Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 082c

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Mathematik von A bis Z (Teil 19)

19

Neunzehntes Kapitel

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Pythagoräischer Lehrsatz

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Zuerst wollen wir uns einmal in ferne Vorzeit zurückversetzen. Zu den alten Ägyptern und Indern. Noch heute bestaunt jeder Kenner der Baukunst die unwahrscheinliche Präzision, mit der speziell die Ägypter die Maße und Winkel ihrer Bauwerke ausführten. Es ist dies ein Verdienst der sogenannten Harpedonapten oder Seilspanner gewesen, die durch ihre geometrischen Kenntnisse die Bestimmung der Winkel, vornehmlich der rechten Winkel, ermöglichten. In welcher Art, werden wir sofort erfahren: Stellen wir uns etwa vor, es solle ein riesiger rechteckiger Tempel gebaut werden. Daß dabei schon kleine Abweichungen in der Genauigkeit der Winkelbestimmung eine Rolle spielen, ist klar. Das weiß jeder Maurer und Zimmermann, der stets aufs neue Lot und Winkelmaß anlegt. Die „Seilspanner“ nun, eine Zunft, die der Priesterschaft angehörte, vollführten schon bei der feierlichen Grundsteinlegung des Tempels ihre geometrische Zeremonie. Sie hatten dazu ein sehr langes Seil durch Knoten im Verhältnis $5:3:4$ untergeteilt. Also in folgender Art:

Fig. 15

Die Knoten wollen wir für uns a, b, c, d nennen. Wenn nun der rechte Winkel bei c zu erzielen war, wurde die Strecke 3 durch Pflöcke bei b und c festgemacht. Dann wurde die Strecke 4 ungefähr in den rechten Winkel gestellt und nun die Strecke 5 soweit herumgeschlagen, bis die Punkte a und d zusammenfielen. Wenn man nun die Seile spannte und auch a und d gemeinsam durch einen Pflock festlegte, befand sich bei c ein genauer rechter Winkel. Im Bild (s. Fig. 16). Das Dreieck, dessen Seiten im Verhältnis $3:4:5$ stehen, heißt allgemein das „ägyptische Dreieck“. Daß es ein sogenanntes rechtwinkliges Dreieck ist, sieht man an der Figur.

Aber nicht nur die Ägypter, auch die Priesterschaft der alten Inder besaß einen ähnlichen Kunstgriff, für Altäre und dergleichen rechte Winkel abzustecken.

Fig. 16

Archivo:File:Vom Einmaleins zum Integral - Seite 216 picture cutout.jpg Fig. 16b

Nur benutzte man in Indien merkwürdigerweise ein Dreieck mit dem Seitenverhältnis $15:36:39$. Um uns leichter verständigen zu können, wollen wir gleich hier sagen, daß man die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks die „Hypotenuse“ und die beiden kürzeren Seiten die „Katheten“ nennt. Das ägyptische Dreieck besitzt also die Hypotenuse 5 und die Katheten 4 und 3, während das indische eine Hypotenuse von 39 und zwei Katheten von 36 und 15 hat.

