Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 071c

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Mathematik von A bis Z (Teil 8)

8

Achtes Kapitel

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Variation

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Im Zuge unserer kombinatorischen Durchforschung der Kombinatorik haben wir bisher zuerst den Fall untersucht, daß jedesmal alle Elemente verwendet werden müssen. Sie werden also bloß ausgewechselt, umgestellt, in andere Reihenfolge gebracht. Das war die Permutation. Dabei gab es noch den Unterfall, daß jedes der Elemente auch mehrfach oder wiederholt vorkommen dürfe. Natürlich höchstens bis zur Anzahl der Gesamtmenge der Elemente. Als zweite Möglichkeit betrachteten wir die Kombination im engeren Sinne, bei der nur ein gewisser Teil der Elemente in sogenannten Kombinationsgruppen oder Klassen verwendet werden durfte, wobei noch festgesetzt war, daß eine Gruppe nur dann als von einer anderen verschieden galt, wenn sie eine andere Mischung der Elemente enthielt, wenn sie anders zusammengesetzt war. Auch hier befaßten wir uns mit dem Unterfall der Wiederholung einzelner Elemente, und zwar der sogenannten unbeschränkten Wiederholung, was soviel bedeutete, wie die Möglichkeit, die Gruppen höchstens durchwegs aus ein und demselben Element in klassenhoher Wiederholung zusammenzustellen. Es bleibt also eigentlich bei unserer „Kombination der Kombinatorik“, die selbst ein Kombinationsfall im engeren Sinne ist, nur mehr eines übrig, nämlich eine beschränkte, auf Gruppen oder Klassen abgestellte Verwendung von Elementen, wobei jedoch nicht nur die Mischung, die Zusammensetzung innerhalb der Klasse, sondern auch die Reihenfolge innerhalb der Klasse als Unterscheidungsmerkmal einer Gruppe von der anderen in Bei rächt kommt. Hätten wir etwa die Elemente a b c d e f, so wäre jetzt eine Ambe nicht nur ab oder de, von deren Mischungsart es keine andere mehr gäbe, sondern es wären jetzt auch die Amben ba und cd möglich. Es handelt sich also gleichsam um eine permutierte Kombination oder — wie diese Art der Kombinatorik heißt — um die Variation: um die allgemeinste Art der Kombinierungskunst.

Unsere schon mehrfach zu Rechnungszwecken mißbrauchte Familie hätte etwa beschlossen, jede Woche fünf ihrer Kinder in eine Theaterloge zu schicken. An sich wäre das, wie die Tarockpartien, eine Kombination im engeren Sinne der Elementenanzahl zwölf und der Klassengröße fünf. Nun behaupten aber die Kinder, daß man von jedem Platz der Loge aus einen anderen Bühneneindruck hat. Und daß die Gerechtigkeit erst dann erfüllt sei, wenn jedes Kind innerhalb seiner Gruppe auf jedem Platz gesessen ist. Also Tarockpartie verbunden mit Sitzordnung, um in früheren Bildern zu sprechen.

Wir sind, denke ich, mathematisch bereits gelenkig genug, unsere „Variation“ rasch zu erledigen. Wir können uns den Variationsbefehl in zwei Etappen zerlegen: Zuerst kombinieren, dann innerhalb der Kombinationsgruppe permutieren 1 Das heißt aber mathematisch nichts anderes als den Kombinationsbefehl mit dem Permutationsbefehl durch Multiplikation verbinden. Also in unserem Beispiel $\textstyle {\binom {12}{5}}$ mal 5! oder $\textstyle {\frac {12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}\times 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$ oder, da sich die Fünf-Fakultät des Bruchnenners mit der Fünf-Fakultät der Permutation kürzt, einfach 12•11•10•9•8=95.040. Unsere guten Geschwister würden also über 1821 Jahre brauchen, um ihren Theaterplan durchzuführen. Etwas weniger zeitraubend als die Tischordnung, aber immerhin selbst für geduldige Menschen eine gewisse Zumutung.

