Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 077c

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Mathematik von A bis Z (Teil 14)

14

Vierzehntes Kapitel

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Unbestimmte Gleichungen

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Wir haben den Geist des Diophantos hier nicht ohne Absicht beschworen. Dieser große Mathematiker gilt nämlich als Entdecker einer sonderbaren Art von Gleichungen, der unbestimmten oder diophantischen Gleichungen. Wieweit sie auf ihn zurückzuführen sind, ist mindestens ebenso unbestimmt wie „seine“ Gleichungen. Aus den erhaltenen Schriften des Diophantos geht nach Ansicht der Mathematikhistoriker nichts hervor, was ihn als Entdecker eben dieses Gleichungstypus kennzeichnete. Da der Name aber einmal eingebürgert ist, wollen wir ihn beibehalten.

Was sind nun diese doppelt rätselhaften „diophantischen“ Gleichungen?

Wir wollen diesmal mit einer eingekleideten Aufgabe beginnen und Wesen und Behandlungsart dieser höchst wichtigen Gleichungen gemeinsam entdecken. Wir fragen also: Welche zwei Zahlen sind so beschaffen, daß das Achtfache der ersten, vermehrt um das Dreifache der zweiten, als Summe 91 ergibt?

Das ist eine Frage, an die wir mit unserer bisherigen Weisheit nicht herankönnen. Denn wir bemerken sofort, daß hier nicht ein unbekanntes x, sondern zwei Unbekannte zu suchen sind, die wir mit x und y bezeichnen wollen. Wir schreiben also

8x + 3y = 91.

Was sollen wir aber weiter machen? Nach unseren Regeln wäre $8x=91-3y$ und $\textstyle x={\frac {91-3y}{8}}$ oder $3y=91-8x$ und $\textstyle y={\frac {91-8x}{3}}$.

Offenbar führt uns das nicht weiter. Denn wir drücken dadurch stets nur die eine Unbekannte durch 91 und durch die andere Unbekannte aus. Ein glücklicher Instinkt hätte mich dazu geführt, x als 5 und y als 17 anzunehmen. Tatsächlich ist

8•5 + 3•17 = 40 + 51 = 91.

Das wäre also eine Lösung. Aber ich argwöhne, daß es nicht die einzige ist. Wir müssen also auch hier nach einem Algorithmus suchen, nach einer Kabbala, die uns unfehlbar ans Ziel führt. Dabei müssen wir noch eine Nebenbedingung erwähnen. Als Lösung einer solchen diophantischen Gleichung werden nur ganze Zahlen akzeptiert. Sonst hätten wir von vornherein unendlich viele Lösungen. Wir brauchten bloß das x irgendeiner Zahl, etwa 7, gleichzusetzen und erhielten

$\textstyle {\begin{aligned}8\cdot 7+3y&=91&\\56+3y&=91&\\3y&=91-56&\\3y&=35&\\y&=35:3&=\textstyle 11{\frac {2}{3}}\end{aligned}}$

Ich hätte ja stets durch Wald des x oder y die Gleichung auf eine unbedingt lösbare Gleichung mit einer Unbekannten zurückgeführt. Denn willkürliche Wahl einer Zahl für eine Unbekannte hieße nichts anderes, als daß ich diese Unbekannte gleichsam für den speziellen Fall zur Konstanten machte.

Wir fordern also Ganzzahligkeit der Lösung gleichzeitig für beide Unbekannten. Diese Ganzzahligkeit ist aber nicht für jede Gleichung mit zwei Unbekannten möglich. Doch davon später.

Bevor wir die geniale allgemeine Lösungsmethode erläutern können, die uns Leonhard Eulcr geschenkt hat, müssen wir vorher noch einen sehr gebräuchlichen mathematischen Kniff erlernen, der in dieser Methode eine überragende Rolle spielt. Nämlich die „Anstellesetzung“ oder „Substitution“.