Nun ist das rechtwinklige Dreieck an sich bestimmt nur ein Spezialfall unter allen möglichen Dreiecken. Denn es setzt voraus, daß die Katheten einen Winkel von genau 90° (neunzig Graden) einschließen, wodurch für die beiden anderen Winkel zusammen ebenfalls 90° übrigbleiben. Denn die Winkelsumme im Dreieck ist bekanntlich 180° oder 2 Rechte = 2R (zwei rechte Winkel). Da es nun weiter bekannt ist, daß dem kleineren Winkel die kleinere Seite (und umgekehrt) gegenüberliegt, muß dem rechten Winkel die größte Seite, also die Hypotenuse gegenüberliegen. Nun können wir aber mit Recht vermuten, daß sich diese Beziehung nicht bloß auf ein „Größersein“ oder „Kleinersein“, sondern auf ein ziffernmäßig faßbares „Größer- und Kleinersein“ erstreckt. Das heißt, es ist anzunehmen, daß die drei Seiten irgendwie im Verhältnis der Winkelgrößen und die Winkelgrößen irgendwie im Verhältnis der Seiten ihren Ausdruck finden. Kurz, wir müssen den Verdacht aussprechen, daß bei einem rechtwinkligen Dreieck irgendeine Beziehung besteht, die auch bei den Seiten die Tatsache ausdrückt, daß der rechte Winkel die Summe der beiden anderen Winkel bildet. Wollen wir aber unsere Vermutung prüfen, so sind wir sehr enttäuscht. Denn $4+3=7$ und nicht 5 und $15+36=51$ und etwas ganz anderes als 39. Unsere Annahme hat also sowohl beim ägyptischen als auch beim indischen Dreieck vollkommen versagt.

Sind das also am Ende keine rechtwinkligen Dreiecke? Jedenfalls sprechen die Pyramiden und die indischen Bauwerke nicht für solch eine vernichtende Frage.

Nein, beruhigen wir uns! Es sind genaue, präzise, unübertreffliche rechtwinklige Dreiecke. Sowohl das ägyptische als auch das indische. Nur ist die von uns geahnte Beziehung nicht so einfach, als wir es dachten. Und wenn wir, vorläufig ohne Begründung, unsere Zahlen alle zur zweiten Potenz erheben, sieht die Sache wesentlich anders aus. Denn

$3^{2}+4^{2}=9+16=25$ , also

$3^{2}+4^{2}=5^{2}$ und

$15^{2}+36^{2}=225+1296=1521$, also

$15^{2}+36^{2}=39^{2}$.

Und diese Beziehung ist eine der wichtigsten und unentbehrlichsten Regeln der Geometrie. Sie heißt der „pythagoräische Lehrsatz“ oder in der mittelalterlichen Schülersprache der „pons asinorum“, die Eselsbrücke. Pythagoras selbst, der die Voraussetzungen zu seinem Lehrsatz wahrscheinlich auf seinen Reisen in Ägypten und Indien kennengelernt hatte, soll als Dank für seine Entdeckung den Göttern eine Hekatombe Ochsen geopfert haben).

(Wovon das Gelehrtensprichwort stammt, daß alle Ochsen zittern, wenn etwas Umwälzendes entdeckt wird.)

Wenn wir allgemein die Katheten mit a und b und die Hypotenuse mit c bezeichnen, dann lautet der Satz für jedes rechtwinklige Dreieck

$a^{2}+b^{2}=c2$.

Beweise für den Lehrsatz gibt es sehr viele. Wir wollen einen nicht sehr strengen, doch höchst sinnfälligen zeigen:

Fig. 17

Dem ersten großen Quadrat ist das Quadrat über der Hypotenuse, also $c^{2}$ eingeschrieben. Und man kann sagen: $c^{2}=$ Großes Quadrat minus vier Dreiecke (abc). Im zweiten Fall habe ich in dasselbe große Quadrat die beiden Quadrate über den Katheten, also $a^{2}$ und $b^{2}$ eingeschrieben. Und es ergibt sich:

$a^{2}+b^{2}=$ großes Quadrat minus vier Dreiecke (abc).

Wenn aber zwei Größen einer dritten Größe gleich sind, dann sind sie auch untereinander gleich. Also:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$, was zu beweisen war.

Nun haben wir unseren pythagoräischen Lehrsatz als allgemeines Gesetz aufgestellt und damit behauptet, es gebe soviel in dieser Weise behandelbare Dreiecke als man nur will. Oder mit anderen Worten: Der pythagoräische Lehrsatz sei eine allgemeine Eigenschaft jedes rechtwinkligen Dreiecks.

