Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 084c

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Mathematik von A bis Z (Teil 21)

21

Einundzwanzigstes Kapitel

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Imaginäre Zahlen

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Nach unserer schon zur Gewohnheit gewordenen Methode wollen wir dieses schwere Gebiet mit einfachsten Überlegungen betreten. Wir erinnern uns, daß uns das Wurzelausziehen die erste große zahlentheoretische Überraschung gebracht hat: Es lieferte uns die irrationalen Zahlen. Und wieder ist es das Rechnen mit Wurzeln, das uns ins Feld des Imaginären einführt. Imago heißt zu deutsch Abbild, allerdings mit einer leisen Nebenbedeutung der Unwirklichkeit. Daher heißt auch imaginatio soviel wie Einbildung oder Trugbild. Es haftet also unseren Zahlen schon von vornherein eine beinahe degradierende Bedeutung an. Man nannte sie auch früher geradezu „unmögliche“ Zahlen.

Wir wollen aber jetzt ihre Entstehung zeigen, anstatt sie weiter anzukündigen. Wenn wir uns an unser „Symbolkalkül“ erinnern, an jenen einfachsten Fall dieses Kalküls, nämlich an die „Befehlsverknüpfung“ der Plus- und der Minuszeichen, dann entsinnen wir uns auch der merkwürdigen Tatsache, daß man nach erfolgter Verknüpfung mit dem besten Willen nicht mehr eindeutig auflösen kann, wenn man nicht weiß, wie die Verknüpfung zustande gekommen ist. Kein Mensch kann sagen, ob ein Plus die Multiplikation zweier Plus oder die Multiplikation zweier Minus in sich enthält. Schreibe ich einfach ($+2^{2}$) hin, dann könnte dieses $a^{2}$ ebensogut aus $(+a)\cdot (+a)$ als aus $(-a)\cdot (-a)$ entstanden sein. Bei gewöhnlichen Zahlen ist diese Frage uninteressant. Das heißt, sie wird bei den vier einfachen Rechnungsarten nicht aktuell oder bedeutsam. Denn bei der Addition geht es mich ebensowenig an, wie unser (+a²) zustande kam, als bei der Subtraktion. Es ist eben (+a²) und ich habe es weiter als (+a²) zu behandeln. Ebenso bei der Multiplikation und bei der Division. Denn wenn ich selbst durch (+a) oder durch (-a) dividiere, erhalte ich ein richtiges eindeutiges Resultat, unabhängig davon, wie (+a²) zustande gekommen ist. Nehmen wir an, es wäre aus (-a)•(-a) zusammengesetzt. Dann ergibt Division durch (+a):

$\textstyle {\frac {(-a)\cdot (-a)}{(+a)}}=$$\textstyle {\frac {(-a)\cdot [(+a)\cdot (-1)]}{(+a)}}=$$\textstyle {\frac {(-a)\cdot (+a)\cdot (-1)}{(+a)}}=$$\textstyle {\frac {(-a)\cdot (-1)}{1}}=$$(+a)$

Division durch (-a) aber:

$\textstyle {\frac {(-a)\cdot (-a)}{(-a)}}=(-a)$.

Wäre es aber aus $(+a)\cdot (+a)$ entstanden, dann hätte ich bei der Division durch (+a) einfach

$\textstyle {\frac {(+a)\cdot (+a)}{(+a)}}=(+a)$

und bei Division durch (-a)

$\textstyle {\frac {(+a)\cdot (+a)}{(-a)}}=$$\textstyle {\frac {(+a)\cdot [(-a)\cdot (-1)]}{(-a)}}=$$\textstyle {\frac {(+a)\cdot (-a)\cdot (-1)}{(-a)}}=$$(+a)\cdot (-1)=$$(-a)$

Unsere vier Ergebnisse wären aber auch ohne Frage nach der Herkunft des Pluszeichens bei (+a²) durch gewöhnliche algebraische Division richtig erschienen. Denn nach Ausmultiplikation der jeweiligen Zähler ergibt sich $(+a^{2}):(\pm a)$, also entweder $(+a^{2}):(+a)$ oder $(+a^{2}):(-a)$. Daß $(+a^{2}):(+a)=(+a)$ und $(+a^{2}):(-a)=(-a)$, verursacht uns weder Kopfzerbrechen, noch gibt es zu irgendeiner Vieldeutigkeit Anlaß.

