrm {i} (\phi +2\pi {}k)}$

Por esto, generalmente restringimos $\phi$ al intervalo [-π, π) y a éste $\phi$ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

También puede tener estas dos representaciónes

-En forma de Subíndice

$z_{\phi }$

-O cómo Ángulo

$z\langle \phi$

Este tipo de representación es la más recomendable para efectuar multiplicaciones y divisiones

Forma Exponencial

Está forma solamente es aplicando la Fórmula de Euler.
$\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi }=e^{\mathrm {i} \phi }$

Donde se saca el Módulo

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {{\hbox{Re}}^{2}(z)+{\hbox{Im}}^{2}(z)}}$

y el Argumento

$\textstyle {\phi }=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\arctan \left({\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)$

Quedando así.

$z=re^{i\phi }$

Conversión de Representaciónes

	Rectagular	Trigonométrica	Polar	Exponencial
Rectangular	$|z|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ $\cos \phi ={\frac {a}{r}}\ ,\ \sin \phi ={\frac {b}{r}}$ $\textstyle {\phi }=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)$
Trigonométrica	$a=r\cos \phi$ $b=r\mathrm {i} \sin \phi$		$z\langle \phi$	$z=re^{i\phi }$
Polar		$z=r(\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi })$		$z=re^{i\phi }$
Exponencial		$z=r(\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi })$	$z\langle \phi$

Operaciones de Números Complejos

Ver Operaciones con Números Complejos

Fuente

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejo
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_complejos.htm