Wählen wir ein konkretes Beispiel. Niemand wird behaupten, daß die Gleichung

$\textstyle 2({\frac {x-4}{3}})+3({\frac {x-4}{3}})-4({\frac {x-4}{3}})=$$\textstyle 9-2({\frac {x-4}{3}})$

sehr anheimelnd aussieht. Bei näherem Zusehen merken wir aber, daß der Ausdruck $\textstyle ({\frac {x-4}{3}})$ stets wiederkehrt und daß sich das x in keiner als in eben dieser Konstellation befindet. Ich kann nun dieses $\textstyle ({\frac {x-4}{3}})$ gleichsam als neue allgemeine Größe, als neue Unbekannte betrachten und es so behandeln, als ob es (in unserer Sprechweise) ein Apfel wäre. Diesen Apfel nennen wir nun n und schreiben:

$2n+3n-4n=9-2n$.

Die Bedeutung des n schiebe ich in Gedanken vorläufig zurück. Ich frage nicht, welchen Detailbau ein Apfel hat, aus wieviel Kernen, Stengeln und Butzen der Apfel besteht, sondern ich vertraue mich sozusagen einem größeren Algorithmus an und versuche zuerst herauszubringen, welche Zahl, welche Konstante einem Apfel zugeordnet ist. Dann — so hoffe ich — kann ich das Detail des Apfels weiter erforschen. Unsere neue Gleichung mit n als der Unbekannten ergibt:

$2n+3n-4n+2n=9$, oder

$3n=9$ und

$n=3$.

Nun weiß ich aber, da ich es ja selbst so einführte, daß n gleich ist $\textstyle ({\frac {x-4}{3}})$. Ich habe jetzt also eine neue Gleichung, in der n nicht mehr unbekannt, sondern konstant und gleich 3 ist. Diese Gleichung lautet:

$\textstyle n={\frac {x-4}{3}}$ und

$x=3n+4$.

Das n ist aber, wie gesagt, gleich drei. Also ist das

$x=9+4=13$.

Wir überlassen es dem Leser, die Gleichung ohne „Substitution“, ohne „Anstellesetzung“ einer neuen Hilfs-Unbekannten oder Zwischen-Unbekannten direkt auszurechnen. Sicherlich wird diese Probe oder die Probe durch Einsetzen der 13 für das x die Richtigkeit unseres Vorgehens beweisen. Wir wissen also jetzt praktisch, was eine „Substitution“ ist. Sie ist die Bezeichnung einer kompliziert gebauten Größe durch eine neue einfachere Benennung. Wenigstens auf unserer Stufe. In der höheren Mathematik, insbesondere in der Integralrechnung, wo Substitutionen eine ausschlaggebende und unentbehrliche Rolle spielen, kann es ebensogut vorkommen, daß eine einfachere Größe durch eine kompliziertere ersetzt wird. Übrigens kennen wir selbst schon solche Fälle. Wenn wir aus irgendwelchen Gründen statt 1 etwa $15^{0}$ schreiben oder b durch $b^{1}\cdot b^{0}$ entstanden denken, ist das eine Art von Substitution ins Kompliziertere. Allerdings nur eine sehr spezielle Art. Um die größte Allgemeinheit zu wahren, müssen wir sagen, daß man unter Substitution schlechtweg das Ersetzen einer Größe durch eine andere versteht. Natürlich nicht wahllos. Man darf bekanntlich niemandem ein x für ein u vormachen. Aber man darf überall, wo x vorkommt, dafür u schreiben, wenn man am Schluß die „Bedingungsgleichung“ nicht vernachlässigt, daß x eben u ist oder x = u. Ich kann auch überall für x den Wert 2u schreiben. Oder $\textstyle {\frac {u}{2}}$ oder $\textstyle {\frac {u}{250}}$. Das x ist dann am Ende eben das Doppelte von u oder die Hälfte oder ein 250tel.

Gut, wir haben gesehen, daß sich durch Substitutionen komplizierte Rechnungen vereinfachen lassen. Worin aber besteht eigentlich der Rechtstitel, daß ich überhaupt substituieren darf? Logisch ist die Sache einfach. Wir haben etwa aus $\textstyle {\frac {x-4}{3}}$ den Oberbegriff n gebildet, der forderungsgemäß dieses $\textstyle ({\frac {x-4}{3}})$ in sich enthält. Denn wir substituieren ja unter der Bedingung: $\textstyle n={\frac {x-4}{3}}$!

