Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 083c

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Mathematik von A bis Z (Teil 20)

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Zwanzigstes Kapitel

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Winkel-Funktionen

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Wir wollen uns aber nicht verlieren. Denn eine neue große Aufgabe erheischt unsere vollste Aufmerksamkeit. Wir ahnten nämlich schon bei der Ableitung des pythagoräischen Lehrsatzes eine gewisse zwangsläufige Beziehung zwischen den Winkeln und Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Spezialwissenschaft, die diese zwangsläufigen Beziehungen erforscht, heißt bekanntlich die Trigonometrie. Und diese „Beziehungen“ heißen, was wir schon aus dem Auftreten des Wortes „zwangsläufig“ argwöhnten, die goniometrischen oder die Winkel-Funktionen.

Natürlich werden wir uns auch diesen Einzelzweig der Mathematik nicht allzulange betrachten können. Wir werden aber einige Grundsätze kennenlernen, da sie später in engste Beziehung zur Differentialrechnung treten.

Zeichnen wir uns zuerst einen beliebigen Kreis, den wir durch zwei aufeinander senkrecht stehende Durchmesser in vier Viertelkreise oder sogenannte Quadranten zerlegen (s. Fig. 19).

Wenn wir uns nun weiters vorstellen, daß ein Radius (r) gleichsam aus seiner Ruhelage OA in der Richtung des Pfeiles um den Mittelpunkt des Kreises gedreht wird, bis er schließlich wieder in die neue Ruhelage OB gelangt, dann sind durch den Schenkel OA und den beweglichen Radius alle Winkel von 0° bis 90° entstanden. Wir dürfen es ja als bekannt voraussetzen, daß der ganze Kreis in 360 Grade und sonach ein Viertelkreis in 90 Grade geteilt wird. Jedem dieser Kreisgrade entspricht ein Winkelgrad am Mittelpunkt.

Fig. 19

Stände der Radius etwa am Kreis bei 45 Bogengraden, dann ist der Winkel bei 0, der diesem Kreisbogen entspricht, ebenfalls 45 Grade usw. Wir können jetzt also sagen, daß der Winkel $\alpha$ (Alpha) unter unserer Voraussetzung im ersten Quadranten (Viertelkreis) alle Werte von 0 bis 90 Graden annimmt. Wenn wir weiters von dem Punkt, an dem der bewegliche Radius r jeweils den Kreis trifft und den wir etwa C nennen, auf die Ausgangsstrecke OA ein Lot fällen (l), dann entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse der Radius und dessen Katheten das Lot 1 und der Abschnitt p auf der Ausgangsstrecke sind. Dieses Dreieck wird in zwei Lagen verschwinden bzw. zu einer geraden Linie zusammenschmelzen. Zuerst, wenn der bewegliche Radius noch auf der Ausgangsgeraden OA liegt, zweitens aber, wenn er die Endgerade OB überdeckt. Dazwischen liegen im ersten Viertelkreis unendlich viele rechtwinklige Dreiecke, deren Winkel $\alpha$ natürlich bei jedem anders ist.

Die Grundfrage der „Trigonometrie“ nun lautet, wie wir diesen Winkel $\alpha$ bestimmen sollen, wenn wir nur die Seitenlangen des rechtwinkligen Dreiecks kennen. Daß ein Zusammenhang besteht, ist augenscheinlich. Denn im punktierten Dreieck, dessen Winkel a größer ist als 45°, habe ich bei gleichgebliebener Hypotenuse andere Katheten vor mir, die ich l₁ und p₁ nennen will.

Das Einfachste wäre wohl, die Winkelbestimmung aus der dem Winkel gegenüberliegenden Kathete l bzw. l₁ vorzunehmen. Wir haben aber schon beim pythagoräischen Lehrsatz gesehen, daß die Dinge nicht so einfach liegen. Und deshalb müssen wir auch hier etwas Komplizierteres versuchen. Nämlich den Winkel durch das Verhältnis zweier Seiten auszudrücken. Als alte Mathematiker entsinnen wir uns, daß wir aus drei Seiten nach den Regeln der Kombinatorik 6 verschiedene Verhältnisse je zweier Seiten bilden können. Denn die drei Seiten sind die „Elemente“ und die Verhältnisse sind Zweiergruppen der Variation ohne Wiederholung; also Variationsamben. Die Formel lautet

$\textstyle {\binom {3}{2}}\cdot 2!={\frac {3\cdot 2}{1\cdot 2}}\cdot 1\cdot 2=6$.

Und die Verhältnisse wären:

$r:l,r:p,l:p,l:r,p:r,p:i$.