Wir hätten aber zur Variation auch direkt kommen können, wenn wir so vorgegangen wären, wie bei der ersten Aufstellung des Arbeitsbefehls für die Kombination im engeren Sinne. Dort machten wir die schon erhaltene Variation durch eine Division durch die Klassen-Fakultät wieder geradezu rückgängig. Ich kann, um schon Gesagtes kurz zu wiederholen, folgendermaßen kalkulieren: Zwölf Elemente sind vorhanden. Zuerst die Unionen. Also Einsergruppen. Davon gibt es natürlich nur 12. Will ich daraus Amben (Zweiergruppen) bilden, dann muß ich jede Union mit den übrigen 12-1=11 anderen Elementen verbinden. Ambenzahl ist also 12•11=132 bei zwölf Elementen. Um Ternen zu gewinnen, halte ich jede Ambe mit den nunmehr restierenden 12-2=10 anderen Elementen zu koppeln. Ternenzahl also 12•11•10=1320 usw. Ich habe also, begonnen von der Elementenanzahl, um ie eins bei jedem Faktor absteigend, solange zu multiplizieren, bis die Zahl der Faktoren so groß ist wie die Klassengröße. Es ist nicht üblich, man könnte aber für diese „Anti-Fakultät“

(Die „Anti-Fakultät“ ist ebenso wie die Fakultät, ein Spezialfall eines umfassenderen Arbeitsbefehls, der „Faktoriellen“.)

auch einen eigenen Befehl, etwa $12+_{5}$ einführen, was soviel hieße wie 12•11•10•9•8. Durch diese Neuerung hätte die Variation ihren eigenen Arbeitsbefehl, was sie auch, rein äußerlich, sofort kenntlich machen würde. Weiters würde sich der Kombinationsbefehl, etwa $\textstyle {\binom {10}{3}}$ in der neuen Art geschrieben $\textstyle {\binom {10+_{3}}{3!}}$, sogleich selbsttätig als gleichsam entpermutationisierte Variation darstellen.

Doch das nur nebenbei. Wir sind jetzt noch eine Möglichkeit schuldig, nämlich die Variation mit unbeschränkter Wiederholung einzelner Elemente innerhalb der Variationsgruppen. Wir machen einen Augenblick Halt. Denn wir sind, ohne es recht bemerkt zu haben, plötzlich an einem Markstein unserer Untersuchung angelangt. Auf einem Gipfel, der, noch weit höher als der Zahlenberg, es uns ermöglicht, riesige Zusammenhänge zu überblicken. Was heißt Variation mit unbeschränkter Wiederholung aus so und so viel Elementen? Vorläufig heißt es für uns nichts anderes, als daß wir Amben, Ternen, Quaternen bilden sollen und innerhalb dieser Gruppen nicht nur permutieren, sondern auch ein und dasselbe Element beliebig oft anschreiben dürfen. So ergeben etwa Ternen aus den Elementen 1, 2, 3, 4, 5, 6, variiert mit Wiederholung, Formen wie 111, 123, 321, 211, 335, 616, 422 usw. Blicken wir ein wenig näher und schärfer hin, dann erschauern wir unvermittelt. Das sieht ja fast wie die Bildung aller Zahlen aus!? Es sieht nicht bloß so aus. Es ist das Grundgesetz der Bildung von Zahlen. Wir nehmen nur noch die Null hinzu, ergänzen die Elementenzahl auf zehn, geben den Variationsbefehl mit Wiederholung: und wir haben die ganze Dekadik vor uns ausgebreitet liegen. Mit einer einzigen Einschränkung: Nullen dürfen nicht vor anderen Ziffern stehen. Doch das werden wir später erörtern. Wir sagen jetzt, daß die Unionen die einziffrigen, die Amben die zweiziffrigen, die Ternen die dreiziffrigen Zahlen sind usw. Da wir aber nicht wissen, wie man die Anzahl der Variationen so und sovielter Klasse mit Wiederholung berechnet, müssen wir uns noch einige Augenblicke Disziplin auferlegen. Wir wollen also die Dekadik verlassen und ganz kühl untersuchen, wie viele solcher Variationen mit Wiederholung wir jeweils aus abcde, also aus 5 Elementen bilden können. Ich beginne wieder mit den Unionen, den Einsergruppen. Da ich aber hier unbeschränkt wiederholen darf, benütze ich nicht die „Anti-Fakultät“, sondern verbinde zur Ambenbildung jede der Unionen mit jedem Element.

Also aa, ab, ac, ad, ae, ba, bb, bc, bd, be, ca, cb, cc, cd, ce, da, db, de, dd, de, ea, eb, ec, ed, ee.

