Dabei stoßen wir zuerst auf die schon angedeutete ungeheure Einfachheit des Systems. Zehn Ziffernsymbole sind eigentlich das ganze Material, womit wir es zu tun haben. Wenn wir weiters ein paar Verknüpfungssymbole wie die Zeichen „plus“, „minus“, „mal“ und „dividiert durch“ (+,-,×,:) und endlich das Gleichheitszeichen (=) hinzunehmen, beherrschen wir als Lüchlige Algorithmiker bereits eine ganze Welt des Zahlenrechnens. Allerdings gehört als eine der wichtigsten Voraussetzungen noch etwas Weiteres zu unserer algoritlunischen Kunst, das uns selbstverständlich scheint, aber gerade der Schlüssel des Geheimnisses ist: das sogenannte Stellenwertsystem.
Als drastisches Beispiel einer Schreibung ohne Stellenwert sollen die sogenannten römischen Ziffern herangezogen werden. Ein „Algorithmiker“ Roms würde aufgefordert werden, etwa die Zahlen MDCCCXLIX und MMCXXIV auch nur zu summieren. Er wird bei den Zehnern und Einern in größte Verlegenheit kommen, zum Abacus, zum Rechenbrett greifen und zugeben müssen, daß er eigentlich keinen Algorithmus besitzt. Der Algorithmiker des indischen Systems findet es nicht einmal der Mühe wert, diese Zahlen 18-19 und 2124 untereinanderzuschreiben. Nach wenigen Sekunden verkündet er das Ergebnis 3973 als Summe.
Jetzt wollen wir aber unmittelbar auf das Problem losgehen. Unter Stellenwertsystem verstehen wir eine Schreibweise von Zahlen, die jeder Ziffer einen anderen Wert zuteilt, wenn sie an anderer Stelle steht. Auch wenn es dieselbe Ziffer ist. Und zwar bedeutet, da das Gesetz der Größenfolge von links nach rechts eingehalten wird, etwa eine 3 an letzter Stelle 3, an vorletzter Stelle 30, an drittletzter Stelle 300, an viertletzler Stelle 3000 usw. Von sogenannten Dezimalbruchstellen sprechen wir noch nicht. Wir behandeln vorläufig nur ganze Zahlen, eingedenk des Ausspruchs Kroneckers, daß die ganzen Zahlen von Gott stammen und alles übrige Menschenwerk sei.
An unserem Beispiel mit der Drei sehen wir schon, daß der Stellenwert sich von rechts nach links jeweils verzehnfacht. Daher der Name Zehnersystem oder dekadisches System. Die Zehn heißt dabei die Grundzahl des Systems.
Obwohl wir damit gewaltig vorgreifen, wollen wir zur Vereinfachung der folgenden Ausführungen einen neuen Begriff einführen. Nämlich den der Potenz. Es handelt sich dabei eigentlich um nichts anderes als um eine Multiplikation einer Zahl mit sich selbst, für die man ein besonderes abgekürztes Zeichen schreibt. Wir wollen aber vorläufig über das sogenannte „potenzieren“ oder „zur Potenz erheben“ uns in keiner Weise verbreiten, sondern an Hand weniger Beispiele bloß die Schreibart klarmachen. Zehn mal zehn nennt man zehn zur zweiten Potenz und schreibt 102. Zehn mal zehn mal zehn heißt „zehn der Dritten“ oder „zehn zur Dritten“ oder „zehn zur dritten Potenz“ und wird 103 geschrieben. 