Nach unserem Rundblick vom unheimlichen Zahlenberg steigen wir in eines der Täler nieder und betreten damit ein neues Zauberland der Größen und Formen. Wir greifen beherzt eine der vielen Fragen auf, die im? stets zunehmend zu quälen begannen. Ist es nicht mehr als unerklärlich, so fragen wir uns, da Li wir in jedem Zahlensystem imstande waren, aus einer sehr beschränkten Anzahl von Ziffernzeichen nach und nach die ganze Welt der natürlichen Zahlen bis hinauf zum Unendlichen aufzubauen? Und nun hat uns der große Leibniz sogar zugemutet, an diese Möglichkeit auch dann zu glauben, wenn wir gar nur die Null und die Eins besitzen?
Wir wandeln von jetzt an fast ausschließlich in unserem uns seit Kindheit vertrauten indisch-dekadischen Zahlental. Das wollen wir vorweg feststellen. Um uns aber weiter zurechtzufinden, will ich schon am Beginn unseres Weges auf irgendeine Tafel das magische Zeichen 3! schreiben. Was soll diese Ziffer mit dem Rufzeichen bedeuten? Fast wie ein harter Befehl sieht das aus. Aber was wird uns befohlen? Was soll ich mit einer einzelnen Ziffer weiter anlangen? Soll ich sie zerspalten, verändern, vergrößern, verkleinern? Bin ich im Negerland, wo ein Wilder mit herrischer Geste einen bösen unartikulierten Laut ausstößt?
Etwas Geduld! antworte ich. Ich wollt« mit meinem Zauberzeichen zweierlei. Nämlich zuerst unseren Einblick in die innerste Eigenart mathematischer Formgebung vertiefen; weiter aber den Zauberschlüssel zur Bewältigung all unserer beängstigenden Probleme gleich am Anfang bereitstellen. Natürlich kann der Befehl nicht bloß 3!, sondern ebensogut 1! 5! 25! 273! 102077! oder irgendwie anders lauten.
Bevor wir aber auf diesen besonderen Befehl, der durch das Rufzeichen gekennzeichnet ist, näher eingehen, wollen wir uns ganz allgemein die Arten und Zwecke der mathematischen Befehle ansehen. Wir haben nämlich, ohne es zu bemerken, bisher schon eine ganze Reihe mathematischer Befehle gehorsam befolgt, da wir an diesen Gehorsam schon von der Elementarschule her gewöhnt waren. Wir haben festgestellt, daß die einzelnen Ziffern und die aus den Ziffern zusammengesetzten Zahlen Sinnbilder oder Zeichen oder, wie man auch sagen kann, Symbole für gewisse Mehrheitsbegriffe sind. Wir haben weiter von einem System und von einem kunstvollen Rechen verfahren, dem Algorithmus, gesprochen. Innerhalb dieser Welt liegt aber noch etwas anderes: Eben die Befehle! Und erst die Aufzeichnung und die allgemeine Verständlichkeit solcher Befehle setzt uns in den Stand, die Einzelziffer zum System und zum Algorithmus zu erweitern. Wenn man Rechnungsarten Operationen nennt, könnte man von Operationsbcfehlen und deren schriftlicher Aufzeichnung, den Operationssymbolen, sprechen. Kurz ausgedrückt kann ein Befehl auch „Operator“ heißen. Doch wir wollen im folgenden unser einfaches Wort „Befehl“ gebrauchen, womit natürlich stets ein mathematischer Befehl, eine Aufforderung zu einer mathematischen Handlung gemeint ist.
Wie es den Rekruten im Kasernenhof oder auf dem Übungsplatz zuerst äußerst schwierig ist, auf ein kurzes Kommando eine Reihe verwickelter Gewehrgriffe oder durchaus nicht einfacher Marsch- oder Paradeformationen richtig und genau durchzuführen, so ist es die grüßte Schwierigkeit für uns Rekruten der Mathematik, den „Befehl“ zu verstehen und präzise zu befolgen. In dieser „mathematischen Disziplin“ aber besteht neun Zehntel der mathematischen Fertigkeit.
Wie es unser Vorsatz ist, wollen wir mit dem Einfachsten beginnen. Wir wollen die ersten Einzelschritte und Salutierübungen der Mathematik auf Befehl ausführen.