Ich erhalte also 5×5=25 Amben. Zur Ternenbildung verbinde ich jetzt jede Ambe mit jedem Element, wodurch ich 5×5×5=125 Ternen erhalte. Quaternenzahl ist 5×5×5×5=625 usw. Ich habe hier also weder Fakultäten, noch Binomial-Koeffizienten, noch Anti-Fakultäten vor mir, sondern einfach Potenzen. Dabei ist die Basis (wie man die zu potenzierende Zahl nennt) die Elementenanzahl, Potenzanzeiger die Klassengröße. In unserem Fall, wo aus fünf Elementen Variationen mit Wiederholung zu bilden waren, ist

die Unionenzahl = 5¹ = 5

die Ambenzahl = 5² = 25

die Ternenzahl = 5³ =125

die Quaternenzahl = 5⁴ = 625

usf.

Nun wollen wir wieder zu unseren Zahlensystemen zurückkehren. Wir behaupten, daß alle Stellenwertsysteme nichts anderes sind als wohlgeordnete Variationssysteme mit unbeschränkter Wiederholung, wobei, wie schon erwähnt, als Nebenbedingung die Null nie vor einer Zahl erscheinen darf.

Wir wollen also jetzt zuerst einmal das Zehnersystem durch Variationsgruppen aufbauen. Es sei eingeschaltet, daß wir im folgenden der Einfachheit halber unter „Variation“ nicht die Variation schlechthin, sondorn die „Variation init unbeschränkter Wiederholung“ verstehen werden. Nach dieser Festsetzung, die wir aber bloß bei der Erörterung der Ziffernsysteme gelten lassen, beginnen wir unsere Aufgabe.

Daß die ersten zehn einziffrigen Zahlen die Unionen unseres Variationssystems sind, ist klar. Nach der Formel gibt es 10¹, also wirklich zehn solcher Unionen oder Einsergruppen. Denn die Elementenzahl ist liier und für die ganze Dekadik 10 und die Klassengröße für Unionen 1. Bei den Amben müssen wir schon vorsichtiger sein. Nach der Formel können aus unseren zehn Ziffernzeichen 10², also 100 Amben gebildet werden. Nun weiß aber jeder, daß es bloß 90 zweiziffrige Zahlen, nämlich 10 bis 99 gibt. Ist also das dekadische System doch kein vollständiges Variationssystem? Existieren am Ende Zahlen, die wir in unserer Dekadik übersehen haben? Jedenfalls ein höchst unheimlicher Gedanke. Wir antworten: Ja, es existieren solche Zahlen. Nur stellen sie sich als sehr harmlos heraus. Es sind nämlich die zehn Amben, die mit der Null beginnen. Also 00 bis 09, was rein größenmäßig nichts anderes bedeutet als die zehn einziffrigen Zahlen inklusive der Null und nur kombinatorisch einen Sinn hat, da ja in der Kombinatorik nur das Dingsein jedes Elementes und nicht seine Größenbedeutung beachtet wird. In der Kombinatorik ist daher die Ziffer, wie stets wieder betont wird, ein wertfremder Anzeiger, ein Index, eine Unterscheidungsnummer, nie aber eine Größenbezeichnung oder ein Mengensymbol! Ternen, um weiterzubauen, müßte es 10³=1000 geben. Wieder existieren in Wirklichkeit weniger Ternenzahlen, dreiziffrige Zahlen. Nämlich 900, also die Zahlen von 100 bis 999 einschließlich. Und wieder stellt es sich heraus, daß sich das Rätsel sofort löst, wenn ich die aus Nullen bestehenden oder mit Nullen beginnenden Ternen abziehe, nämlich die Gruppen 000 bis 099. Dazwischen liegen Formen wie 003 und 054, also alle einziffrigen und zweiziffrigen Zahlen. 10³ weniger der Anzahl einziffriger und zweiziffriger Zahlen, also 1000 weniger 90 weniger 10 ist aber 900, was wir eben erhalten wollten. In gleicher Art geht es weiter. 10⁴ ist gleich 10.000. Vierziffrige Zahlen aber gibt es bloß 9000. Wieder handelt es sich um Subtraktion der Quaternen von 0000 bis 0999. Also um sämtliche einziffrige, zweiziffrige und dreiziffrige Zahlen. Und 10.000 weniger 900 weniger 90 weniger 10 ist die richtige Anzahl der vierziffrigen Zahlen, nämlich 9000.

