Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 066c

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Mathematik von A bis Z (Teil 3)

3

Drittes Kapitel

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Nichtdekadische Ziffernsysteme

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Da wir nun den Bau, die Struktur des Zehnersystems so gut kennen gelernt haben, wollen wir kühn versuchen, irgendein anderes System selbständig aufzustellen.

(Der weniger geübte Leser darf die Einzel-Berechnungen in diesem Kapitel ohne Schaden für das Endziel überschlagen.)

Wir wählen zuerst eine Grundzahl, die kleiner ist als zehn, etwa die Zahl sechs. Und wir werden streng nach dem Muster des Zehnersystems unseren neuen Algorithmus aufbauen und zusehen, wie weit wir damit kommen. Zuerst ganz simpel und nach dem Gefühl: Wir haben im Zehnersystem zehn Zahlzeichen, zehn Ziffernsymbole, nämlich 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gebraucht. Folglich, so schließen wir, werden wir für unser Sechsersystem mit sechs Ziffern, also 0, 1, 2, 3, 4, 5 auskommen. Wie aber sollen wir die Sechs schreiben, die Sieben, die Acht, die Neun? Jetzt denken wir an unsere Potenzreihe. Die Grundzahl zur ersten Potenz wurde 10¹ geschrieben. Oder einfach 10. Es war also die erste zweistellige Zahl. Wir werden somit auch im Sechsersystem die Grundzahl 10 schreiben, nur daß sie hier nicht zehn, sondern sechs bedeutet.

Ich gebe zu, daß jetzt viele Leser verwirrt sein werden, weil sie noch an die Gottgegebenheit des Zehnersystems glauben. Darum wollen wir Schritt vor Schritt weiterwandern und uns zuerst die ersten zwanzig Zahlen des Zehnersystems aufschreiben. Darunter die gleichwertigen ersten zwanzig Zahlen des Sechsersystems.

${\begin{array}{rrrrrrrrrr}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\1&2&3&4&5&10&11&12&13&14\end{array}}$

${\begin{array}{rrrrrrrrrr}11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\15&20&21&22&23&24&25&30&31&32\end{array}}$

Wie man sieht, ergibt sich die Schreibweise unmittelbar aus der Tatsache, daß man im jeweiligen System eben nicht anders schreiben kann. Denn mit fünf Ziffern und der Null kann ich den Begriff sechs nicht anders schreiben als eben 10. Ebenso wie ich mit neun Ziffernzeichen und der Null die Zwölf nie anders ausdrücken kann als eben durch 12.

Nun wollen wir uns die Stufenzahlen ansehen. Diese müssen (im Zehnersystem geschrieben) die Werte von 6⁰, 6¹, 6², 6³, 6⁴ usw. haben. Also, noch immer im Zehnersystem, die Werte 1, 6, 36, 216, 1296 usw. Ich könnte somit in Reihenschreibung eine beliebige Zahl des Sechsersystems folgendermaßen ausdrücken:

2•6⁰ + 4•6¹ + 0•6² + 3•6³ + 5•6⁴, was bedeuten würde:

2•1 + 4•6 + 0•36 + 3•216 + 5•1296 und dekadisch geschrieben das Ergebnis 7154 lieferte. Bemerkt sei, daß auch in dekadischer Schreibart die „Koeffizienten“ nie die Fünf überschreiten dürfen, da sonst die Größenfolge verletzt werden könnte und die Zahl im Sechsersystem nicht schreibbar wäre. Nun kommt ein kühner Griff. Wir wollen jetzt die besprochene Zahl im Sechsersystem aufschreiben. Dazu ist gar nichts nötig, als die Koeffizienten einfach nebeneinanderzustellen. Und zwar von der höchsten Potenz absteigend. Unsere Zahl lautet also im Sechsersystem geschrieben 53.042. Denn das heißt eben nichts anderes als 2•6⁰ + 4•6¹ + 0•6² + 3•6³ + 5•6⁴! Und wir stellen fest: 53.012 (Sechsersystem) ist gleich 7154 (Zehnersystem). Wir wollen zum Überfluß noch die Probe machen und nun beide Zahlen in Reihen auflösen:

7.154 (Zehnersystem) = 4•10⁰ + 5•10¹ + 1•10² + 7•10³

53.042 (Sechsersystem) = 2•6⁰+ 4•6¹ + 0•6² + 3•6³ + 5•6⁴

oder

4•1 + 5•10 + 1•100 + 7•1000 muß gleich sein

2•1 + 4•6 + 0•36 + 3•216 + 5•1296.