Anders beim Wurzelziehen. Da, wie wir eben zum Überdruß anschrieben, sowohl $(+a)\cdot (+a)$ als auch $(-a)\cdot (-a)$ das gleiche, nämlich $(+a^{2})$ liefert, habe ich bei der Auflösung, der Lysis, in der „Wurzel aus $(+a^{2})$“ in ${\sqrt {a^{2}}}$ eine mehrwertige Zahl vor mir. Denn, wenn es auch sicher ist, daß der absolute Wert der Wurzel $|a|$ sein muß, weiß ich über das Vorzeichen dieses a gar nichts und kann es auch aus dem Symbol ${\sqrt {a^{2}}}$ allein nie erfahren. Ich muß also als ehrlicher Mensch dieses Nichtwissen eingestehen und offen anschreiben : ${\sqrt {a^{2}}}=\pm a$, das heißt entweder (+a) oder (-a). Diese Unsicherheit gilt nicht für alle Wurzelrechnungen.

Bei ${\sqrt[{3}]{a^{3}}}$ etwa, weiß ich bestimmt, daß die Lösung (+a) sein muß. Denn $(-a)\cdot (-a)\cdot (-a)$ ergäbe $(-a)^{3}$. Woraus weiter folgt, daß ${\sqrt[{3}]{(-a)^{3}}}$ eben (—a) ist. Bei der vierten Wurzel, also bei ${\sqrt[{4}]{a^{4}}}$ gerate ich wieder in Verlegenheit. Denn $(+a)^{4}$ kann ebensogut aus $(+a)\cdot (+a)\cdot (+a)\cdot (+a)$, als aus $(-a)\cdot (-a)\cdot (-a)\cdot (-a)$ hervorgegangen sein. ${\sqrt[{4}]{a^{4}}}$ ist also wieder $(\pm a)$, plus oder minus a. Wir sehen hier schon ein Bildungsgesetz. Nach den Regeln der „Befehlsverknüpfung“ ergibt eine gerade Anzahl von Pluszeichen ebenso Plus wie eine gerade Anzahl von Minuszeichen. Da aber Potenzen stets soviel Vorzeichen in sich bergen, als der Potenzanzeiger angibt, sind die Wurzeln mit geradem ganzzahligen Wurzelanzeiger mehrwertig, die Wurzeln mit ungeradem Wurzelanzeiger einwertig in ihrer Lösung. Allgemein

${\sqrt[{2n}]{r}}=[\pm s]$, ${\sqrt[{2n+1}]{r}}=[+s]$, ${\sqrt[{2n+1}]{-r}}=[-s]$.

Soweit hätten wir die Sache aufgeklärt. Nun kann uns aber kein Mensch daran hindern, zu fragen, was der Wert einer „geraden“ Wurzel ist, wenn die zu lösende Größe, also der sogenannte Radikand, ein negatives Vorzeichen hat. Etwa

${\sqrt[{2n}]{-r}}=?$

Wir sind in keiner Weise imstande, diese an sich berechtigte Frage zu beantworten. Denn in dem bisher von uns durchforschten Zahlengcbiet finden wir keine Art von negativen Zahlen, die als Ergebnis einer geradzahligen Potenzicrung entstehen könnten. Jede Zahl zur 2n-ten Potenz muß als Vorzeichen das Plus haben. Wenn aber der Radikand nicht als 2n-te Potenz irgendeiner Art von Zahl aufgefaßt werden kann, dann ist eine Wurzel eben nicht zu ziehen. Weder allgemein, noch konkret, weder als ganze, noch als gebrochene, noch als irrationale, weder als positive, noch als negaLivc Zahl.

Wir stehen also vor einem unleugbar neuen, uns noch durchaus unbekannten Zahlentypus, der die seltsame Eigenschaft besitzt, daß seine 2n-te Potenz eine negative Zahl liefert. Da nun — wie sich zeigen wird — alle diese Zahlen sich schließlich auf Quadratwurzeln von (-1) zurückführen lassen, wollen wir vorläufig die Allgemeinheit aufgeben und nur mehr von der zweiten Wurzel aus (-1), der ${\sqrt {-1}}$ sprechen, die sicherlich ein Spezialfall unseres allgemeinen Problems ist. Wir werden diese ${\sqrt {-1}}$ als die neue Zahl i einführen. Unsere ${\sqrt {-1}}$ leistet deshalb so gute Dienste, weil etwa

${\sqrt {-15}}=$${\sqrt {(-1)\cdot (+15)}}=$$({\sqrt {(-1)}}({\sqrt {(15)}}=$$i{\sqrt {15}}=$.