Durch eine kleine Überlegung aber können wir uns die Formel noch vereinfachen. Wenn wir nämlich nach unseren obigen Aufstellungen bedenken, daß sich die Anzahl der zweiziffrigen Zahlen darstellt als

10² - 10¹ = 100 - 10 = 90,

die der dreiziffrigen als

10³ - (10² - 10¹) - 10¹ =

10³ - 10² + 10¹ - 10¹ =

10³ - 10² = 900,

die der vierziffrigen als

10⁴-[10³-(10²-10¹)-10¹]-(10²-10¹)-10¹=

l0⁴-[10³-10²+10¹-10¹]-10²+10¹-10¹=

10⁴-[10³-10²]-10²=

10⁴-10³+10²-10²=

10⁴-10³= 9000,

die der fünfziffrigen als

10⁵-{10⁴-[10³-(10²-10¹)-10¹]-(10²-10¹1)-10¹}-[10³-(10²-10¹)-10¹]-(10²-10¹)-10¹=

10⁵-{10⁴-[10³-10²+10¹-10¹]-10²+10¹-10¹}-[10³-10²+10¹-10¹]-10²+10¹-10¹=

10⁵-{10⁴-10³+10²-10²}-10³+10²-10²=

10⁵-10⁴+10³-10²+10²-10³+10²-10²=

10⁵-10⁴=

100.000-10.000=90.000, usw.,

so sehen wir, daß wir, um die Anzahl der Zahlen der so und so viellen Gruppe oder Ziffernzahl zu erhalten, bloß die nächstniedere Potenz abzuziehen brauchen. Also etwa die Anzahl aller siebenstelligen Zahlen des Zehnersystems ist zu gewinnen durch die Formel

10⁷-10⁶= 10.000.000-1.000.000=9.000.000, nämlich von 1.000.000 wohlgeordnet als Variationssystem bis 9.999.999. Auf einfacherem Wege wären wir zu unserem Ergebnis dadurch gelangt, daß wir alle Zahlen bis etwa 1000 von vornherein als Ternen aufgefaßt hätten. Und uns gefragt hätten, bei welchen Ternen die Gruppen beginnen, die Eins an die Spitze zu stellen. Dies wird ab 100 der Fall sein, da diese Terne innerhalb der Wohlordnung die niederste ist, die mit der Eins beginnt. Da ich nun weiter Ternen mit einer oder mehreren Nullen an der Spitze nicht brauchen will, so habe ich von 10³ die Ternen von 000 bis 099, also offensichtlich 10² oder 100 Ternen abzuziehen. Sie stellen vom Standpunkt des Zahlenwertes alle ein- und zweiziffrigen Zahlen einschließlich der Null dar. Es gibt aber noch eine dritte Art zu kalkulieren. Ohne jede Heranziehung der Kombinatorik, rein aus dem Ziffernsystem heraus. Ich kann nämlich sagen: 10³=1000 ist die erste vierziffrige Zahl des Systems, da unter ihr 999 liegt. Die höchste zweiziffrige Zahl ist augenscheinlich 99, da nach ihr die 100 als erste dreiziffrige Zahl folgt. Also ist die Anzahl der dreiziffrigen Zahlen 999-99= 900.

Nun meldet sich mein Widersacher zum Wort, der schon die ganze Zeit mißtrauisch zugeschen hat. „Eben wollte ich auf diese Art der Bestimmung der Anzahl beliebigziffriger Zahlen aufmerksam machen“, sagt er hämisch. „Es wurden mit deiner Variation Berge gewälzt und zum Schluß ein Mäuslein geboren. Du hast nämlich, von schlechtem Gewissen gepeinigt, zuletzt selbst schamhaft eingestanden, daß das Problem leichter ohne Kombinatorik zu lösen ist. Du bist eben dem berühmten Grundsatz treu geblieben: Warum einfach, wenn es auch kompliziert zu erreichen ist?“