Streng mathematisch sagen wir, daß hier ein Fall von Isomorphismus, von Gcstaltgleichheit vorliegt. Die Struktur, die Gestalt der Gleichung oder sonstigen Rechnungsoperation ist durch das „Anstellesetzen“ nicht berührt worden, und die Koeffizienten und die Befehle sind die gleichen geblieben. Algebraisch liegt ein System mehrerer Gleichungen, und zwar einer Grundgleichung und einer Bedingungsgleichung vor. Nämlich:

$\textstyle 2({\frac {x-4}{3}})+3({\frac {x-4}{3}})-4({\frac {x-4}{3}})=$$9-2({\frac {x-4}{3}})$

und $\textstyle {\frac {x-4}{3}}=n$.

Aber auch das müssen wir vertagen, um endlich zur diopliantischen Gleichung zu kommen. Wir werden ja dabei, wie schon angekündigt, eine besondere Art von Substitution durchführen, bei der zur „Bedingungsgleichung“ noch andere Forderungen hinzutreten.

Wenn wir also unser Beispiel einer diophantischen Gleichung:

$3y+8x=91$

in etwas umgestellter Form noch einmal anschreiben, dann verlangt die Methode Eulers vorerst, daß wir die eine Unbekannte durch die andere ausdrücken. Und zwar aus gewissen praktischen Gründen die Unbekannte mit dem kleineren Koeffizienten durch die Unbekannte mit dem größeren Koeffizienten. Hier also y durch x.

Wir erhallen:

$3y=91-8x$

$\textstyle y={\frac {91-8x}{3}}$

Das wäre der ersLe Schritt. Nun sollen wir — nach Euler — den Bruch, der als unechter zu betrachten ist, in Ganze und Restbrüche zerlegen. Also:

$\textstyle y={\frac {91}{3}}-{\frac {8x}{3}}=$$\textstyle 30+{\frac {1}{3}}-2x-{\frac {2x}{3}}$

Nun stellen wir die „Ganzen“ und die „Restbrüche“ nebeneinander:

$\textstyle 30-2x+{\frac {1}{3}}-{\frac {2x}{3}}=$$\textstyle 30-2x-{\frac {2x-1}{3}}$.

Ebenfalls aus praktischen Rücksichten haben wir vor den Bruch das Minus gestellt, so daß er nicht $\textstyle +{\frac {1-2x}{3}}$, sondern $\textstyle -{\frac {1-2x}{3}}$ lautet, was ja größenmäßig dasselbe ist.

Nun beginnt der eigentliche Kalkül. Wir haben, im Sinne diophanlischcr Gleichungen, gefordert, daß das y eine ganze Zahl sein muß. Da das x auch eine ganze Zahl sein soll, muß $30-2x$ ebenfalls eine ganze Zahl liefern. Wenn aber überdies y eine ganze Zahl ist, dann muß in der Summe oder Differenz $\textstyle 30-2x-{\frac {2x-1}{3}}$ auch das $\textstyle {\frac {2x-1}{3}}$ eine ganze Zahl sein, da sonst die anderen Bedingungen hinfällig würden. Nun beginnt die „Substitution“. Wir behaupten voraussetzungsgemäß, $\textstyle {\frac {2x-1}{3}}$ sei eine ganze Zahl und nennen sie $n_{1}$. Den Index rechts unten fügen wir bei, da wir vielleicht mehrere Male substituieren müssen. Wir haben also jetzt den Ansatz:

$\textstyle n_{1}({\text{ganze Zahl}})={\frac {2x-1}{3}}$.

Nach denselben Überlegungen wie oben kann ich diese neue Gleichung zuerst so umstellen, daß ich das $x$ durch $n_{1}$, ausdrücke.