Tatsächlich sind das alle sogenannten „Winkelfunktionen“. Wir zeichnen uns das rechtwinklige Dreieck noch einmal auf:

Fig. 20

Und nennen außerdem gleich die Namen der sechs Funktionen.

l:r ist der „Sinus“ d. Winkels (Gegenkath. z. Hyp.),

p:r ist der „Cosinus“ d. Winkels (Ankath. z. Hyp.),

l:p ist der „Tangens“ d. Winkels (Gegenkath. z. Ankath.),

l:l ist der „Cotangens“ d. Winkels( Ankath.z.Gegenkath.),

r:p ist der „Secans“ d. Winkels (Hyp. z. Ankath.),

r:l ist der „Cosecans“ d. Winkels (Hyp. z. Gegenkath.).

(„Hyp.“ bedeutet Hypotenuse, „Ankath.“ die dem Winkel a anliegende, „Gegenkath.“ die dem Winkel a gegenüberliegende Kathete.)

Normalerweise werden nur die ersten vier Funktionen benützt, so daß man nicht zu erschrecken braucht. Wir wollen aber den Schrecken noch weiter mildern. Wir benötigen für unsere Zwecke eigentlich bloß die Tangensfunktion. Gleichwohl werden wir uns aus prinzipiellen Gründen zuerst das Verhalten der Sinusfunktion im ersten Kreisviertel ansehen. Hiezu machen wir einen Kunstgriff. Da der Sinus das Verhältnis der dem Winkel $alpha$ gegenüberliegenden Kathete l zum Radius r ist, so wählen wir einen sogenannten Einheitskreis, das heißt einen Kreis mit dem Halbmesser eins, was wir ja dürfen, da kein Mensch uns die Größe des Halbmessers vorschreibt oder vorschreiben kann. Dadurch aber wird unser Sinus zu l:1, also zu l, und wir haben das erreicht, was wir ursprünglich anstrebten: Wir können nämlich jetzt die Größe des Winkels direkt auf die Länge der gegenüberliegenden Seite, also des Lotes l reduzieren und haben dadurch in zauberhafter Art einen Winkel in eine meßbare Länge verwandelt. Da aber weiters der „Radius 1“ so groß sein kann als man will, da wir ja den Radius selbst zur Einheit machten, gilt diese „wirkliche Länge des Sinus“ für alle Fälle, vorausgesetzt, daß wir das Lot in Radien messen. Das aber heißt ja wieder nichts anderes, als daß eben „Sinus $\alpha$“ das Verhältnis $l:1$ oder $\textstyle {\frac {l}{1}}$ oder l dividiert durch 1 darstellt.

Fig. 21

In der Zeichnung ist also l, l₁, l₂, l₃, usw. jeweils die Größe des Sinus von $\alpha$, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$, usw. Und ich kann sofort sagen, daß der Sinus von 0 Graden 0 beträgt, während der Sinus von 90 Graden gleich dem Radius selbst ist, also nach unserem Maßsystem den Wert 1 hat. Der Sinus wächst sonach im ersten Viertelkreis vom Wert 0 zum Wert 1 und kann dazwischen sämtliche Zahlenwerte (auch irrationale!) annehmen, die zwischen 0 und 1 liegen. Er drückt sich nämlich durchaus nicht nur in Form von gemeinen Brüchen aus. Denn bei $\alpha =45^{\circ }$ etwa ist l die halbe Diagonale eines Quadrates mit der Seite r oder nach dem pythagoräischen Lehrsatz:

$r^{2}=l^{2}+l^{2}$ oder

$r={\sqrt {2l^{2}}}=l{\sqrt {2}}$ oder

$\textstyle l={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {1{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$,

was sicherlich eine Irrationalzahl ist.

Wir wollen diese Gedankengänge jedoch nicht weiter verfolgen, sondern bloß anmerken, daß man in der Praxis gewöhnlich nicht die „wirklichen Längen“, sondern die Logarithmen der wirklichen Längen beniitzt. In den Logarithmenbüchcrn findet man die Logarithmen der Winkelfunktionen berechenbar bis auf Sekunden angegeben (1 Grad = 60 Minuten. Eine Minute = 60 Sekunden oder 1° = 60', $1'=60''$).

