Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 078c

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Mathematik von A bis Z (Teil 15)

15

Fünfzehntes Kapitel

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Negative und Bruchpotenzen

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Es wäre sehr verlockend, die Lehre von den Gleichungen weiter zu durchforschen, weil wir dabei zudem noch auf einen Gleichungstyp stoßen würden, der uns den eigentlichen Zugang zur höheren und höchsten Mathematik erschließt: auf die sogenannte „Funktion“, die sich aus algebraischen Gleichungen zwanglos herleiten läßt.

Wir bitten jedoch, diese Worte als eine vorläufig höchst unpräzise Andeutung hinzunehmen. Die nächsten Kapitel werden uns schon in diese neue Zauberwelt einführen. Da wir uns aber in der Lehre von den Funktionen viel ungehinderter bewegen können, wenn wir vorher noch die Geduld aufbringen, unseren Zahlbegriff zu erweitern und den Algorithmus der Potenz eingehender zu studieren, wollen wir uns dieser Mühe unterziehen.

Wir erinnern uns, daß man Potenzen derselben Basis dividierte, indem man den kleineren Potenzexponenten vom größeren abzog. Also etwa $10^{5}:10^{3}=10^{5-3}=10^{2}$ oder $100.000:1000=100$. Oder $a^{17:a^{6}=a^{17-6}=a^{11}}$ usw. Dabei hatten wir stillschweigend die Übereinkunft getroffen, daß der Potenzanzeiger des Dividenden stets größer oder höchstens gleich war mit dem des Divisors. Also allgemein: Bei der Division $a^{m}:a^{n}$ galt die Bedingung $m>n$. Oder, was dasselbe wäre, $n<m$. Da wir weiters m und n stets positiv wählten, kamen wir niemals in die Gefahr, als Ergebnis eine Basis mit einem negativen Potenzanzeiger zu erhalten. Nun ist aber an sich ein negativer Potenzanzeiger ganz gut denkbar. Es fragt sich nur, welchen Sinn er innerhalb unserer verschiedenen Algorithmen hat, ohne unser Gesamtsystem, das wir bisher aufbauten, zu sprengen.

Wir wollen vorläufig noch daran festhalten, daß m und n positive Zahlen sind, wollen jedoch diesmal die Bedingungsungleichung umkehren und behaupten, n sei größer als m ($n>m$ oder $m<n$). Da nun weiters gefordert ist, daß der Anzeiger n dem Divisor zugehört, erhalten wir bei der Division $a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$ als Anzeiger des Ergebnisses unbedingt eine negative Zahl, da wir ja voraussetzungsgemäß Größeres von Kleinerem abziehen sollen. Konkreter ausgedrückt: $a=10$, $m=5$, $n=7$; folglich $10^{5}:10^{7}=10^{5-7}=10^{-2}$.

Mit konkreten Zahlen können wir zwanglos rechnen. Wir werden uns also unser unangenehmes Ergebnis einfach ausrechnen. Etwa in folgender Weise: $\textstyle 10^{5}:10^{7}={\frac {10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10}{10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10}}$.

Da wir nun offensichtlich die oberen fünf Zehnerfaktoren mit fünf Zehnerfaktoren des Nenners kürzen können, erhalten wir als Resultat $\textstyle 10^{5}:10^{7}={\frac {1}{10\cdot 10}}={\frac {1}{10^{2}}}$. Dieses $\textstyle {\frac {1}{10^{2}}}$ aber soll $10^{-2}$ sein!

Wir ahnen bereits den neuen Algorithmus, wollen aber vorsichtshalber noch eine Probe machen.

$a^{11}:a^{16}=$$\textstyle {\frac {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}}=$$\textstyle {\frac {1}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}}$.

Und dieses $\textstyle {\frac {1}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}}={\frac {1}{a^{5}}}$ und das soll wieder gleich sein $a^{11}:a^{16}=a^{11-16}=a^{-5}$.

Unsere gesuchte Regel lautet also höchst einfach: Eine Basis a mit einem negativen Potenzanzeiger ist gleich dem Kehrwert derselben Basis mit demselben positiven Potenzanzeiger. Als Formel $\textstyle a^{-r}={\frac {1}{a^{r}}}$, wobei a verschieden sein muß von 0.

Die letzte Einschränkung hat ihren guten Sinn. Denn wenn $a=0$, dann ist $\textstyle a^{-n}={\frac {1}{0^{n}}}={\frac {1}{0}}$, und von diesem $\textstyle {\frac {1}{0}}$ wissen wir schon, daß es einen eigentlich unausdrückbaren Wert hat, den wir mit „$\lim \infty$“ oder mit dem „Grenzwert, der nach unendlich strebt“ bezeichneten.

Weiter brauchen wir über negative Potenzanzeiger kaum ein Wort zu verlieren. Durch unsere einfache Regel haben wir sie in unseren Algorithmus eingegliedert und wir können Ausdrücke wie $\textstyle b^{(-4+3-2+6-8)}=b^{-5}={\frac {1}{b^{5}}}$ ebenso sicher handhaben, wie $c^{5+4-3}=c^{6}$.

