Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 072c

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Mathematik von A bis Z (Teil 9)

9

Neuntes Kapitel

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Erste Schritte in der Algebra

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Nicht bloß an einer Stelle, sondern vielleicht zehnmal, vielleicht noch öfter, haben wir es bisher beinahe als quälend empfunden, daß wir zu höherer Allgemeinheit nicht aufsteigen durften. Wir hatten uns strenge Bindungen auferlegt. Wir hatten es uns verboten, das Gebiet der natürlichen Zahlen zu verlassen oder zu überschreiten. Gleichwohl begleitete uns der Schatten höherer Algorithmen auf Schritt und Tritt. Und an einer Stelle, wo sich das Ausdrucksbedürfnis nicht mehr zurückdämmen ließ, haben wir in verkappter und tückischer Art das Verbot übertreten. Und zwar in der Form eines besonders strafbaren Deliktes. Wir haben nämlich eine Rechnungsoperation mit dem Anspruch auf allgemeine Gültigkeit nicht in natürlichen Zahlen, sondern (man erschrecke!) in Worten durchgeführt. Wir sagten:

Dividend : Divisor = Quotient

Divisor × Quotient = Dividend.

Wie groß dieser Frevel war, werden wir erst viel später ermessen können. Und wir haben die Untat bei den Binomial-Koeffizienten sogar noch wiederholt, indem wir dort von

(Elementenzahl über Klassen-Größe)

sprachen und den Eulerschen Operationsbefehl der Kombinatorik anstatt mit Ziffern mit Worten versahen. Wir werden aber jetzt nicht bereuen, sondern im Sinne des Goethewortes: „Fehlen kann jedermann, aber wie er des Fehlens Folgen trägt, unterscheidet den reinen vom gemeinen Geiste“ versuchen, unseren Fehler in den Dienst des reinen Geistes zu stellen.

Dazu ist es aber notwendig, unsere anderen Vorsätze peinlich streng zu halten. Und zu diesen Vorsätzen gehört in erster Linie unsere Vereinbarung, alles mit dem Einfachsten und Konkretesten zu beginnen.

Wir hätten die Bodenfläche eines Zimmers auszumessen, um für dieses Zimmer einen Spannteppich zu kaufen. Das Zimmer ist nicht sehr groß. Es hat fünf Meter Länge und vier Meter Breite. Ohne viel zu grübeln, wird jeder behaupten, die Bodenfläche betrage zwanzig Quadratmeter, da man fünf Viererreihen oder vier Fünferreihen von Meterquadraten auf den Boden legen könne und legen müsse, um ihn vollständig zu bedecken. Wir können auch schreiben 5×4=20 oder 4×5=20. Man sagt sogar, das Zimmer sei 4×5 groß. Das also wäre in Ordnung. Wenn ich ein anderes Zimmer zu bespannen hätte, das 6×8 groß wäre, würde ich wieder multiplizieren und 48 Quadratmeter Spannteppich einkaufen usf. Was heißt aber dieses „und so fort“ an dieser Stelle? Doch wohl nichts anderes als jedes „und so fort“ in der Mathematik. Es heißt, daß jede weitere Rechnung nach dem gleichen „Bildungsgesetz“ vorzunehmen ist. Was ist aber ein „Bildungsgesetz“? Wieder nichts anderes als ein höherer allgemeinerer Befehl. Er lautet in unserem Falle: „Wenn du die Fläche eines rechteckigen Vierseits gewinnen willst, dann multipliziere die Länge mit der Breite.“ „Welche Länge mit welcher Breite?“ fragen wir zurück. „Nun, jede jeweils gegebene Länge mit der dazu gehörigen gegebenen Breite. Oder multipliziere auch in verkehrter Reihenfolge. Denn auch ganz allgen ein ist die Multiplikation durch Vertauschbarkeit der Faktoren (durch Kommutativität) ausgezeichnet.“ Jeder wird jetzt einwerfen, er wisse, um was es sich hier handle: Um eine Formel 1 Und zwar um die Formel zur Berechnung der Fläche des Rechtecks. Gewiß, es handelt sich um diese Formel, die man für gewöhnlich $F_{R}=a\cdot b$ anschreibt. $F_{R}$ heißt Fläche des Rechtecks. Und $a\cdot b$ oder $b\cdot a$ heißt Länge mal Breite oder Breite mal Länge. Was aber in aller Welt haben wir jetzt wieder angestellt? Zuerst haben wir den Algorithmus und den Befehl auf Worte, hier sogar auf Buchstaben ausgedehnt.