Wir wollen zuerst unsere neue Formel, da wir sie allgemein bewiesen haben und da schon der Augenschein zeigt, daß es unendlich viele rechtwinklige Dreiecke geben kann, einfach als Gleichung betrachten, bei der man nach dem Algorithmus der Gleichungslehre vorgehen darf. Das heißt, wir können, wenn nur eine Seite des Dreiecks unbekannt ist, diese Seite aus den zwei anderen Seiten berechnen. Zur Hilfe stellen wir uns, noch allgemein, die vorläufigen Lösungen auf, die allerdings quadratisch sind.

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

$a^{2}=c^{2}-b^{2}$

$b^{2}=c^{2}-a^{2}$

Will ich jetzt statt der Quadrate der Seiten, die Seiten selbst berechnen, dann erhalte ich, da ich auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen muß

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$

$b={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$.

(Für unseren Zweck beachten wir nur die positiven Werte der Wurzeln. Von den negativen wird bei den imaginären Zahlen die Rede sein.)

Nun wissen wir aber weiters, daß viele Wurzeln irrationale Ergebnisse liefern. Wir wollen uns dazu sofort ein lehrreiches Beispiel ansehen. Nehmen wir nämlich an, daß die Katheten gleich lang sind und daher nicht a und b, sondern beide a heißen, so erhalten wir für dieses sogenannte gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck

$c^{2}=a^{2}+a^{2}$

$c^{2}=2a^{2}$

$c={\sqrt {2a^{2}}}$

und da man aus $a^{2}$ die Wurzel ziehen kann, schließlich $c=a{\sqrt {2}}$.

Wurzel aus 2 ist aber, weil 2 kein Quadrat einer ganzen Zahl ist, unbedingt irrational. Also auch $a{\sqrt {2}}$.

Fig. 18

Nebenbei bemerkt, kann man zwei rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke zu einem Quadrat aneinanderfügen und c ist dann die sogenannte Diagonale des Quadrates. Daraus ergibt sich, daß die Diagonale des Quadrates zur Seite des Quadrates stets in einem nicht vollständig ausdrückbaren, irrationalen oder incommensurablen Verhältnis steht. Natürlich auch umgekehrt. Denn wähle ich für c eine ganze Zahl und will daraus a berechnen, so erhalte ich, da $2a^{2}=c^{2}$, für $a^{2}$ den Wert $\textstyle {\frac {c^{2}}{2}}$ oder für a den Wert $\textstyle {\frac {c}{\sqrt {2}}}$, was wir auch aus unserer ersten Lösung $c=a{\sqrt {2}}$ hätten entnehmen können.

Irrationalität im geometrischen Sinn ist also nicht die Eigenschaft einer Größe, sondern ihr Verhältnis zu einer anderen, wenn es sich nur in Irrationalzahlen ausdrücken läßt. Und das eben heißt „Incommensurabilität“. Denn es steht mir ja frei, jede beliebige Größe, die ich mit einer anderen vergleichen will, als ganze Einheit oder als ganzes Vielfaches von Einheiten anzunehmen. Zum Überfluß: Wähle ich in unserem Quadrat a als Einheit, dann ist c irrational. Wähle ich dagegen c als Einheit, dann ist a irrational. Daher ist es auch grundfalsch zu sagen, der Kreisumfang sei irrational, da man nach der bekannten Formel $2\pi r=$ Umfang, wobei r der Radius (Halbmesser) des Kreises ist, eben den rationalen Halbmesser mit $2\pi$, also einer Irrationalzahl multiplizieren muß. Wir sind es eben nur gewohnt, daß der Halbmesser gegeben ist. Würde ich aber umgekehrt etwa einen Stahlzylinder solange abdrehen, bis das feinste Präzisionsmeßband mir den Umfang 1 m anzeigte, dann erhielte ich als Radius (Halbmesser) aus der Gleichung: Umfang $=2r\pi$ für r den Wert $\textstyle {\frac {\text{Umfang}}{2\pi }}$, was bestimmt eine Irrationalzahl liefert. Einmal ist also der Umfang, das anderemal der Radius irrational, je nachdem, welche von beiden Größen in rationalen Zahlen gegeben ist.