10×10×10×10=104; 10×10×10×10×10=105 usw. Natürlich kann man diese Zahlen auch ausrechnen. So ist 102=100, 105=100.000, 52=5×5=25, 63=6⋅6⋅6=216 usf. Als erste Potenz einer Zahl bezeichnet man die Zahl selbst, weil sie gleichsam nur einmal in der Multiplikation auftritt. Also 101=10, 51=5, 291=29 usw. Die erste Potenz, also der kleine Einser rechts oben, wird gewöhnlich nicht geschrieben. Wir müssen aber noch eine Potenz einführen, deren merkwürdiges Ergebnis an dieser Stelle nicht erklärt werden kann. Nämlich die sogenannte nullte Potenz. Wir stellen also die Forderung, daß eine Zahl überhaupt nicht als Faktor in einer Multiplikation mit sich selbst vorkommt. Das bedeutet etwa 100 oder in Worten: zehn der nullten Potenz. Jeder wird mit Recht erklären, daß eine solche Forderung ein vollendeter Unsinn ist. „Multipliziere etwas überhaupt nicht mit sich selbst, mache eine Rechnung (noch dazu eine Multiplikation), in der der einzige erlaubte Faktor, nämlich die bestimmte Zahl, nullmal, also überhaupt nicht vorkommt. Und sage mir das Ergebnis.“ Das ist die Fragestellung. Ich muß, wie erwähnt, vorläufig höflichst um Entschuldigung bitten und mitteilen, daß jede, aber auch jede Zahl,
(00 ist davon ausgenommen, da 0 in diesem Zusammenhang nicht als Zahl zu betrachten ist)
zur nullten Potenz erhoben, das Resultat eins gibt. Also ist 100= 1, 250= 1, 275.8590= 1 usf. bis zu jeder Größe.
Also wiederholt: Irgendeine Zahl zur nullten Potenz gibt eins. Zur ersten Potenz sich selbst. Zur zweiten Potenz die Zahl mit sich selbst multipliziert. Zur dritten Potenz die Zahl mit sich selbst und noch einmal mit sich selbst multipliziert usw. Insbesondere für die Zahl zehn: 100=1, 101= 10, 102=100, 103= 1000, 104= 10.000, ...
Ein Mensch mit gutem Blick wird bei Betrachtung dieser Zahlenfolge sogleich merken, daß bei der Zehn die kleine Ziffer rechts oben (der sogenannte Potenzanzeiger oder Potenzexponent) die Anzahl der Nullen angibt, die die betreffende Zehnerpotenz besitzt. Sicherlich ein wichtiger und für das Ziffernsystem aufschlußreicher Zusammenhang. Wir wollen uns aber nicht weiter verlieren, sondern jetzt beherzt in die Tiefen und Höhen der Zahlensysteme vorstoßen. Denn wir haben bereits das ganze Rüstzeug zur Durchforschung unseres Ziffern-Algorithmus in der Hand.
Bei Betrachtung des Rechenbrettes wird es jedem klar geworden sein, daß. sich eine beliebige Zahl des Zehnersystems aus einer gewissen Menge von Einern, von Zehnern, Hundertern usw. zusammensetzt. Wir werden uns nun bemühen, eine geeignete Schreibweise zu finden, die den inneren Bau jeder Zahl bloßlegt, ohne daß wir hiezu den ungelenken Abacus (das Rechenbrett) zu Hilfe nehmen müßLen. Nach dem Vorhergegangenen dürfte es nicht allzu schwer sein, diese Schreibweise zu entdecken. Es ist die sogenannte additive oder suinmatorische Reihe,
(In der Mathematik heißt „Reihe“ stets eine additive oder subtralstive Aneinanderreihung von Zahlen oder Größen.)