Natürlich stimmt die Rechnung. Denn sowohl die erste Reihe als die zweite Reihe ergeben (dekadisch geschrieben) als Resultat 7154.

Nun wollen wir uns aber von der Dekadik abwenden und unsere Zahl 53.042 (Sechsersystem) in eine Reihe des eigenen Systems auflösen. Wir erhalten dann:

53.042 = 2•l0⁰ + 4•10¹ + 0•10² + 3•10³ + 5•10⁴, wobei 10 nicht mehr die Zehn des Zehnersystems, sondern dem Werte nach die 6 des Zehnersystems bedeutet. Wir wollen aber noch viel mehr.

Wir wollen sehen, ob sich auch das Sechsersystem als Algorithmus bewährt, d. h. ob es geeignet ist, Rechenoperationen nach Art unserer vertrauten Addition, Multiplikation usw. zu gestatten. Zu diesem Behufe müssen wir uns aber noch ein Hilfsmittel bereitstellen. Nämlich das „Einmaleins“ des Sechsersystems. Auf den ersten Blick sieht es wie die Rechenübung eines soeben wahnsinnig Gewordenen aus. Einiges Nachdenken und ein Blick auf die Ziffernreihen sowie die Überlegung, daß wir eben nur mit sechs Ziffernzeichen operieren können, wird die Gemüter bald wieder beruhigen.

Wir wagen also unser Hexeneinmaleins:

${\begin{array}{rrrrr}1\cdot 1=1\quad &2\cdot 1=2\quad &3\cdot 1=3\quad &4\cdot 1=4\quad &5\cdot 1=5\\1\cdot 2=2\quad &2\cdot 2=4\quad &3\cdot 2=10\quad &4\cdot 2=12\quad &5\cdot 2=14\\1\cdot 3=3\quad &2\cdot 3=10\quad &3\cdot 3=13\quad &4\cdot 3=20\quad &5\cdot 3=23\\1\cdot 4=4\quad &2\cdot 4=12\quad &3\cdot 4=20\quad &4\cdot 4=24\quad &5\cdot 4=32\\1\cdot 5=5\quad &2\cdot 5=14\quad &3\cdot 5=23\quad &4\cdot 5=32\quad &5\cdot 5=41\end{array}}$

Wir werden nun addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren, als ob wir nie etwas vom Zehnersystem gehört hätten. Zuerst eine Addition:

${\begin{array}{r}4325\\5041\\---\\13410\end{array}}$

Man muß stets, wenn zwei Zahlen zusammen 6 ergeben, die Zehn denken. Also 1 und 5 gibt 10, bleibt eins. Vier und eins sind fünf, plus zwei ist 11, bleibt eins. Null plus eins ist eins, plus drei ist vier. Fünf plus vier ist dreizehn. Natürlich dürfte man nicht zehn, elf und nicht dreizehn sagen, sondern etwa sechs, einsechs und dreisechs. Die Hauptschwierigkeit ist also eine sprachliche. Wenn wir einmal Worte für die Stufenzahlen haben, dann ist jedes System ebenso leicht zu handhaben wie das dekadische.

Nun eine Subtraktion:

${\begin{array}{r}5201\\-3544\\---\\1213\end{array}}$

In Worten: Elf (einsechs) weniger vier gibt drei, bleibt eins. Vier plus eins ist fünf. Fünf von zehn (sechs) abgezogen, gibt eins, bleibt eins. Fünf plus eins ist zehn (sechs). Dies abgezogen von zwölf (zweisechs) gibt zwei, bleibt eins. Drei plus eins ist vier. Abgezogen von fünf ist eins.