Aus dem Wesen des Kehrwertes folgt noch, daß wir $\textstyle {\frac {1}{a^{n}}}$ als $a^{0}:a^{n}=a^{0-n}=a^{-n}$ darstellen können. $\textstyle {\frac {1}{a{-n}}}$ dagegen könnte man sich aus $a^{0}:a^{-n}=a^{0-(-n)}=a^{n}$ entstanden vorstellen. Durch diese Regel sind wir instand gesetzt, jede Potenz nach Belieben durch Änderung des Vorzeichens des Potenzanzeigers aus dem Bruchzähler in den Bruchnenner (und umgekehrt) zu übertragen. Es ergibt sich somit:

$\textstyle {\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {a^{-n}}{a^{0}}}$ und

$\textstyle {\frac {a^{0}}{a^{-n}}}={\frac {a^{n}}{a^{0}}}$ oder

$\textstyle {\frac {1}{a^{n}}}=a^{-n}$;

$\textstyle {\frac {1}{a^{-n}}}=a^{n}$

Nun wollen wir aber unseren Algorithmus noch erweitern. Wir behaupten nämlich, es müsse auch möglich sein, Potenzanzeiger in Form von gemeinen Brüchen anzuschreiben.

Also etwa:

$\textstyle 10^{\frac {5}{6}}$, $\textstyle a^{\frac {7}{9}}$, $\textstyle 15^{\frac {a}{b}}$, $\textstyle 20^{\frac {1}{10}}$, $\textstyle 4^{\frac {3}{7}}$, $\textstyle 9^{\frac {25}{8}}$ usw.

Vorstellen kann man sich — das wird sofort klar sein — unter einem Bruch als Potenzanzeiger vorläufig gar nichts. Denn die Forderung, ich solle die Basis 10 etwa $\textstyle {\frac {5}{6}}$mal als Faktor setzen, erscheint auf den ersten Blick als unsinniges Begehren. Selbst wenn ich mir dadurch helfen will, daß ich die $\textstyle {\frac {5}{6}}$ in $\textstyle 5\cdot {\frac {1}{6}}$ zerlege, weiß ich nur, daß ich die 10 zuerst mit 5 potenzieren darf, da ja auch $\textstyle (10^{5})^{\frac {1}{6}}$ gleich ist $\textstyle 10^{\frac {5}{6}}$. Die Potenzierung mit der 5 macht weiter keine Schwierigkeiten.

Wie aber potenziere ich dann das Ergebnis $10^{5}=100.000$ mit dem $\textstyle {\frac {1}{6}}$? Wie setze ich 100.000 ein Sechstel mal als Faktor? Größer wird es dadurch kaum werden, da ich es ja nicht einmal ein einziges Mal als Faktor setzen soll. Ich stehe also hier allem Anschein nach vor einer neuen abbauenden, lytischen Rechnungsart, die sich zur Potenzierung verhält, wie die Division zur Multiplikation oder die Subtraktion zur Addition.

Wir wollen verraten, um welche neue Rechnungsart, um welchen „Befehl“ es sich handelt: um das sogenannte Wurzelziehen oder um die Radizierung. Und $\textstyle (100.000)^{\frac {1}{6}}$ heißt als Befehl nichts anderes als: „Suche eine noch unbekannte Zahl, die, sechsmal als Faktor gesetzt, den Wert 100.000 ergibt.“

Wenn wir allgemein $\textstyle c^{\frac {a}{b}}$ vor uns gehabt hätten, hätten wir schreiben können: $\textstyle c^{\frac {a}{b}}=(c^{a})^{\frac {1}{b}}$, was soviel heißt, als man solle eine noch unbekannte Zahl d suchen, die b mal als Faktor gesetzt, wieder $c^{a}$ ergibt. Also $(d\cdot d\cdot d\cdot d\cdot d\dots \dots )$ b mal als Faktor $=c^{a}$ oder

$d^{b}=c^{a}$

Nun werden Wurzeln, was ja jeder wissen dürfte, nicht nur in der Form des Kehrwertes von Potenzanzeigern, also als $\textstyle a^{\frac {1}{2}}$, $\textstyle b^{\frac {1}{3}}$, $\textstyle 10^{\frac {1}{b}}$ usw. geschrieben, sondern man hat seit vielen Jahrhunderten das sogenannte Wurzelzeichen in Anwendung, das aus dem Wort Radix (Wurzel) in der Weise entstanden sein soll, daß man das kleine lateinische r der geschriebenen Schrift zur Gestalt ${\sqrt {\quad }}$ heranzog, woraus dann unser Zeichen ${\sqrt {\qquad }}$ wurde. Wir schreiben also

${\sqrt[{2\,}]{5816}}$, ${\sqrt[{3\,}]{a\cdot b}}$, ${\sqrt[{a\,}]{25a^{4}}}$ usw.