${\begin{aligned}n_{1}&=\textstyle {\frac {2x-1}{3}}\\3n_{1}&=2x-1\\2x&=3n_{1}+1\\x&=\textstyle {\frac {3n_{1}+1}{2}}\end{aligned}}$

Nun kann ich das x, das ja auch eine ganze Zahl sein muß, wieder durch Zerlegung des Bruches in Ganze und Restbrüche versinnbildlichen.

$\textstyle x={\frac {3n_{1}}{2}}+{\frac {1}{2}}=$$\textstyle n_{1}+{\frac {n_{1}}{2}}+{\frac {1}{2}}=$$\textstyle n_{1}+{\frac {n_{1}+1}{2}}$.

Wieder ist die Überlegung dieselbe, $x$ und $n_{1}$ sollen ganze Zahlen sein. Daher muß $\textstyle {\frac {n_{1}+1}{2}}$ auch eine ganze Zahl liefern. Meine Vorsicht, das $n$ zu indizieren, war sehr angebracht. Denn diese neueste ganze Zahl nenne ich im Wege neuerlicher Substitution $n_{2}$.

Wir erhalten also:

$\textstyle n_{2}({\text{ganze Zahl}})={\frac {n_{1}+1}{2}}$.

Drücke ich nun das $n_{1}$ lediglich ganzzahlig, durch $n_{2}$ aus, dann resultiert

$2n_{2}=n_{1}+1$ oder

$n_{1}=2n_{2}-1$.

Da jetzt alle Restbrüche verschwunden sind, kann ich meine Aufgabe als gelöst betrachten. Nur habe ich noch eine, wenn auch nicht schwierige, so doch verwickelte Aufgabe zu erfüllen. Ich muß nämlich jetzt das x und das y wiedergewinnen, wobei nichts stehenbleiben darf als das letztsubstituierte $n$, also das $n_{2}$ in unserem Falle. Da nun $n_{1}=2n_{2}-1$ und $\textstyle {\frac {n_{1}+1}{2}}=n_{2}$, so ist $\textstyle x=n_{1}+{\frac {n_{1}+1}{2}}$ nichts anderes als $2n_{2}-1+n$ oder $x=3n_{2}-1$. Für y aber erhielten wir als letztes Resultat $\textstyle y=30-2x-{\frac {2x-1}{3}}$. Also ist

$\textstyle y=30-2(3n_{2}-1)-{\frac {2x-1}{3}}$.

Da aber weiter $\textstyle {\frac {2x-1}{3}}$ nichts anderes als $n_{1}$ ist, da wir es ja gleich $n_{1}$ setzten, so ist $y=30-2(3n_{2}-1)-n_{1}$.

Nun ist aber $n_{1}$, wieder gleich $(2n_{2}-1)$. Folglich ist $y$, nur durch Konstante und $n_{2}$ ausgedrückt:

$y=30-2(3n_{2}-1)-(2n_{2}-1)=$$y=30-6n_{2}+2-2n_{2}+1=$$y=33-8n_{2}$.

Der Übersichtlichkeit halber schreiben wir diese sogenannte endgültige und allgemeine Lösung unserer diophantischen Gleichung noch einmal an, wobei wir beim $n_{2}$ den Index fortlassen, da ja der Index ein Unterscheidungszeichen ist und jeden Sinn verliert, wenn man nichts mehr zu unterscheiden hat. $n_{2}$ oder $n$, wie wir es jetzt nennen, ist eine beliebige ganze Zahl und

$x=3n-1$

$y=33-8n$.

Versuchen wir jetzt, ob unsere Eulersche „Lösung“ wirklich richtig ist. Wir dürfen, wie gesagt, in das n jede ganze, positive oder negative Zahl (hier figuriert auch die Null als ganze Zahl) einsetzen. Die Gleichung lautete:

$8x+3y=91$.

Für $n=0$ ist $x=0-1=-1$ und $y=33-0=33$.

Also: $8\cdot (-1)+3\cdot 33=(-8)+99=91$.

Für $n=1$ ist $x=3-1=2$ und $y=33-8=25$.