Jetzt die versprochene Multiplikation; wozu das „Einmaleins“ als Hilfsmittel dienen soll.

${\begin{array}{r}3425\cdot 31\\----\\15123\;\;\quad \\3425\quad \\----\\155055\quad \end{array}}$

Zur Multiplikation wollen wir durch Unirechnung in das Zehnersystem die Probe machen.

3425 (Sechsersystem) = 5•6⁰ + 2•6¹ + 4•6² + 3•6³=809 (Zehnersystem),

31 (Sechsersystem) = 1•6⁰ + 3•6¹=19 (Zehnersystem).

Die dekadische Multiplikation ergibt nun

${\begin{array}{r}809\cdot 19\\7281\quad \\---\quad \\15371\quad \end{array}}$

Wenn wir richtig gerechnet haben und wenn weiters unsere Behauptung wahr ist, daß die Gesetze des Algorithmus im Sechsersystem dieselben sind wie im Zehnersystem, dann muß 15.371 (Zehnersystem) gleich sein mit 155.055 (Sechsersystem), also in Reihen aufgelöst

1•10⁰ + 7•10¹ + 3•10² + 5•10³ + l•10⁴ =

5•6⁰ + 5•6¹ + 0•6² + 5•6³ + 5•6⁴ + l•6⁵.

Zu unserer Freude besteht die erforderliche Gleichheit der beiden Reihen, wovon sich jeder leicht überzeugen kann. Wir sind also nur noch die Division im Sechsersystem schuldig, die wir sogleich nachtragen wollen. Wir sind kühn und haben keine Scheu vor großen Zahlen. Also:

2004013 : 425 = 2413 (alles im Sechsersystem)
 3100 
  1041 
   2123
    000 

Die Division ist, wie man sagt, aufgegangen. Natürlich mußten wir uns auch bei der Division die ganze Zeit über vor Augen halten, daß wir es mit dein Sechsersystem zu tun haben: schon bei der ersten Abschätzung, die in jedem System beim Dividieren notwendig ist. Wenn man beginnt, muß man sich bei der Division fragen, wie oft der Divisor im Dividenden enthalten sein kann bzw. im jeweiligen Teil der Zahl, die zu dividieren ist. Konkret: Wie oft war 425 in der ersten Gruppe 2004 enthalten ? Im Zehnersystem hätte ich es mit vier probiert. Im Sechsersystem muß ich bedenken, daß die 20 wertmäßig soviel bedeutet wie 12, während die 4 in beiden Systemen 4 bedeutet. Da nun nach der 20 noch eine Null folgt, während nach der 4 eine 2 steht, lag die Sache für mich so, als ob ich (dekadisch geschrieben) 120 durch 42 zu teilen gehabt hätte. Ich mußte also zuerst mit 2 probieren. Für die zweite Stelle ist 31 durch 4 zu probieren. 31 bedeutet aber 19 des Zehnersystems. Also schreibe ich probeweise 4 an usf. Im übrigen kann und muß man, wie beim Zehnersystem, zu diesen Proben das jeweilige Einmaleins, in unserem Falle also unser „Hexeneinmaleins“, heranziehen.

(wodurch es sich erübrigt, jedesmal beim Probieren ins Zehnersystem zurückzurechnen)

Nun wollen wir aber, unersättlich wie wir schon geworden sind, als frischgebackene Zahlentheoretiker noch die unbedingte Gewähr haben, daß unsere Division auch stimmt. Dazu haben wir zwei Wege. Erstens, wie bei der Multiplikation, die Rückübertragung der ganzen Rechnung ins Zehnersystem, in dem wir uns begreiflicherweise sicherer fühlen. Wir sind aber diesmal zu stolz, diesen banalen Weg zu gehen. Wir wollen nämlich unserem Algorithmus noch stärker auf den Zahn fühlen, wenn dieses schreckliche Bild erlaubt ist. Und wir schließen so: Der geängstigte Elementarscliülcr, der nicht weiß, ob seine Division richtig ist, macht einfach die „Gegenprobe“, indem er den Divisor mit dem Quotienten multipliziert und hierauf zusieht, ob er dadurch den Dividenden erhält. Schematisch:

Dividend : Divisor = Quotient,

Divisor × Quotient = Dividend.