Dabei erhält die Wurzel den sogenannten Wurzelanzeiger oder Wurzelexponenten, der nichts anderes ist als der Kehrwert des Bruches, den wir als gebrochenen Potenzanzeiger kennen lernten. Also:

$\textstyle a^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{a}}$ oder

$\textstyle 10^{\frac {5}{6}}=(10^{5})^{\frac {5}{6}}={\sqrt[{6}]{10^{5}}}$usw.

Aus unserer Darstellung ergeben sich alle Regeln über die Behandlung von Wurzeln mit Leichligkeit. Und wir empfehlen, zur Sicherheit jede verwickeltere Rechnung mit Wurzeln durch eine Rechnung mit gebrochenen Exponenten nachzuprüfen oder den Algorithmus zu wechseln:

$\textstyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}\cdot {\sqrt[{7}]{a^{9}}}$ wäre

$\textstyle a^{\frac {5}{3}}\cdot a^{\frac {9}{7}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {9}{7}}}=$$\textstyle a^{\frac {7\cdot 5+3\cdot 9}{21}}=$$\textstyle a^{\frac {62}{21}}=$$\textstyle (a^{62})^{\frac {1}{21}}=$$\textstyle {\sqrt[{21}]{a^{62}}}=$.

Hat die Wurzel einen gebrochenen Anzeiger, dann ist bei Schreibung als Potenz der Kehrwert zu nehmen. Etwa

$\textstyle {\sqrt[{\frac {4}{5}}]{a^{3}}}=(a^{3})^{\frac {5}{4}}=$$(a^{3\cdot 5})^{\frac {1}{4}}=$${\sqrt[{4}]{a^{15}}}$ oder

$\textstyle {\sqrt[{\frac {4}{5}}]{a^{3}}}={\sqrt[{4\cdot {\frac {1}{5}}}]{a^{3}}}=$$(a^{3})^{5\cdot {\frac {1}{4}}}=$$[(a^{3})^{5}]^{\frac {1}{4}}=$$[a^{15}]^{\frac {1}{4}}=$${\sqrt[{4}]{a^{15}}}$.

Natürlich ist auch ein Dividieren von Wurzeln (Potenzen mit gebrochenen Anzeigern) möglich, wobei außerdem positive oder negative Ergebnisse resultieren können. Etwa

$\textstyle {\sqrt[{5}]{a^{6}}}:{\sqrt[{3}]{a^{7}}}=(a^{6})^{\frac {1}{5}}:(a^{7})^{\frac {1}{3}}=$$\textstyle a^{\frac {6}{5}}:a^{\frac {7}{3}}=$$\textstyle a^{{\frac {6}{5}}-{\frac {7}{3}}}=$$\textstyle a^{\frac {6\cdot 3-7\cdot 5}{15}}=$$\textstyle a^{\frac {-17}{15}}=$$\textstyle a^{-{\frac {17}{15}}}=$$\textstyle {\sqrt[{-15}]{a^{17}}}=$$\textstyle {\sqrt[{15}]{a^{-17}}}=$$\textstyle {\sqrt[{15}]{\frac {1}{a^{17}}}}=$$\textstyle {\frac {\sqrt[{15}]{1}}{\sqrt[{15}]{a^{17}}}}=$$\textstyle {\frac {1}{\sqrt[{15}]{a^{17}}}}$.

Zum Abschluß sei bemerkt, daß die zweite Wurzel gewöhnlich nicht geschrieben wird, das heißt daß ${\sqrt {a}}$ soviel bedeutet wie ${\sqrt[{2}]{a}}$, da ja eine ${\sqrt[{1}]{a}}$ überhaupt kein Wurzelzeichen braucht, da ${\sqrt[{1}]{a}}=a^{\frac {1}{1}}=a^{1}=a$ sein muß.

Wir sagten „zum Abschluß“. Wir haben bewußt unsere Lehre von den Wurzeln nur sehr oberflächlich gebracht. Denn uns interessieren für unsere weiteren Zwecke nicht Dinge, die in jedem Lehrbuch genau und ausführlich enthalten sind, sondern uns beschäftigt ein ungleich tieferes Problem: Nämlich das innere Wesen des Zahlbegriffs und die Erweiterung dieses Begriffs durch die Einführung der Wurzeloperation, des Radizierungsbefchls, den man, nebenbei bemerkt, in halbwegs einfacher Weise ohne Hilfe der sogenannten Logarithmen nur in bestimmten und sehr beschränkten Fällen wirklich ziffernmäßig ausführen kann.

(Prinzipiell ist jede Wurzel aus einer konkreten Zahl berechenbar. Das dafür ersonnene Verfahren erfordert jedoch, wie erwähnt, große Sorgfalt und Mühe, so daß es für die Praxis des Rechners kaum in Betracht kommt.)

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