Also: $8\cdot 2+3\cdot 25=16+75=91$.

Für $n=-1$ ist $x=-3-1=-4$ und $y=33+8=41$.

Also: $8\cdot (-4)+3\cdot 41=-32+123=91$.

Für $n=5$ ist $x=15-1=14$ und $y=33-40=-7$.

Also: $8\cdot 14+3(-7)=112-21=91$

usf. ins Unendliche nach Plus und Minus.

Wahrhaftig ein zauberhafter Algorithmus, der es gestattet, unendlich viele ganzzahlige Lösungen für zwei Unbekannte durch eine einfache Formel zu bestimmen ! Unser erstes, bloß erratenes Wertepaar $x=5$ und $y=17$ galt für $n=2$, da hiebei $x=6-1=5$ und $y=33-16=17$.

Nun könnte man weitere Bedingungen stellen und etwa nur Lösungen zwischen 1 und 100 oder zwischen -10 und +10 oder nur positive und nur negative Lösungen zulassen. Praktisch sind solche Bedingungen oft sehr wichtig. Der geübtere oder spürsinnigere Leser wird leicht erraten, wie man solchen Einschränkungen genügt. Man setzt einfach von 0 aufwärts und abwärts einige Zahlen für n ein, legt sich am besten eine kleine Tabelle an und sieht dann bald, wieweit man gehen darf.

(Natürlich könnte man ganz korrekt auch Bedingungsungleichungen ansetzen. Etwa $x<10$, also $(3n-1)<10$, folglich $3n<ll$ und $n<{\frac {11}{3}}$. Also dürfte das n höchstens 3 betragen, wenn x kleiner als 10 sein soll. Nur müßte man für y auch eine Ungleichung ansetzen usw.)

Doch die diopliantischen Gleichungen sind uns wieder nur Mittel zum Zweck gewesen, was später deutlich werden wird. Wir wollen daher nicht tiefer in ihre hochinteressanten Einzelgesetze eindringen und wollen nur noch etwas hinzufügen, was wir schon andeuteten. Nämlich, daß durchaus nicht jede Gleichung mit zwei Unbekannten der allgemeinen Form

$ax+by=c$ (wobei a, b, c positive oder negative ganze Zahlen)

auch eine wirkliche diophantische, das heißteine für beide Unbekannten ganzzahlig lösbare Gleichung darstellt. Zum Charakter einer diophantischen Gleichung ist ein weiteres Erfordernis oder eine weitere Bedingung unerläßlich.

Nehmen wir zuerst an, wir hätten, wie man sagt, die Gleichung auf die einfachste Form gebracht, das heißt wir hätten sie solange auf beiden Seilen durch ein allfälligcs gemeinsames Maß dividiert, bis eine weitere Division unmöglich ist. Etwa hätten wir die Gleichung

$9x+12y=51$ durch 3 dividiert und

$3x+4y=17$

als einfachste Form erhalten.

Ebenso hätten wir

$32x+24y=124$ durch 4 dividiert und

$8x+6y=31$

als einfachste Form gewonnen.

Hier stutzen wir schon, denn es ist unerfindlich, wie die Summe zweier gerader Zahlen eine ungerade Zahl ergeben soll. 8x und 6y müssen aber, falls x und y ganze Zahlen sind, gerade Zahlen sein. Denn 8•5 und 8•7 und 8•(-2) und 6•(-5) und 6•(-20) und 6•1 usw. sind unter allen Umständen gerade Zahlen.

Wir behaupten sogar, daß die Gleichung

$3x+15y=19$

keine diophantische ist. Und zwar deshalb, weil es dabei nicht nur auf Geradzahligkeit der Koeffizienten ankommt, sondern vielmehr darauf, daß die Koeffizienten von x und y überhaupt kein gemeinsames Maß (hier 3) besitzen dürfen, das nicht auch in der oder den Konstanten enthalten ist.

Diese Behauptung wollen wir nun als Beispiel eines richtigen und gültigen mathematischen Beweises ganz allgemein erhärten. Zuerst aber noch ein Veranschaulichungsbeispiel.