Nun, lieber Widersacher, es ist eben doch nicht so einfach. Ich wollte ja doch einiges auf meinem Umweg vermitteln. Es war eine Serpentinenstraße der Erkenntnis. Denn wir haben nicht weniger geleistet als die Bewahrheitung des Ziffernsystems durch die Kombinatorik und die Bewahrheitung der Kombinatorik am Ziffernsystem. Unsere Dekadik hat sich weiter dabei als lückenloses Variationssystem mit unbeschränkter Wiederholung erwiesen. Der AlgoriLhmus der Dekadik und der AlgoriLhmus der Kombinatorik spielen wie zwei feinberechnete Zahnräderwerke ohne jeden „toten Gang“ ineinander. Die großen Zusammenhänge unter den „von Gott geschaffenen ganzen Zahlen“ werden immer klarer. Wir verstehen die Bedeutung und den Unterschied der Zahl als Größe und der Zahl als Index, als Ordnungsnummer. Und wir wollen jetzt noch einen Schritt weitergehen, wieder einen Schritt höchster Verallgemeinerung. Wir verlassen das Zehnersystem. Und fragen, wieviel zweiziffrige Zahlen es im Sechsersystem gibt. Und dabei vertrauen wir uns ruhig dem Algorithmus der Kombinatorik an. Basis ist die Elementenzahl. Potenzanzeiger die Klassengröße. Also gibt es 6²-6¹=30 zweiziffrige Zahlen im Sechsersystem. Schreiben wir sie an: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, worauf die 100 folgen müßte.

Unsere Voraussage stimmt also. Und es stimmt ebenso, daß es im Dreizehnersystem 13⁴-13³= 26.364 vierziffrige Zahlen gibt.

Diese neue Zauberformel macht uns auf die Dyadik, das Zweiersystem Leibnizens, neugierig. Wie sieht es dort aus? Wir wollen nun untersuchen, wie viele ein-, zwei- usw. bis sechsziffrige Zahlen in diesem unheimlichen System, das nur die 0 und die 1 als Ziffern verwendet, vorkommen.

Einziffrige Zahlen: 2 (ohne die Null 1)

Zweiziffrige Zahlen: 2² - 2¹ = 4 - 2 = 2

Dreiziffrige Zahlen: 2³ - 2² = 8 - 4 = 4

Vierziffrige Zahlen: 2⁴ - 2³ = 16 - 8 = 8

Fünfziffrige Zahlen: 2⁵ - 2⁴ = 32 - 16 = 16

Sechsziffrige Zahlen: 2⁶ - 2⁵ = 64 - 32 = 32 usf.

Wie man erkennt, gibt es noch eine vierte Regel, die Zahlen bestimmter Ziffernanzahl zu berechnen. Man nimmt nämlich die Anzahl der Einziffrigen ohne die Null und multipliziert sie fortlaufend mit der Grundzahl des Systems. Also hier 1×2=2 (Zweiziffrige), 2×2=4 (Dreiziffrige), 4×2=8 (Vierziffrige) usw. Im Zehnersystem: 9 (Einziffrige) mal 10 gibt 90 Zweiziffrige. 90×10 gibt 900 Dreiziffrige usw. Im Sechsersystem: 5 Einziffrige mal 6=30 Zweiziffrige. 30 Zweiziffrige mal 6=180 Dreiziffrige usf. Das soll aber nur angedeutet werden, obgleich es auch in kombinatorische Tiefen führen würde.

Wir wollen jetzt endlich unsere Dyadik erledigen. Zuerst schreiben wir unsere Zahlen an.

Zehnersystem: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

Zweiersystem: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001,

Zehnersystem: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

Zweiersystem: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000

In eine Reihe aufgelöst, bedeutet etwa 1100 des Zweiersystems:

1100 (Zweiersystem) =

0•2⁰ + 0•2¹ + l•2² + l•2³ =

0 + 0 + 4 + 8 = 12 (Zehnersyst.).