Bei dieser Gelegenheit sei die ganze Heimtücke der etwas tiefer dringenden Mathematik an einer vom berühmten Zahlentheoretiker Dedekind gestellten Aufgabe gezeigt. Wir wissen, daß ${\sqrt {-1}}$ sowohl (+1) als (-1) ergeben kann. Wir nennen „Wurzel aus eins“ einfach r und kümmern uns nicht weiter um das Resultat, da ja in der „Wurzel aus eins“ beide Werte (-1) und (+1) stecken, die wir ohne Fehler wahlweise verwenden dürfen. Wir hätten angenommen, daß $(r+l)=(+2)$, was sich durch Benützung der Pluslösung von $r={\sqrt {1}}$ ergibt. Für $(r-1)$ wählen wir die Minuslösung für r und erhalten (-2). Nun multiplizieren wir zuerst allgemein

$(r+l)\cdot (r-l)=r^{2}+r-r-1=r^{2}-l$.

Da $r={\sqrt {1}}$ ist $r^{2}$ auf jeden Fall (+1) und $r^{2}-1=1-1=0$. Hätten wir jedoch unsere Ergebnisse (+2) und (-2) miteinander multipliziert, dann hätten wir als Wert für $(r+1)\cdot -(r-1)$ die Zahl (—4) erhalten. Da nun weiters $(r+l)=(+2)$ also von 0 verschieden war und dasselbe für $(r-1)=(-2)$ galt, aus $r^{2}-1$ sich aber Null ergab, folgt, daß es Fälle gibt, in denen die Multiplikation zweier von Null verschiedener Zahlen je nach der Art, in der wir multiplizieren, einmal einen von Null verschiedenen Wert und einmal Null liefert, was unseren bisherigen Algorithmus vollkommen sprengt.

Wir stoßen aber bei unseren neuen imaginären Zahlen noch auf andere Unbegreiflichkeiten. Hätten wir etwa ${\sqrt {-9}}\cdot {\sqrt {-4}}$ zu multiplizieren, dann würde ich nach dem bisher Erforschten ruhig ${\sqrt {(-9)\cdot (-4)}}$ anschreiben, wie ich etwa

${\sqrt {16}}\cdot {\sqrt {4}}={\sqrt {16\cdot 4}}={\sqrt {64}}=\pm 8$ berechnen kann. Ich erhielte also

${\sqrt {(-9)\cdot (-4)}}={\sqrt {+36}}=\pm 6$

Nun wird man erstaunt sein, daß ich behaupte, dieses Ergebnis sei direkt falsch. Denn ${\sqrt {-9}}=i{\sqrt {9}}$ und ${\sqrt {-4}}=i{\sqrt {4}}$, somit

${\sqrt {-9}}\cdot {\sqrt {-4}}=i{\sqrt {9}}\cdot i{\sqrt {4}}=i^{2}{\sqrt {9\cdot 4}}=i^{2}\cdot {\sqrt {36}}=(-1){\sqrt {36}}=-{\sqrt {36}}=\pm 6$.

Im letzten Ergebnis haben sich wohl nur die Vorzeichen $\pm$ auf $\mp$ umgekehrt. Hätte ich aber etwa die ${\sqrt {36}}$ als m bezeichnet, dann ist es wohl ein gewaltiger Unterschied, ob ich (+m) oder (-m) als Ergebnis der Multiplikation erhalte. Denn die Vorzeichenumkehrung im allerletzten Resultat ist ja erst eine weitere Befehlsverknüpfung zwischen $(-1)$ und $+{\sqrt {36}}$.