$9x+12y=51$ dividiert durch 3 ergibt

$3x+4y=17$.

3 und 4 haben kein gemeinsames Maß, es handelt sich also hier um eine unzweifelhaft echte diophantische, ganzzahlig lösbare Gleichung. Nach Euler ist die Lösung:

$3x+4y=17$

$3x=17-4y$

$\textstyle x={\frac {17-4y}{3}}=$$\textstyle 5+{\frac {2}{3}}-y=$$\textstyle 5-y-{\frac {y-2}{3}}-y=$

$\textstyle {\frac {y-2}{3}}=n$

$y-2=3n$

$y=3n+2$; $x=5-(3n+2)-n=$$4-4n$.

Hier haben wir kein indiziertes $n$ gewählt, da wir sofort sahen, daß wegen des isolierten $y$ in $\textstyle {\frac {y-2}{3}}$ kein weiterer Restbruch zu erwarten ist.

Bei $n=3$ wäre demnach $x=-9$, $y=11$ und

$3\cdot (-9)+4\cdot ll=$$-27+44=17$. In diesem Fall ist also alles in bester Ordnung, wie wir es erwarteten. Kehren wir aber jetzt wieder zum Beweis und zu den allgemeinen Zahlen zurück. In der Gleichung

$ax+by=c$

sollen a, b und c kein gemeinsames Maß mehr haben, da ja sonst die Gleichung nicht auf die einfachste Form gebracht wäre. Nun hätten aber a und b noch ein gemeinsames Maß, was möglich ist, wie der Fall

$8x+6y=31$

zeigt, wo 8 und 6 das Maß 2 haben. Allgemein gesprochen könnte man sagen, daß a und b das Maß m hätten. Das hieße aber weiter, daß $\textstyle {\frac {a}{m}}$ und $\textstyle {\frac {b}{m}}$ noch immer ganze Zahlen wären. Diese ganzen Zahlen sind mit den als ganzzahlig geforderten x und y zu multiplizieren und die Produkte zu summieren. Also $\textstyle ({\frac {a}{m}}x+{\frac {b}{m}}y)$. Nun ist es klar, daß ich auch c durch m dividieren muß, wenn ich a und b durch m dividiert habe, da dies ja der Balancezustand der Gleichungs„waage“ verlangt. Denn $\textstyle {\frac {a}{m}}x+{\frac {b}{m}}y=$$\textstyle {\frac {ax+by}{m}}=$$\textstyle {\frac {c}{m}}$, wenn die ursprüngliche Gleichung $ax+by=c$ hieß. Da nun aber weiter c im ursprünglichen Ansatz eine ganze Zahl war, dann mußte sie, wenn sie der Summe zweier ganzer Zahlen $\textstyle {\frac {a}{m}}x+{\frac {b}{m}}y=$ auch nach der Division durch m gleich sein soll, selbstverständlich durch m mit ganzzahligem Ergebnis teilbar sein. Was aber der Voraussetzung widerspricht, daß nur a und b durch m teilbar sind. Somit ist eine Gleichung von der Form $m\cdot rx+m\cdot sy=c$, wobei c nicht durch in teilbar ist, niemals in ganzen Zahlen für beide Unbekannte zu lösen, wenn m, r, s und c ganze Zahlen sind.

Noch einmal wiederholt: Eine diophantische Gleichung setzt voraus, daß die Koeffizienten der beiden Unbekannten zueinander „teilerfremd“ sind, das heißt kein gemeinsames Maß besitzen. Dagegen dürfen die Koeffizienten der Unbekannten und die Konstante ein gemeinsames Maß besitzen, wie etwa in der Gleichung $3x+4y=12$ (4 und 12 haben das Maß 4, 3 und 12 das Maß 3). Die allgemeinen Lösungen dieser Gleichung wären

$x=4-4n$ und

$y=3n$,

also etwa für

$n=5$ ist

$x=4-20=-16$

$y=15$.

Probe:

$3\cdot (-16)+4\cdot 15=-48+60=12$ .

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