Das also wäre in Ordnung. Als letzten Versuch wagen wir eine Rechnungsoperation im Zweiersystem, etwa eine Multiplikation. Dabei sind wir von vornherein verstört, da wir als ganzes Einmaleins nichts anderes besitzen als tatsächlich nur l×1=1, also gleichsam das „allerkleinste Einmaleins“. Wie sollen wir da multiplizieren? Wir sehen mit Schrecken voraus, daß wir uns bisher fruchtlos gemüht haben und daß jetzt unser gerühmter Algorithmus in Trümmer fliegen muß. Aber wir sind schon verantwortungsbewußte mathematische Forscher und beißen die Zähne aufeinander. Ohne zu wissen, was es bedeutet, schreiben wir zwei Mischungen aus Nullen und Einsern hin und multiplizieren drauf los: Mit unserem ,,allerkleinsten Einmaleins“. Daß dabei 1×0=0, ist selbstverständlich. Denn die Nullmultiplikation ist für alle Systeme „invariant“, unveränderlich. Nichts mal irgend etwas ist überall nichts. Daß aber Zahlen des Zweiersystems nur die Eins und die Null enthalten dürfen, ist Voraussetzung. Wenn also unser Algorithmus ebenfalls „invariant“ gegen alle Systeme ist, was wir schon mehrmals behaupteten, dann muß die Multiplikation gelingen. Also los:

  101101011 × 110
  101101011 
   101101011 
    000000000 
 ------------
 100010000010 

Zur Probe lösen wir die sonderbaren Zahlen in Reihen auf. Der Multiplikand ist

l•2⁰+l•2¹+0•2²+l•2³+0•2⁴+l•2⁵+l•2⁶+0•2⁷+l•2⁸=

1 + 2 + 0 + 8 + 0 + 32 + 64 + 0 + 256 = 363

Multiplikator ist

0•2⁰+I•2¹+l•2² = 0 + 2 + 4 = 6

Jetzt steigt die Aufregung bis zum Siedepunkt.

Denn 363 × 6, also 2178 soll gleich sein dem Zahlenmonstrum 100010000010, also der Reihe

0•2⁰+1•2¹+0•2²+0•2³+0•2⁴+0•2⁵+0•2⁶+1•2⁷+0•2⁸+

0•2⁹+0•2¹⁰+l•2¹¹ =

0 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 128 + 0 + 0 + 0 + 2048,

was zu unserer staunenden Freude gleich ist 2178.

Unser Algorithmus der Ziffernsysteme, der einfachen vier Rechnungsoperationen und der Kombinatorik hat also trotz peinlicher Prüfung sich überall bewährt und auf allen Linien gesiegt. Nicht einmal die „Dyadik“ mit ihrem „allerkleinsten Einmaleins“ konnte ihn erschüttern. Das Multiplizieren in diesem System war sogar besonders leicht. Nur die Addition verursachte etwas Kopfzerbrechen, da im Zweiersystem 1+1=10, bleibt eins, und 10+1=11, und weiter 11+1=100, bleibt 10 usf. Wenn ich aber meine Zahlenreihe, die wir uns angeschrieben haben, vor mich hinlege, dann ist auch das Addieren ein Kinderspiel. Ich verwende eben da eine Art „Eins plus Eins“ statt des „Einmaleins“, das ich bei diesem einfachsten System gar nicht brauche.

Jeder wird es jetzt verstehen, daß der große Leibniz das Zweiersystem mit der Erschaffung der Welt aus dem Nichts verglich. Bei einem Einsersystem hätte ich nur die Null als Ziffer. Also das pure Nichts. Ich kann in keiner Weise eine Zahl bilden. Nehme ich aber — Symbol für den Schöpfungsakt Gottes — auch nur die Eins hinzu, dann ertönt das „es werde Licht“ durch den Kosmos der Größen und Formen. Die unendliche Vielfalt aller ganzen Zahlen liegt plötzlich vor mir, ich kann sie bilden, anschreiben, hinauf bis zu jeder Größe. Ich kann ihren Algorithmus entdecken, kann rechnen, kombinieren, variieren — kurz, das ganze Reich der Zahl ist mir durch diesen einen Schritt untertänig geworden.

Trotzdem aber dürfen wir uns mit dieser Höhe, auf der wir schon stehen, nicht zufriedengeben. Neue Aufgaben, die an uns herantreten werden, fordern eine größere Allgemeinheit unserer Gedanken, erheischen wieder und wieder neue Algorithmen. Und die Dämonen der Mathematik, die wir zu wecken begannen, werden uns nicht ruhen lassen, bis wir im Besitz immer neuer Zauberzeichen der „wahren Kabbala“ sind, mit denen wir uns, so ahnen wir, einen guten Teil der sichtbaren und der unsichtbaren Welt erschließen und unterjochen können.

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