und zwar eine Potenzreihe. Die gelehrten Ausdrücke mögen niemand abschrecken. Denn ein Beispiel wird den Vorgang sofort verdeutlichen. Nehmen wir etwa an, wir hätten die Zahl 1.483.706 in eine solche Reihe aufzulösen. Mit unseren bisherigen Kenntnissen sind wir dazu ohne weiteres imstande. Wir schreiben also zuerst noch primitiv:
Dazu wird zuerst bemerkt, daß jede Zahl, mit der Null multipliziert, wieder 0 gibt und daß ich daher umgekehrt jede Null als Produkt irgendeiner Zahl mit der 0 auffassen kann. Wir benützen diese Unikelirung hier bewußt zur systematischen Ergänzung der Reihe bezüglich der Zehnerstelle. Außerdem wollen wir nun weitere Vereinfachungen vornehmen. Zuerst werden wir das lästige schiefe Kreuz (×) für die Multiplikation fallen lassen und dafür den Punkt anwenden, wie dies in der Mathematik allgemein üblich ist. Dann werden wir die Ausdrücke in den Klammern als richtige Potenzpn darstellen. Und schließlich werden wir anmerken, daß man innerhalb einer solchen Reihe die Ziffern, die vor den Potenzen stehen, die „Koeffizienten“ nennt. 6, 0, 7, 3, 8, 4, 1 — kurz die Ziffern, ans denen unsere Zahl besteht — erscheinen in der Potenzreihe nur mehr als „Koeffizienten“. Dieser Begriff ist vorläufig zur Notiz zu nehmen. Mehr kann an dieser Stelle darüber noch nicht gesagt werden.
Damit ist der innere Bau des Zehnersystems mit Stellenwert vollständig und eindeutig bloßgelegt. Ich will aher die sogenannte „Diskussion“, die Erörterung der Angelegenheit, au! die Gefahr hin zu langweilen, nicht dem Leser überlassen, sondern sie mit ihm gemeinsam durchführen. Wir sehen zuerst, daß die sogenannte Größenfolge eingehalten ist. Die Potenzen von zehn folgen einander in der Reihe als 100, 101, 102, 103 usf. Daran ändern auch die Koeffizienten nichts. Denn selbst 9•100 (also 9•1=9) muß stets kleiner sein als 0•101 (also 0•10=0), weil diese Null an der Zehnerstelle nichts anderes bedeutet, als daß in der Zahl mindestens 10 Zehner vorhanden sind, da ja eine Zahl nie mit der Null beginnen darf. Als Beispiel diene die Zahl 109, die als Reihe geschrieben 9•100 + 0•101 + 1•102 lauten würde. Daß 100 gleich 1 ist, wurde schon erwähnt. Es ist nun weiter klar, daß die Reihe theoretisch ins Unendliche fortsetzbar ist. Das heißt, es gibt keine noch so große Zahl, die nicht in Form einer solchen Reihe aufsteigender, mit Koeffizienten versehener Zehnerpotenzen geschrieben werden könnte. Natürlich ist umgekehrt jede solche Reihe wieder in eine dekadische Zahl rückübertragbar. 5•100 + 7•101 + 0•102 + 8•103 + 9•104 + 3•105 ist nichts anderes als die Zahl 398.075, nämlich noch einmal zum Überdruß in Worten: 5 Einer, 7 Zehner, 0 Hunderter, 8 Tausender, 9 Zehnlausender und 3 Hunderttausender. Mit Absicht wird erst hier erwähnt, daß ein vollkommenes Ziffernsystem noch voraussetzt, daß die sogenannten Stufenzahlen (die Zehnerpotenzen) rein sprachlich mit eigenen Worten bezeichnet werden können (zehn, hundert, tausend usw.). Streng durchgeführt ist die Sache in unserem System nicht.
Wir haben merkwürdigerweise eigene Worte bloß für 101, 102 und 103, also zehn, hundert und tausend. Zehntausend und hunderttausend sind multiplikative Zusammensetzungen. 106 oder die Million hat wieder ein eigenes Wort. Tausend Millionen (109) oder die Milliarde erscheint als nächste strenge Bezeichnung. Und dann folgen, nach Potenzen der Million, die Billion (1.000.0002=1012), die Trillion (1.000.0003=1018), die Quadrillion (1024), die Quintillion (1030) usf. Die Ursache dieser Unregelmäßigkeit dürfte meines Erachtens in praktischen Bedürfnissen liegen, die sich historisch ergeben haben. Geld und Heerwesen erforderten ursprünglich nur Obereinheiten bis tausend. Und es war angeblich erst der Reichtum Marco Polos, der den Begriff der Million notwendig machte. Die ganz hohen Einheiten (Billion usw.) nennt auch der gewöhnliche Sprachgebrauch „astronomische Zahlen“ und zeigt so ihr Anwendungsgebiet und ihre Entstehung.