Pythagoras soll dieses Incommensurable, diese durch keine Regel oder durch kein faßbares Verhältnis ausdrückbare Beziehung in seiner Zahlenmystik als Sinnbild des Lebendigen, das ja stets auch jeder Meßbarkeit trotzt, bezeichnet haben. Wir wollen uns jedoch an dieser Stelle nicht in die Tiefen symbolischer Deutung unserer neuen geometrischen Kabbala verlieren, sondern eine echt kabbalistische Frage aufwerfen. Wir verlangen nämlich eine Regel, nach der wir alle möglichen ganzzahligen rechtwinkligen Dreiecke erzeugen können. Also nicht nur etwa das ägyptische und das indische, sondern soviele als wir wollen.

Wir entnehmen zu diesem Zweck, ohne auf die Ableitung einzugehen, der vorzüglichen Formelsammlung von Prof. 0. Th. Bürklen (neubearbeitet von Dr. F. Ringleb, Sammlung Göschen) eine Tabelle, die unsere Frage beantwortet. Sind nämlich u und v zwei beliebige ganze positive Zahlen, wobei $u>v$, so ergeben sich rationale rechtwinklige Dreiecke aus den Formeln $c=u^{2}+v^{2}$, $a=u^{2}-v^{2}$, $b=2uv$.

u	v	u2 + v2 = c	u2 - v2 = a	2uv = b
2	1	5	3	4
3	1	10	8	6
3	2	13	5	12
4	1	17	15	8
4	2	20	12	16
4	3	25	7	24
5	1	26	24	10
5	2	29	21	20

Außerdem ist es noch gestattet, die Seiten der in dieser Art festgestellten Dreiecke, etwa des ägyptischen, mit jeder beliebigen positiven ganzen Zahl zu multiplizieren, worauf man wieder eine neue Unendlichkeit ganzzahliger rationaler rechtwinkliger Dreiecke erhält. Also z. B.

$(3\cdot 13)^{2}=(3\cdot 12)^{2}+(3\cdot 5)^{2}$

$(3\cdot 5)^{2}=(3\cdot 4)^{2}+(3\cdot 3)^{2}$

$15^{2}=12^{2}+9^{2}$

$225=144+81=225$.

So ist auch das indische Dreieck nach unserer Tabelle

$(3\cdot 13)^{2}=(3\cdot 12)^{2}+(3\cdot 5)^{2}$

$39^{2}=36^{2}+15^{2}$.

Auch durch ganzzahlige Division muß ich eine weitere Unendlichkeit von rationalen Dreiecken erhalten, die allerdings nicht mehr ganzzahlige, sondern in Brüchen ausgedrückte Seiten besitzen. Etwa

$\textstyle ({\frac {1}{4}}\cdot 5)^{2}=({\frac {1}{4}}\cdot 4)^{2}+({\frac {1}{4}}\cdot 3)^{2}$

$\textstyle {\frac {25}{16}}={\frac {16}{16}}+{\frac {9}{16}}$

Ich kann noch weiter gehen und mit anderen als Stammbrüchen multiplizieren. Z. B.

$\textstyle ({\frac {3}{7}}\cdot 5)^{2}=({\frac {3}{7}}\cdot 4)^{2}+({\frac {3}{7}}\cdot 3)^{2}$

$\textstyle ({\frac {15}{7}})^{2}=({\frac {12}{7}})^{2}+({\frac {9}{7}})^{2}$

$\textstyle {\frac {225}{49}}={\frac {144}{49}}+{\frac {81}{49}}$

(Allgemein gesprochen, ist jede Form (mc)²=(ma)²+(mb)² erlaubt, wobei m eine rationale Zahl (ganz oder gebrochen) und a, b und c eine der unendlich vielen Zahlen der Tabelle oder ein rationales Vielfaches dieser Zahlen ist.)

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