Aber noch andere sonderbare Fälle ergeben sich bei imaginären Zahlen. Der große Physiker und Mathematiker Huygens war mit Recht erstaunt, als ihm Leibniz die Aufgabe vorlegte,

${\sqrt {1+{\sqrt {-3}}}}+{\sqrt {1-{\sqrt {-3}}}}$ zu berechnen, und dazu noch behauptete, das einfache Resultat dieser Rechnung sei die greifbare Zahl 2,4494897..., nämlich die ${\sqrt {6}}$. Wie ist es möglich, rief Huygens etwa aus, daß aus der Summe zweier Wurzeln, die in sich die Summen und Differenzen von eins mit imaginären Wurzeln enthalten, zum Schluß eine, wenn auch irrationale, so doch positive, greifbare Zahl resultiert? Durch welche schauerlichen Abgründe, setzen wir fort, muß jenseits aller menschlichen Erfaßbarkeit, die unfehlbare Mühle unseres Algorithmus diese Unbegreiflichkeiten gezerrt haben, um sie endlich zur Begreiflichkeit aufzulösen? Oder ist das Ganze nichts als ein formales Spiel? Verfolgen wir die Entstehung unseres Ergebnisses. Es soll sein

${\sqrt {1+{\sqrt {-3}}}}+{\sqrt {1-{\sqrt {-3}}}}={\sqrt {6}}$.

Zur Probe quadrieren wir auf beiden Seiten. Also

a)

${\sqrt {1+{\sqrt {-3}}}}+{\sqrt {1-{\sqrt {-3}}}}\cdot$${\sqrt {1+{\sqrt {-3}}}}+$${\sqrt {1-{\sqrt {-3}}}}=$${\sqrt {6}}\cdot {\sqrt {6}}$

b)

${\sqrt {1+{\sqrt {-3}}}}\cdot {\sqrt {1+{\sqrt {-3}}}}+$${\sqrt {1-{\sqrt {-3}}}}\cdot$${\sqrt {1+{\sqrt {-3}}}}+$${\sqrt {1+{\sqrt {-3}}}}\cdot$${\sqrt {1-{\sqrt {-3}}}}+$${\sqrt {1-{\sqrt {-3}}}}\cdot$${\sqrt {1-{\sqrt {-3}}}}=$$6$

c)

${\sqrt {(1+{\sqrt {-3}})^{2}}}+$$2{\sqrt {(1-{\sqrt {-3}})(1+{\sqrt {-3}})}}+$${\sqrt {(1-{\sqrt {-3}})^{2}}}=$$6$

d)

$1+{\sqrt {-3}}+2{\sqrt {1-{\sqrt {-3}}+{\sqrt {-3}}-{\sqrt {(-3)^{2}}}}}+$$1-{\sqrt {-3}}=$$6$

e)

$1+{\sqrt {-3}}+2{\sqrt {1-(-3)}}+$$1-$${\sqrt {-3}}=$$6$

f)

$1+{\sqrt {-3}}+2{\sqrt {4}}+1-{\sqrt {-3}}=6$

g)

$1+4+1=6$

oder 6 = 6.

Wir haben also Leibnizens Behauptung glänzend verifiziert. Um aber solchen Unbeholfenheiten der Rechnung, wie wir sie eben „leisteten“, in Zukunft nicht mehr ausgesetzt zu sein, wollen wir uns zwei einfache Handwerksregeln merken. Nämlich

$(a+b)(a-b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}$,

das heißt Summe mal Differenz gleicher Größen ergibt die Differenz der Quadrate dieser Größen,

$(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$;

$(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$,

das heißt das Quadrat der Summe oder der Differenz zweier Größen ist stets die Summe der Quadrate dieser beiden Größen plus oder minus dem „doppelten Produkt“ der beiden Größen. Dies nur nebenbei. Wir hatten ausgeführt, daß wir die imaginäre Einheit, ${\sqrt {-1}}$, mit dem Buchstaben i (imaginär) benennen.

Verbindet sich das i in irgendeiner Art additiv oder subtraktiv mit einer „reellen“ Zahl, dann sprechen wir von einer „komplexen“ Zahl, deren allgemeine Forin als $a+bi$ geschrieben werden kann. Liegen dagegen, wie im Beispiel Huygens-Leibniz, zwei komplexe Zahlen der Formen $(a+bi)$ und $(a-bi)$ vor, dann heißen sie „konjugiert komplexe“ Zahlen. Die Multiplikation konjugiert komplexer Zahlen ergibt sofort reelle Zahlen, da ja

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$, also

$(a+bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}i^{2}=$$a^{2}-b^{2}({\sqrt {-1}})^{2}=$$a^{2}-b^{2}(-1)=$$a^{2}+b^{2}$,

wo das i offensichtlich herausgefallen ist. Aber auch die Quadrierung konjugiert komplexer Zahlen ergibt reelle Werte. Denn:

$[(a+bi)+(a-bi)]^{2}=$$(a+bi)^{2}+2(a^{2}-b^{2}i^{2})+(a-bi)^{2}=$$a^{2}+2abi+b^{2}i^{2}+2a^{2}-$$2b^{2}i^{2}+a^{2}-2abi+b^{2}i^{2}=$$4a^{2}+2b^{2}i^{2}-2b^{2}i^{2}=$$4a^{2}$.