Da wir, wie schon erwähnt, das Zehnersystem überhaupt nicht mehr heranziehen wollen und uns als Elementarschüler des Sechsersystems betrachten, multiplizieren wir (alles im Sechsersystem) die Zahlen

   2413 • 425
  -----------
  14500
    5230
    21313
  -------
  2004013

Wir sind befriedigt. Denn die Gegenprobe ist gelungen und wir haben richtig den Dividenden erhalten. Unser Widersacher hat uns aber auf die Finger gesehen und bezichtigt uns einer Unkorrektheit. Er macht uns nämlich darauf aufmerksam, daß wir nicht, wie im Schema, Divisor mal Quotient, sondern Quotient mal Divisor angeschrieben haben. Obwohl nun jeder uns beistehen und sagen wird, daß dies gleichgültig sei, weil ja auch 5•4 dasselbe Ergebnis liefert wie 4•5, sind wir unserem Widersacher gleichwohl dankbar und ergreifen die Gelegenheit zu einen kleinen Abschweifung.

Addition und Multiplikation sind die sogenannten aufbauenden Rechnungsarten. Sie fügen zusammen, vermehren. Erzeugen eine Zusammensetzung, eine Synthese. Und heißen deshalb, streng wissenschaftlich, die synthetischen oder einfacher die thetischen Operationen. Subtraktion und Division dagegen lösen auf, vermindern, bauen ab. Man nennt sie analytische oder, auch einfacher, die lytischen Operationen. Es ist klar oder, vorsichtiger gesagt, wahrscheinlich, daß sowohl die Gruppe der aufbauenden als auch die Gruppe der lösenden Rechnungsarten gewisse gemeinsame Gruppeneigensehaften haben werden. Wir wollen aber an dieser Stelle durchaus noch nicht tiefer dringen. Wir wollen den Einwand unseres Widersachers nur dazu benutzen, festzustellen, daß Addition und Multiplikation im Gegensatz zu Subtraktion und Division eine sehr wichtige Gruppengemeinschaft besitzen, die jeder kennt: Ihre Einzelbestandteile, Glieder, Posten, oder wie man es nennen will, sind vertauschbar, ohne daß sich das Ergebnis ändert.

5 + 4 + 7 = 4 + 7 + 5 = 7 + 4 + 5 usw.

Ebenso 4•5•7 =5•7•4 = 7•5•4 usw.

Regel: Bei den aufbauenden (thetischen) Rechnungsarten herrscht das Prinzip der Vcrtauschharkeit. der Bestandteile (Prinzip der Kommutativität). Bei den auflösenden (lytischen) Rechnungsarten, die nebenbei bemerkt auf unserer Stufe auch stets nur aus zwei Posten bestehen, gilt dieses Prinzip auf keinen Fall. Sie sind gleichsam einseitig gerichtet. Es ist grundverschieden, ob ich von 5 die 4 oder von der 4 die 5 abziehe. Ebenso verschieden ist es, ob ich 12 durch 3 dividiere oder 3 durch 12. Ich gebe zu, daß diese Abschweifung auf unserer Stufe noch wie das überflüssige Breittreten einer Selbstverständlichkeit aussieht. Ich deute deshalb an, daß es noch einige höhere thetische (aufbauende) und lytische (lösende) Rechnungsarten gibt, bei denen alles nicht mehr so einfach liegt und deshalb der Untersuchung wert ist.