Wir wollen nicht weiter forschen, sondern sogleich ein anderes Beispiel bringen. Jedermann ist es klar, daß ein Apfel plus zwei Äpfel die Summe von drei Äpfeln liefert. Vier Äpfel und drei Birnen dagegen sind entweder 7 Obststücke oder aber eine neue Mengeneinheit, etwa „Teller voll Obst“. Ebenso sind 5 Äpfel mal drei gleich 15 Äpfel. Und 27 Birnen dividiert durch 9 sind 3 Birnen. Wenn ich für Äpfel a, für Birnen b und für Obststücke c schreibe; weiter für „Teller voll Obst“ etwa d, so kann ich ansetzen:

la + 2a = 3a;

4a + 3b = 7c oder

4a + 3b = d;

5a × 3= 15a;

27b : 9 = 3b.

Das sieht nun schon verzweifelt nach einem neuen Algorithmus, nach einer neuen selbsttätigen Denk- und Rechenmaschine aus. Nun gehe ich aber noch weiter und stelle mir ein neues Problem: Ich frage jetzt nach etwas. Etwa: „Wieviel Einheiten muß ich zu 28 addieren, um eine Zahl zu erhalten, die dreimal so groß ist wie die gesuchte Zahl der Einheiten?“ Wie gesagt, wir kennen diese Zahl noch nicht, die ich zu 28 addieren soll. Sie ist mir unbekannt. Und heißt daher die „Unbekannte“. Sie ist, wie man auch im gewöhnlichen Leben sagt, „das unbekannte x“ in unserer Rechnung. Nennen wir sie also x. Ich soll also dieses x zu 28 addieren. Gut. Das kann ich schreiben. Damit ist der erste Befehl ausgeführt. Nun soll dieses x+28 aber gleich sein der dreifachen unbekannten Zahl. Zu unserem Staunen hat sich hier plötzlich das bisher nur als Konstatierung oder als Vollzugsmeldung aufgetretene Gleichheitszeichen (=) plötzlich in einen Befehl verwandelt. Und zwar in den Befehl x+28=3x, was soviel heißt wie: x+28 soll gleich sein oder soll gleichgemacht werden dem dreifachen x, dem 3•x oder dem 3x.

(3x kann ich für 3•x deshalb schreiben, weil auch 3 Teller dreimal Teller oder dreimal ein Teller sind usw. Der „Koeffizient“ ist in diesem Sinne nichts anderes als ein verkappter Multiplikator.)

Aber wie? Nun, wir wollen solange für das x Zahlen suchen, bis der Gleichmachungsbefehl ausgeführt ist. Und wir finden, daß bei x=14 sich schreiben läßt: 14+28=3• 14 oder 42=42, was offensichtlich richtig ist.

Aber auch hier wollen wir noch nicht verweilen. Wir merken bloß an, daß diese sonderbare „Gleichmachungs“maschine eine Gleichung heißt und daß zur „Auflösung“ solcher Gleichungen die Kenntnis zahlreicher Regeln notwendig ist. Wir werden all das genau kennenlernen. An dieser Stelle aber wollen wir nicht vor-, sondern zurückblicken und überlegen, wodurch die Beispiele vom Bodenteppich, von den Äpfeln und Birnen und von der unbekannten Zahl x miteinander zu einer Art Verwandtschaft verbunden sind.

Vorläufig können wir nur etwas Äußerliches feststellen. Wir haben plötzlich unsere gleichsam nackten natürlichen Zahlen verlassen und Buchstaben mit Ziffern verbunden; wobei wir außerdem noch diese neuen Symbole durch unsere schon bekannten Verknüpfungssymbole oder durch die Befehle miteinander verbanden. Wir wenden also jetzt unsere algorithmischen Künste, unsere „wahre Kabbala“ plötzlich nicht nur auf Ziffern, sondern auf irgendwelche Dinge an. Auf Dinge, von denen ich von vornherein oft gar nicht weiß, was sie bedeuten. Der Buchstabe a war einmal die Länge des Zimmers, dann ein Apfel. Er kann aber auch weder ein Apfel noch eine Länge, sondern eben das a selbst sein. Denn drei Buchstaben a mal 7 sind 21 Buchstaben a. Er kann aber noch weniger sein als der Buchstabe a. Nämlich irgend etwas. Gleichsam ein „Irgendetwas“, bei dem nur gefordert wird, daß es in derselben Rechnung stets dasselbe vollkommen unbestimmte „Irgendetwas“ bleibt. Denn auch drei noch unbestimmte „Irgendetwas“ plus zwei noch unbestimmten „Irgendetwas“ sind gleich fünf noch unbestimmten „Irgendetwas“. Und das unbekannte x ist noch ärger. Es ist nicht nur unbestimmt, sondern muß erst gesucht werden. Es ist die gesuchte Lösung eines mehr oder weniger verwickelten mathematischen Rätsels.