Man wird über solche Formulierungen vielleicht überrascht sein und mein unentwegter Widersacher wird mich neuerlich überflüssigen Wortreichtums bezichtigen. Ich kann ihm aber nicht helfen. Denn ich habe die Absicht, den Integralbegriff ebenso deutlich zu machen wie das Additionszeichen. Und dieses Vorhaben ist ohne große anderweitige Voraussetzungen in keiner anderen Art als der meinen durchführbar. Übrigens haben wir ja schon von den „Befehlen“ gesprochen. Das Pluszeichen ist ein Befehl. Das Integralzeichen ist auch ein Befehl. Ein bißchen komplizierter als das Pluszeichen, aber im Wesen nichts anderes.
Mein Widersacher hält sich die Ohren zu. Er argwöhnt, ich wolle schon jetzt das Integral behandeln. Ich will aber nur Mut machen. Und außerdem vorläufig die Addition nicht wesentlich überschreiten; soweit es nämlich die prinzipiellen Schwierigkeiten betrifft.
Wir stellen also fest, daß die Addition ein Befehl ist. 5+4=9. Was heißt das? Das heißt: „Mein lieber Freund, nimm fünf Einheiten und zähle vier weitere Einheiten hinzu!“ Kleine Pause für die Durchführung. Was dann? Nun, dann setzt man ein Symbol, das sogenannte Gleichheitszeichen, hinzu, was nichts anderes bedeutet als: „Melde gehorsamst, ich habe den Befehl befolgt.“ „Nun, und?“ fragt der Befehlende. Darauf die Antworl: „Nach Ausführung des Befehles erscheint rechts ein neues Sinnbild, genannt die Neun.“ „Es ist gut, abtreten!“
Da meine militaristische Darstellungsart zartbesaitete Gemüter irritieren könnte, wollen wir jetzt den Kasernenhof verlassen und abstrakler reden. Auch die Subtraktion ist solch ein Befehl, auch die Multiplikation und die Division. Und jeder von uns weiß schon, daß ein mathematischer Befehl sehr verwickelte Durchführungsvoraussetzungen haben kann. Etwa die Division mehrstelliger Zahlen im Dreizehnersystem. Auch die Tatsache, daß in einem bestimmten Ziffernsystem gerechnet werden soll, ist ein mathematischer Befehl. Natürlich auch die Potenzierung.
Wir verfügen für unseren Begriff des mathematischen Befehls also schon über ein recht großes Anschauungs- oder Beispielmaterial, wenn man so sagen darf. Und deshalb wollen wir wieder zum Ausgangspunkt zurückkehren, zu dem Zeichen, das uns gleichsam rein äußerlich durch das Rufzeichen als Befehl erschien. Was also heißt 3! in der Kommandosprache der Mathematik? Vorgebildete werden antworten, es handle sich mn die „Fakultät“ von drei, oder (was nicht ganz richtig ist) um drei „Faktorielle“. Gut, wir wollen Fachausdrücke nicht ignorieren. Es ist wirklich die „Fakultät“ von drei. Aber wir wollen gleichwohl in unserer Kasernenhof- oder Kochbuchsprache den Befehl, der in dein Rufzeichen und nur in diesem Rufzeichen liegt, verdeutlichen. Er lautet allgemein: „Man nehme die Eins, multipliziere sie mit zwei, multipliziere das Erhaltene mit drei, multipliziere jetzt mit vier, alles dies mit fünf und so fort, bis der letzte Multiplikator, die letzte Vervielfachungszahl, dieselbe Zahl ist wie die, neben der das Rufzeichen steht.“ Steht also das Rufzeichen bei der Eins, dann hat man nichts weiter zu tun. Etwa wie bei einer Zahl, die zur ersten Potenz erhoben wird. Wir wollen aber jetzt nicht weiter erläutern, sondern ganz unbefangen die mysteriösen „Fakultäten“ einer Reihe von Zahlen berechnen.