Wir wollen aber jetzt wieder zu unseren Zahlensystemen zurückkehren. Unsere Versuche im Sechsersystem haben uns neugierig gemacht. Und wir glauben zwar, daß mit einer Grundzahl unterhalb von zehn der ganze Zauber des Algorithmus, der wahren Kabbala, stimmt, daß es aber durch nichts bewiesen ist, ob sich eine Grundzahl, die größer als zehn ist, auch für ein Stellemwertsystem eignet. Wir dürfen aus rein rechenökonomischen Gründen nicht ins Uferlose schweifen und etwa 5O als Grundzahl wählen. Natürlich wäre es möglich. Aber die Potenzen von 50 wachsen so schwindelnd schnell, daß wir jeden Überblick verlieren würden. Außerdem brauchen wir bekanntlich stets soviel einzelne Zahlzeichen als die Grundzahl Einheiten anzeigt. Woher sollen wir diese Zeichen nehmen, wenn wir nicht allein Tage aufwenden wollen, um sie zu erfinden und zu erlernen?

Wir begnügen uns also mit der Tatsache, daß die Grundzahl größer als zehn sein soll, und wählen als echte Kabbalisten die Zahl 13. Mit der Nebenabsicht, zu zeigen, daß sich auch eine sogenannte Primzahl, eine durch keine andere ganze Zahl teilbare Zahl, zur Grundzahl eines Systems eignet, Hiezu sei wieder eine Bemerkung eingeschaltet. Unsere dekadische Grundzahl 10 ist nur durch 5 und durch 2 teilbar. Die Zahl 12 aber durch 2, 3, 4 und 6. Deshalb hat man schon mehr als einmal ganz ernsthaft vorgeschlagen, das Zehnersystem zu verlassen und zum Zwölfersystem überzugehen. Es hätte für das Münzwesen, die Maß- und Gewichtseinteilung geradezu unschätzbare Vorteile, abgesehen davon, daß die Einteilung des Tages (Ziffernblatt der Uhr) und die Winkelteilung des Kreises mit dem Zwölfersystem leicht zu vereinen wäre. Als Gegengründe gegen das Zwölfersystem sprechen hauptsächlich die Naturtatsachen unserer Fingerzahl und unseres sonstigen Körperbaues, der in groben Umrissen stets die Fünfheit und die Zweiheit bevorzugt (Augen, Ohren, Anne, Beine, Finger, Zehen). Außerdem ist das ganze Metermaßsystem mit all seinen Ausläufern in dezimaler Art mit der Erde verbunden, da der Meter seit der französischen Revolution als der zehnmillionste Teil des Erdmeridianquadranten definiert ist. Alle anderen Maße wie Liter, Kilogramm usw. sind aber wieder mit dem Meter dezimal gekoppelt. Und schließlich ist durch einen kosmischen Zufall die wichtigste Well große, die sogenannte Lichtgeschwindigkeit, pro Zeitsekunde fast genau 300.000 Kilometer.

(Hätte ich selbst den Meter im Zwölfersystem als 10.000.000ten Teil des Meridianquadranten definiert, so wäre die Lichtgeschwindigkeit pro Sekunde im Zwölfersystem 26mal to groß, also 260.000 „Kilometer“ des Zwölfersystems. Somit eine weniger „runde“ Zahl.)

Es ist sonach wenig Aussicht, daß wir in absehbarer Zeit auf ein anderes Ziffernsystem umlernen müssen. Gleichwohl werden wir uns weniger aus praktischen als aus sehr wichtigen prinzipiellen Gründen noch ein bißchen mit unserem Dreizehnersystem beschäftigen. Wieder wollen wir vorerst die ersten Zahlen, diesmal die ersten dreißig, im dekadischen und im Dreizehnersystem zu Vergleichszwecken untereinander schreiben.