Wir wiederholen also endgültig: Das Zehnersystem oder das dekadische Ziffernsystem, verbunden mit dem Stellenwertsystem, ist ein Algorithmus. Es gestattet uns vorläufig in der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit größter Leichtigkeit alle Rechnungsoperationen durchzuführen, deren Regeln wir heute schon in der Elementarschule beherrschen. Das Zehnersystem besteht aus eigenen, von den Buchstaben durchaus verschiedenen Begriffssymbolen, die die Zahlwerte von 0 bis 9 bedeuten. Grundzahl des Systems ist die auf die 9 folgende Zahl, die zehn heißt und 10 geschrieben wird. Für weitere Stufenzahlen (Zehnerpotenzen) existieren zum Teil eigene Worte wie hundert, tausend, Million, Milliarde, Billion usf.
Nun sind wir so hoch auf unseren Zahlenberg gestiegen, daß wir den Ausblick und die Übersicht über ein ins Unendliche verlaufendes, verästeltes Tal, das Tal des Zehnersystems, gewonnen haben. Wir bemerken aber, daß wir uns noch sehr tief unter dem Gipfel befinden. Was werden wir vom Gipfel aus erblicken? Gibt es noch andere Täler? Oder ist der Berg ein Hochplateau, eine beziehungslose Steinwüste?
Wir machen Rast und grübeln. Und dabei fallt uns allerlei Beunruhigendes ein. Was bedeutet es, daß wir die Worte elf und zwölf gebrauchen, worauf dann dreizehn, vierzehn, fünfzehn, sechzehn usw. folgt? Was bedeutet das rätselhafte quatrevingt der Franzosen? Das sind, vom Zehnersystem aus betrachtet, Systemstörungen, Entgleisungen. Darüber gibt es keinen Zweifel. Quatre-vingt (viermal zwanzig) hat eine verzweifelte strukturelle Ähnlichkeit mit vierzig. Und elf und zwölf sehen direkt wie eine Fortsetzung der Zahlen eins bis zehn aus. Sie sind, wenigstens oberflächlich betrachtet, unzusammengesetzt. Warum sagt man nicht statt elf einzehn und statt zwölf zweizehn ? Warum ist überhaupt gerade die Zehn die Grundzahl unseres Systems? Ist zehn durch irgend etwas vor einer anderen Zahl ausgezeichnet.? Ist das Zehnersystem gleichsam ein durch Gott gegebenes System? Oder ist gar nur die Tatsache, daß wir zehn Finger besitzen und unsere Urahnen einst an den Fingern zählten, daran schuld, daß wir das Zehnersystem bevorzugen?
Wir wollen aber unseren Zahlenbergwanderer nicht zu lange grübeln lassen. Und wir flüstern ihm daher zu: Das Zehnersystem ist theoretisch durch nichts, aber auch durch gar nichts vor einem System beliebig anderer Grundzahl bevorzugt. Es hat im Laufe der Geschichte schon Sechzigersysteme, Fünfersysteme, Zwanzigersysteme und Zwölfersysteme gegeben. Der große Leibniz hat im Jahre 1690 in Rom sogar das merkwürdigste aller Systeme, das Zweiersystem (Dyadik oder binarische Arithmetik) entdeckt, das sich überhaupt nur der 0 und der 1 als Ziffern bedient. Und unser Quatrevingt ist tatsächlich ein unzeitgemäßer Rest eines keltischen Zwanzigersystems (Finger plus Zehen!), der sich in die französische Sprache hinübergeschlichen hat.