Da wir nun alle Typen von Zahlen kennen, wollen wir, bevor wir uns an die Aufgabe der „Sichtbarmachung“ imaginärer Zahlen wagen, gleichsam den Stammbaum oder die Familienübersicht der Zahlen feststellen:

1. Reelle Zahlen.

A. Rationale Zahlen.

a) Ganze rationale Zahlen (2, 4, 99).

b) Gebrochene rationale Zahlen ($\textstyle {\frac {5}{7}}$; 0,25; 0,3 usw.).

B. Irrationale Zahlen $({\sqrt[{4}]{25}});3{,}141592\dots =\pi {\text{usw.}}$.

a) Surdische Zahlen $(5+{\sqrt[{4}]{25}})$

2. Imaginäre Zahlen.

a) Die Zahl $i={\sqrt {-1}}$.

b) Komplexe Zahlen (a+bi).

c) Konjugiert komplexe Zahlen (a+bi) ... (a-bi).

Eine weitere Einteilung könnte noch unterscheiden:

a) Konkrete Zahlen (7; ${\sqrt[{4}]{25}}$; $5+i{\sqrt {13}}$ usw.).

b) Allgemeine Zahlen (a, c, ${\sqrt[{n}]{p}}$, $\textstyle {\frac {r}{s}}$, $a-di$ usw.).

c) Unbekannte Zahlen (x, y, z usw.).

d) Veränderliche Zahlen [$y=f(x)$, $z=5y+3x$ usw].

Schließlich hätten wir noch die Unterscheidung in:

A. Positive und negative Zahlen (+5), $-{\sqrt {a}}$, $\pm 3x$ usw.).

B. Absolute Zahlen ($|7|$, $\textstyle |{\frac {3}{16}}|$, $|a|$, $|d-ni|$, $|y|$).

Damit sind wir endgültig und unwiderruflich auf der letzten Spitze eines ins Imaginäre erhöhten Zahlenberges angelangt. Es gibt noch Kuriositäten wie die „Quaternionen“ Hamiltons und sogenannte hyperkomplexe Zahlen usw. Wir können aber mit der von uns erreichten Höhe mehr als zufrieden sein. Denn wir sind mit unserem Besitz imstande, in jedes Gebiet der Mathematik tiefer einzudringen.

Kehren wir jetzt zur gewöhnlichen „Zahlenlinie“ zurück, die uns schon sooft ausgezeichnete Dienste für die Veranschaulichung verwickelter Zahlbegriffe leistete. Und sehen wir zu, wie wir unsere ebenso merkwürdigen als unheimlichen imaginären Zahlen, diesen wahrhaften Zahlenspuk, dabei einordnen oder unterbringen können. Wir hätten uns also die Zahlenlinie gezeichnet und versuchen einmal verschiedene Verwandlungskunststücke.

Fig. 25

Um allgemein rechnen zu können, betrachten wir irgendein Stück des positiven Astes oder Teiles der Zahlenlinie und nennen es a. In unserem Fall haben wir für a die Zahl 5 gewählt. Wir könnten natürlich dem a jeden anderen endlichen absoluten Wert erteilen. Wenn wir nun den Nullpunkt als Drehpunkt auffassen, dann können wir unser (+a) solange herumschlagen, bis es das (absolut) gleich große (-a) vollständig überdeckt, mit ihm identisch wird, sich gleichsam in (-a) verwandelt. Wir haben dabei zwei vollkommen willkürliche Festsetzungen gemacht. Zuerst haben wir gerade den linken Teil der Zahlenlinie als Aufmarschlinie der Minuswerte eingeführt. Und zweitens haben wir einen, der Richtung des Uhrzeigers entgegenlaufenden „Drehsinn“ als sogenannte positive Drehung deklariert. Wie also, fragen wir noch einmal, wurde aus (+a) plötzlich (-a)? Was mußten wir geometrisch und arithmetisch ausführen, um zu diesem Ergebnis zu gelangen? Geometrisch, das leuchtet ein, haben wir eine sogenannte „Halbkreisdrehung“ gemacht, wir haben das (+a) um 180 Grade um den Nullpunkt gedreht. Wenn wir nun weiters dieser Drehung gleichsam eine arithmetische Bedeutung verleihen wollen, die unseren allgemeinen Algorithmus nicht stört, dann müssen wir „zur Erhaltung des Algorithmus“ wohl behaupten, eine solche Drehung von 180° entspreche der Multiplikation mit (-1). Das sieht wie ein Zirkelschluß aus, wird aber bald seine große Fruchtbarkeit erweisen. Denn wir wissen dadurch schon, daß $(+a)\cdot (-1)=(-a)$. Das (-1) nennen wir den „Drehungsfaktor“. Wollte ich nun in unserem Drehsinn weiter drehen, dann würde das (-a) wieder nach 180° sich in (+a) verwandeln und wir hätten arithmetisch: (-a) mal dem Drehungsfaktor (-1) gibt (+a). Unser Algorithmus klappt also bisher ganz gut.