${\begin{array}{rrrrrrrrrr}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\1&2&3&4&5&6&7&8&9&A\end{array}}$

${\begin{array}{rrrrrrrrrr}11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\B&C&10&11&12&13&14&15&16&17\end{array}}$

${\begin{array}{rrrrrrrrrr}21&22&23&24&25&26&27&28&29&30\\18&19&1A&1B&1C&20&21&22&23&24\end{array}}$

Wie man merkt, haben wir, da wir im Dreizehnersystem, einschließlich der Null, dreizehn einfache Ziffernzeichen brauchen, die großen lateinischen Buchstaben A, B und C als Ziffern herangezogen. Während beim Sechsersystem Ziffern des dekadischen Systems übersprungen wurden und einfach nicht vorkommen (6, 7, 8, 9), ist es hier genau umgekehrt. Das Zehnersystem überspringt drei Ziffern des Dreizehnersystems (A, B, C).

Wir könnten nun auch hier ein Hexeneinmaleins anschreiben, in dem etwa 5•8=31 und 7•7=3A usw. wäre, wollen aber diese Fleißaufgabe sowie die Erkenntnis, daß im Dreizehnersystem A•B=86, jenen Lesern zur Durchführung überlassen, die tiefer in die Ziffernsysteme eindringen wollen.

Gleichwohl müssen wir unser Dreizehnersystem irgendwie rechtfertigen. Wir wählen hiezu eine Multiplikation. Und zwar die Multiplikation der Zahlen 92B und A7, was im Rotwelsch des Dreizehnersystems etwa Neunhundertbeundzwanzig mal Siebenundazig auszusprechen wäre. Also:

92B • A7
--------
7126
 4C6C
-----
761CC

In Worten: A mal B ist 86 bleibt 8, A mal 2 ist 17 plus 8 ist 22, bleibt 2. A mal 9 ist 6C plus 2 ist 71. Weiter: 7 mal B ist 5C, bleibt 5. 7 mal 2 ist 11 plus 5 ist 16, bleibt 1. 7 mal 9 ist 4B plus 1 ist 4C.

Hierauf die Addition. Einerstelle: C. Zweite Stelle: 6+6 ist ebenfalls C. Dritte Stelle: C+2=ll, bleibt eins. Vierte Stelle: 4+1 = 5 plus 1 ist 6. Fünfte SLelle: 7. Also: 76.1CC als Ergebnis.

Da wir uns nicht allzu sehr abquälen wollen, riskieren wir jetzt die Banalität und machen diesmal die Gegenprobe im Zehnersystem. Und zwar durch Reihenauflösung.

${\begin{aligned}92B(Dreizehnersystem)&=B\cdot 13^{0}+2\cdot 13^{1}+9\cdot 13^{2}\\&=11\cdot 1+2\cdot 13+9\cdot 169\\&=1558(Zehnersystem)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}A7(Dreizehnersystem)&=7\cdot 13^{0}+A\cdot 13^{1}\\&=7\cdot 1+10\cdot 13\\&=137(Zehnersyst.)\end{aligned}}$

Nun multiplizieren wir im Zehnersystem:

1558•137
--------
 4674
 10906
------
213446 

Als Ergebnis der Multiplikation im Dreizehnersystem hatten wir 761CC erhalten. Diese Zahl muß 213.446 im Zehnersystem gleich sein.

Also: C•13⁰ + C•13¹ + 1•13² + 6•13³ + 7•13⁴ soll gleich sein 213.446 (Zehnersystem). Schreiben wir rein dekadisch mit gleichzeitiger Ausrechnung der Potenzen.

12•13⁰ + 12•13¹ + 1•169 + 6•2197 + 7•28561 =

12 + 156 + 169 + 13.182 + 199.927 =

213.446

Somit haben wir das erwartete Resultat erhalten und bewiesen, daß auch im Dreizehnersystem, also in einem System, dessen Grundzahl höher als zehn ist, die Rechenregeln des Stellenwertsystems anwendbar sind. Ich muß bemerken, daß der Mathematiker einen solchen „Beweis“ durchaus nicht gelten läßt. Er nennt unser Vorgehen höchstens Bewahrheitung oder Verifikation. Wir wollen uns aber vorläufig mit unserem minderwertigen „Beweis“verfahren begnügen, da es in unserem Falle ungefährlich und eindeutig ist.