Auf jeden Fall haben wir eine neue Begriffsschrift eingeführt, bei der den Schriftzeichen recht nebulose Gegenstände oder Größen entsprechen. Sie sind noch chaotisch, ungeformt. Und durchaus nicht von Gott erschaffen wie die natürlichen Zahlen. Außerdem alles andere, nur nicht eindeutig.

Eben deshalb aber, weil sie nicht eindeutig sind, weil sie gleichsam eine Generalvollmacht darstellen, einen Blankowechsel, in den ich mir nach Belieben den Betrag einsetzen kann (mit Ausnahme des x, bei dem ich unter Umständen einen bestimmten Betrag einsetzen muß), erlauben mir diese Symbole, die Gestaltbilder gewisser Beziehungen vollkommen allgemein und für jeden Fall gültig hinzuzeichnen. $F_{R}=a\cdot b$ ist nicht nur der Flächeninhalt meines Zimmers, sondern die Bodenfläche jedes rechteckigen Zimmers. Mehr noch: Es ist der Flächeninhalt jedes Rechtecks überhaupt! Und 3a+2a=5a ist ebenso die richtige Summe von drei und zwei Äpfeln als von drei und zwei Linealen und von drei und zwei Lokomotiven. Es ist aber auch die richtige Summe von drei plus zwei Buchstaben a, von drei plus zwei Ziffern, von drei plus zwei Fünfern oder Dreizehnern, also überhaupt von drei plus zwei gleichartigen Dingen oder Größen. Aber auch, noch nebelhafter, von drei plus zwei „Irgendetwas“.

Wieder hat uns eine „wahre Kabbala“, eine bloße Art der Schreibung, einen neuen Zauber geliefert. Den Symbolzauber der allgemeinen Rechnung oder der Algebra. Korrekter gesagt sind wir in den Besitz von allgemeinen Zahlen gelangt, die sich durch vorläufige Unbestimmtheit von den natürlichen oder konkreten Zahlen unterscheiden.

Bevor wir aber unseren neuen großen Zauber, diese „ars magna“ (große Kunstfertigkeit) oder „artium ars“ (Kunst der Künste), wie man sie auch genannt hat, näher untersuchen, wollen wir ein paar Worte über ihren Ursprung und über die Geschichte ihres Namens einfügen. Derselbe arabische Mathematiker Alchwarizmi, den wir schon als Paten des Wortes Algorithmus kennengelernt haben, verfaßte unter anderen eine Abhandlung, betitelt „L'Al'djebr ou 'al moukabalah“. Die genannte Abhandlung bezog sich auf gewisse Rechenvorschriften für Gleichungen, die wir hier noch nicht erörtern können. Wir wollen aber fest stellen, daß eine sonderbare Laune der Geschichte es fügte, Alchwarizini doppelt zu verewigen: Sein verballhornter Name ergab den Ausdruck „Algorithmus“ und der verballhornte Titel der erwähnten Abhandlung wurde zum Wort „Algebra“.

Nun war der Tatbestand durchaus nicht etwa so, daß das Abendland eine vollständig fertige Kunst, eine feste Schreibweise oder ein geschlossenes System des Buchstalienrechnens von den Arabern übernommen hätte. In einer langen Entwicklung, die von den alten Indern über die Araber, über Vieta bis auf Descartes und Hudde reicht, vervollkommnete sich Schritt für Schritt unsere „große Kunst“. Bis sie, so eigentlich erst am Ende des 17. Jahrhunderts, eine Allgemeinheit, Gelenkigkeit und Ausbildung erreichte, die der unseren halbwegs ähnlich ist. Erst bei Leonhard Euler aber finden wir fast durchweg eine Schreibweise, die von uns als voll gegenwärtig empfunden werden kann. Wir werden übrigens in anderem Zusammenhang noch mehr als einmal auf die Geschichte der Algebra zurückkommen, die hier nur allerflüchligst angedeutet wurde.

Nun aber bitte ich, sich durch etwas philosophischere Erwägungen, die wir gemeinsam anstellen müssen, nicht abschrecken zu lassen. Ihre wirkliche Schwierigkeit wird weit geringer sein als etwa die Umrechnung von einem Ziffernsystem in ein anderes. Wir wollen uns aber eben durchaus nicht mit mechanischen Rechenregeln begnügen, sondern dem inneren Bau der Algebra auf den Grund gehen.

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