Nun wollen wir in ähnlicher Art die Tangensfunktion, die uns besonders wichtig ist, erforschen. Wir vermuten, daß das Wort irgendwie mit dem Begriff der „Tangente“ zusammenhängt. Und wir werden uns jetzt eine Maschine konstruieren, bei der dieser Zusammenhang auch zum Ausdruck kommt. Da Tangens α gleich ist l:p, werden wir jetzt einen anderen Kunstgriff machen müssen. Denn jetzt wollen wir das p als Einheit. Daher darf jetzt der wandernde Schenkel („Vektor“) nicht mehr der Radius selbst sein, sondern eine andere Gerade. Wir zeichnen:

Fig. 22

Fig. 23

Wir gewinnen jetzt unser $l:p=l:r=l:1$ als Abschnitt auf einer Tangente des Einheitskreises. Jetzt ist der Radius eine Kathete, während die andere Kathete und die Hypotenuse veränderlich sind. Unser Gerät folgt in der Konstruktion dem soeben gezeichneten Schema. Wir sehen den Einheitskreis, den Radius = 1, die Tangente, auf der wir als Maßzahlen Radiuslängen auftragen, und endlich die um den Mittelpunkt drehbare Kathete, die auf der Tangente gleitet. Den Winkel α können wir direkt von einem an der Hypotenuse angebrachten Winkelmesser oder „Transporteur“ ablesen.

Beim Winkel 0 ist auch die Tangensfunktion gleich 0, da 0:1 gleich Null ist. Dann aber wächst die Tangensfunktion, deren Wert sich jeweils auf der „Tangente“ ablesen läßt, rasch an. Bei α=45° ist Tangens α gleich 1, bei 60° gleich 1,73205, bei 70° gleich 2,74748, bei 80° gleich 5,67128, bei 85° gleich 11,43005, bei 89° gleich 57,28996, bei $\textstyle {89{\frac {5}{6}}}^{\circ }$ schon 343,77371 und endlich bei 90° plus unendlich, da ich mit meiner beweglichen Kathete die Tangente überhaupt nicht mehr erreichen kann. Wie man sieht, geht das ungeheuerste Wachstum zwischen $\textstyle {89{\frac {5}{6}}}$ und 90 Grad, und zwar in schnell zunehmendem Tempo, vor sich.

Nun wird man mit Recht fragen, wozu die Trigonometrie gebraucht wird. Wir behaupten, den Tangens, die Tangensfunktion, für unsere Zwecke in der höheren Mathematik dringend zu benötigen. Das kann aber nicht der alleinige Grund sein, eine so komplizierte und dabei recht schwierige Wissenschaft aufzubauen.

Daher verraten wir kurz, daß man die Trigonometrie überall dort unbedingt braucht, wo aus Dreieckseiten Winkel und wo aus Winkeln Dreieckseiten zu berechnen sind. Oder, wo ich aus einer Kombination von Dreieckseiten und Winkeln die übrigen Seiten und Winkel gewinnen will. Raumentfernungen werden trigonometrisch bestimmt. Die ganze Geodäsie (die Erdvermessungskunde) beruht auf trigonometrischen Methoden.

Man kann etwa die Höhe eines Berges wie des Mount-Everest, den noch niemand bestiegen hat, aus großer Entfernung dadurch genau messen, daß man in der Ebene eine gemessene Basislinie wählt, die Bergspitze mit einem Theodoliten (einem Winkelbestimmungsfernrohr) anvisiert und nun aus den Dreiecken die Kathete berechnet, die eben die Höhe des Berges darstellt.

Fig. 24

Durch Bestimmung des Winkels α und des Winkels β (kleines griechisches Beta) gewinne ich den Winkel γ (Gamma), der ja nichts anderes ist als (180°— β). Dadurch wieder wird δ (Delta) als [180°-(α+γ)] bekannt. Weiters ist (β+ε)=90°, folglich ε gleich (90-β). Wenn ich aber alle Winkel kenne, weiß ich auch den Wert der Winkelfunktionen und kann nach verhältnismäßig einfachen Formeln der Trigonometrie aus der Basis und den Winkeln α und γ zuerst die Länge einer „Visierlinie“ und aus dieser und α bzw. β die Höhe h berechnen.

Die Artillerie bedient sich beim Schießen auf entfernte Ziele ähnlicher Methoden.

Doch wir wollen nicht tiefer in die an sich hochinteressante Trigonometrie und vor allem nicht in die Trigonometrie auf der Kugel (die sogenannte sphärische Trigonometrie) eindringen, welch letztere in der Geographie und Astronomie begreiflicherweise eine ungeheuere Rolle spielt. Wir wollen vielmehr der höchsten Vollständigkeit halber und als Einführung in ein neues wichtiges Gebiet der Geometrie, einen neuen Typus von Zahlen, die recht unheimlichen imaginären Zahlen kennenlernen, deren graphische (bildliche) Darstellung erst dem mathematischen Riesengeist Karl Friedrich Gauß (1777—1855) gelang.

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