Nun stehen wir plötzlich auf dem Gipfel des Zahlenberges. Die Mühe des Anstieges, das dornige Gestrüpp von Ziffern und Rechnungen hatte unseren Blick bisher auf den Boden geheftet. Jetzt aber, nach all den Beschwerden, nach allem Schweiß und aller Geduld, dürfen wir in hoher Luft herumblicken. Was sehen wir? Wir sehen und ahnen unendlich viele Täler, die irgendwie dem Tal des Zehnersystems gleichen und doch wieder von ihm verschieden sind in Vielfalt und Größe ihres Beginnes. Alle leiten ins Unendliche, Unbegrenzte. Alle haben Platz und Plätzchen für sämtliche natürlichen Zahlen. Und dennoch ächst in jedem Tal jedes Zahlenpflänzchen gleichsam in anderer Farbe und Dicke ...

Wir wollen aber unseren Vergleich nicht zu weit treiben. Begnügen wir uns mit dem bildlichen Gedanken, auf einem Gipfel zu stehen, von dem aus wir alle Zahlensysteme des Stellenwertlypus überblicken. Jedes dieser Systeme ist, soviel erkannten wir, ein unfehlbarer selbsttätiger Algorithmus, eine Denk- und Rechenmaschine. Bei allen Systemen ist der Bau derselbe : Eine Grundzahl; soviel Ziffernzeichen einschließlich der Null, als die Grundzahl Einheiten enthält; Stellenwert, indem jeder Koeffizient, jede innerhalb der Zahl geschriebene Ziffer, mit der Potenz der Grundzahl multipliziert zu denken ist, die seiner Stelle zukommt. Und zwar kommt der Einerstelle die rätselhafte nullte, jeder folgenden Stelle eine je um eins höhere Potenz zu. Die ausgerechneten Potenzen nennt man Stufenzahlen. Und es ist nötig, wenn man praktisch rechnen will, daß die SLufenzahlen wenigstens in den ersten Stufen sprachlich mit eigenen Worten benannt sind. In jedem System gibt es einziffrige, zweiziffrige, dreiziffrige Zahlen usf. Die Ziffernanzahl einer Zahl ist stets uin eins größer als die Potenz der Grundzahl, die dem höchsten Stellenwert zugeordnet ist. (Bei 1268, also einer vierziffrigen Zahl, ist die Potenz der höchsten Stelle, der Tausenderstelle, die dritte Polenz, da 10³=10•10•10= 1000; bei 2.586.933, also bei sieben Ziffern, hat die Millionenstelle die Potenz sechs, da 10⁶=10•10•10•10•10•10=1000.000 usw.) Ferner gellen in jedem Ziffernsystem mit Stellenwertschreibung dieselben Rechenregeln für die Rechnungsarten der Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

Bevor wir zum letzten Ergebnis unserer Untersuchung der Ziffernsysteme vordringen, soll noch erwähnt sein, daß der Algorithmus, die wahre Kabbala, nicht nur Voraussetzung eines mühelosen schriftlichen Rechnens ist. Das indische Stellenwertsystem ist sogar die Voraussetzung für die Möglichkeit der allbekannten zauherkräfligen mechanischen Rechenmaschinen, die in ihrer verbreitetsten Form als Registrierkassen in Geschäften und als Taxameteruhren in Autodroschken zu sehen sind. Die eigentlichen Rechenmaschinen, wie sie in Banken, Buchhaltungen, technischen Büros usw. verwendet werden, basieren auf zahlentheoretischen Überlegungen. Und es ist durchaus kein Zufall, daß es gerade der große Leibniz, der Bahnbrecher und Durchdringer der wahren Kabbala, war, der im Jahre 1674 in Paris die erste Rechenmaschine konstruierte, die schon alle Grundbestandteile und Prinzipien der heutigen Wunderwerke (TIM, Mercedes-Euklid usw.) enthielt.