Wie man sieht, führt unser Befehl, das Rufzeichen, bald zu ungeheuren Konsequenzen. Harmlos, fast heimtückisch, beginnt die Reihe der Ergebnisse und steigt plötzlich stets zunehmend zu Zahlen an, die bald jede Vorstellungsgrenze überschreiten. Eine Fakultät von 100 etwa ist schon ein Zahlenungeheuer gigantischer Größe. Und zwar eine 158ziffrige Zahl.
Wir wollen auf Feinheiten nicht allzu genau eingehen, sehen aber schon rein optisch, daß die Reihe der „Fakultäten“ eine gewisse Ähnlichkeit mit Potenzen hat. Der Unterschied bestellt darin, daß bei der Potenz stets dieselbe Zahl als Multiplikator erscheint, während bei der Fakultät der Multiplikator schrittweise wächst. An dieser Stelle wollen wir zum Vergleich eine möglichst niedere Zahl potenzieren und an das altberühmte Beispiel vom Schachbrett erinnern. Sehr abgekürzt lautet die Fabel folgendermaßen: Der indische König Shchram stellt es Sessa Ebn Daher, dem Erfinder des Schachspieles, frei, sich etwas Beliebiges zu wünschen. Dieser macht ein harmloses Gesicht und sagt: „Großer König, mein Wunsch ist äußerst unbescheiden. Ich will in Weizenkörnern belohnt sein. Soviel Weizenkörner mögen mir zukommen, als sich auf dem letzten Felde ergeben, wenn man auf das erste Feld deines Schachbretts ein Korn und auf jedes folgende Feld die doppelte Zahl des Vorhergehenden legt.“ Der König lacht schallend und sichert die Gewährung zu. Er isL überzeugt, daß sich der verrückte Erfinder nicht einmal ein ganzes Brot aus den Weizenkörnern backen kann. Er erwacht allerdings sehr bald recht unsanft aus seiner Illusion. Denn die Zahl der Weizenkörner beträgt
1 × 2 = 2,
2 × 2 = 4,
4 × 2 = 8,
8 × 2 = 16,
16 × 2 = 32,
32 × 2 = 64,
64 × 2 = 128,
128 × 2 = 256
oder (1•2•2•2•2•2...) und so weiter bis zum letzten Feld des Schachbrettes. Da das Schachbrett 64 Felder hat, ist die Körnerzahl 263, weil ja auf dem ersten Feld nur ein Korn liegt. Das ist aber die Zahl
9.223.372.036.854.775.808.
Was diese Zahl bedeutet, soll dadurch verdeutlicht werden, daß die Weizenmenge „auf dein letzten Felde des Schachbretts“ einen Würfel von 7,48 Kilometer Seitenlänge füllen würde, wenn man den durchschnittlichen Raumbedarf eines Weizenkornes mit 45,45 Kubikmillimeter annimmt. In diesem, einer tatsächlichen Zählung entnommenem Falle besteht ein Liter Weizen aus 22.000 Körnern.
Unser König läßt sich aber außerdem die Weizenmenge in Kamclladungen umrechnen. Dadurch wird das Bild noch erschreckender. Denn wenn man, in unserem Maßsystem ausgedrückt, jedem Kamel 140 kg Weizen auflädt und annimmt, ein Kamel benötige im „Gänsemarsch“ fünf Meter Platz, dann wird die Kainelkarawane, die unseren Weizen transportiert, bei einer Beteiligung von 2.303.539.469.744 Kamelen nicht weniger als 11.517.697.348.720 Meter, also über 11½ Milliarden Kilometer lang. Diese Karawanenlänge bedeutet aber etwa die 8fache Entfernung des Saturn oder die 50fache Entfernung des Mars von der Sonne.
Noch eine dritte Verdeutlichung: Die Weltweizenernte betrug im Durchschnitt, der Jahre 1927 bis 1931 etwa 1236 Millionen Meterzentner jährlich, das heißt unser armer König hätte dem Erfinder ca. 2609 Weltweizenernten des zwanzigsten Jahrhunderts, die mit Traktoren und Kunstdünger erzielt wurden, zur Verfügung stellen müssen, um sein Versprechen einzulösen.
Unsere Körneranzahl ergab sich als 19stellige Zahl. Der Leser wird jetzt ein wenig ahnen, was etwa die 158stellige Zahl der ausgerechneten 100-Fakultät bedeutet.