Wir wollen aber außer dem Begriff des Selbsttätigen eines richtig und zweckvoll erfundenen Algorithmus, dessen Wert nun jeder von uns voll begreifen wird, als Ergebnis unserer Mühen noch andere Grundbegriffe der Mathematik gewinnen und festhalten, die besonders in den höheren Gebieten unserer Kunst von ungeheuerer Bedeutung sind: die Begriffe der Allgemeinheit, der Gestaltgleichheit und der Formbeharrung. Da wir aber keine Philosophie der Mathematik treiben wollen, werden wir auch diese sehr theoretischen Begriffe bildhaft aus unseren bisherigen Untersuchungen ableiten.

Wir gingen vom Zehnersystem aus, hielten es zuerst für gottgegeben, sahen aber schließlich, daß es nur ein zufälliges System unter unzähligen möglichen Systemen war. Dadurch fanden wir gleichsam die allgemeine Form eines Ziffernsystems init Stellenwertschreibung. Wir stellten für dieses System, das irgendeine beliebige Zahl als Grundzahl haben kann, allgemeine Regeln auf, die nicht mehr an einen speziellen Fall gebunden sind, sondern für alle Systeme gelten, also allgemein sind. Die Systeme müssen sonach gestaltgleich sein. Gestaltgleichheit heißt in der gelehrten Sprache „Isomorphismus“. Und die Formbeharrung oder die „Invarianz“ bedeutet, daß bei gewisser Gestaltgleichheit sich eine Reihe von Regeln nicht ändert, obwohl die konkrete Erscheinungsform verschieden sein kann. Das Zehnersystem, das Sechsersystem. das Dreizehnersystem und alle unzähligen anderen Stellenwertsysteme sind gestaltgleich. Daher sind z. B. die Regeln der Multiplikation für alle Systeme dieselben. Die Stellenwertsysteme zeigen Fornibeharrung gegenüber der Multiplikation oder sind gegen die Multiplikation invariant, gleichsam unempfindlich. Es ist der Multiplikation gleichgültig, in welchem System sie erfolgt. Sic geht stets denselben Weg und führt stets zum gleichen Ergebnis. So könnte man jede Rechenmaschine, ohne ihr Prinzip zu ändern, durch Auswechslung weniger Teile sofort auf ein Sechser- oder Dreizehnersystem umstellen. Sic würde dann gehorsam das Ergebnis, im anderen System geschrieben, liefern.

Wir wollen aber unsere Betrachtungen nicht zu weit treiben. Denn wir verletzen sonst die Genauigkeit, da unsere eigentlichen Kenntnisse der Mathematik, materiell betrachtet, die eines Elementarschülers von neun Jahren noch kaum übersteigen.

Außerdem sind uns plötzlich Zweifel gekommen. Wir haben uns der Dyadik, des Zweiersystems des großen Leibniz erinnert und dabei entdeckt, daß das ganze Einmaleins dieses Systems, das ja nur die 0 und die 1 als Ziffern kennt, aus einem einzigen Ansatz, nämlich 1•1=1 besteht. Für Schüler ist ein solches Einmaleins sicherlich verlockend. Wir aber sind sehr verwirrt. Denn wir haben behauptet, man könne in jedem beliebigen System nach denselben Regeln rechnen. Wie soll ich aber multiplizieren, wenn ich nur weiß, daß 1 mal 1 gleich 1 ist?

Noch eine zweite Frage quält uns. Wir wollten mit unseren bisherigen Kenntnissen selbständig versuchen, zu berechnen, wieviel zweiziffrige, dreiziffrige, vierziffrige, zehnziffrige Zahlen es in einem System irgendeiner beliebigen Grundzahl gibt; und sind dabei auf allerlei Hindernisse gestoßen.

Wir werden uns also notgedrungen noch weiter mit Ziffern und ganzen Zahlen beschäftigen müssen, bevor wir endgültig der „Zahlentheorie“ den Rücken kehren und uns der sogenannten Algebra, dem Rechnen mit allgemeinen Zahlen, zuwenden können; wo uns erst der wahre Formenzauber, die ganz große Kabbala der Mathematik erschauern lassen wird.

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