Nun wollen wir den Kunstgriff des großen Karl Friedrich Gauß selbstforschend nacherleben. Was geschieht, fragen wir, wenn wir nicht um 180°, sondern bloß um 90° drehen? Was wird da aus unserem (+a)? Daß es, absolut genommen, in jeder Phase der Drehung den Wert |a| hat, ist schon deshalb klar, weil es der Halbmesser a eines gewöhnlichen, in Entstehung begriffenen Kreises ist. Aber welches Vorzeichen hat dieses neue, nunmehr senkrecht nach oben stehende |a|? Wir behaupten, weil wir es so wollen, das Vorzeichen der nach oben gerichteten Linie sei (+). Und würden behaupten, daß +|a| „natürlich“ (+a) sei. Das ist nun gar nicht natürlich. Denn wenn die erste 90grädige Drehung am Vorzeichen nichts geändert hat, warum soll dann die zweite plötzlich das Vorzeichen in (-) ändern? Daß dem aber so ist, zeigt nachstehendes Bild.

Fig. 26

Der Drehungsfaktor kann doch nicht einmal (+1) und dann bei einer anschließenden gleich großen Drehung (-1) sein? Ein solcher „alternierender“ Drehungsfaktor wäre für uns unerträglich. Und würde unerträglich bleiben. Denn wenn wir etwa die Drehung wieder um 90° fortsetzten, müßten wir logischerweise die nach unten gerichtete senkrechte Achse mit (-) annehmen und es würde sich nichts ändern, das heißt der Drehungsfaktor wäre (+1). Versuchen wir jedoch den vierten Viertelkreis, dann springt das Plus wieder in Minus um, denn (-a) muß mit (-1) multipliziert werden, um das als Ausgangslage gewählte (+a) zu liefern. Kurz, ein höchst unbefriedigender Zustand, der noch unbefriedigender wird, wenn wir behaupten müßten, 180 Graden entspreche der Drehungsfaktor (-1) und jeder Hälfte dieser 180 Grade abwechselnd (+1) und(-1).

Nun haben wir aber ein Mittel, uns aus diesem Zwiespalt zu befreien. Wir suchen einfach, wie groß der „Drehungsfaktor“ bei 90 Graden sein muß! Suchen, wie groß etwas uns noch Unbekanntes sein muß, heißt aber nichts anderes, als mit einer Gleichung operieren. Es hängt also in unserem Falle alles nur davon ab, ob wir auch eine Gleichung ansetzen können. Bekannt ist uns, daß 180° dem Faktor (-1) entspricht. Wir wissen also, daß der Faktor für 180° die Zahl (-1) ist. Diese Zahl (-1) aber soll aus zwei Halbdrehungen von je 90 Graden entstanden sein. Daher ergibt sich, wenn wir den unbekannten Drehungsfaktor für 90 Grade x nennen, daß $a\cdot x$ der Wert für 90 Grade ist. Drehe ich aber um noch 90 Grade, dann muß ich noch einmal mit diesem Drehungsfaktor x multiplizieren. Also $(a\cdot x)\cdot x$ soll gleich sein $a\cdot (-1)$. Oder als Gleichung

$(ax)x=a(-1)$

Nach Division durch a:

$x^{2}=(-1)$

$x=\pm {\sqrt {-1}}$.

Zu unserem maßlosen Erstaunen haben wir die Zahl i als Drehungsfaktor für 90 Grade gewonnen; da mit aber auch die Zahlenlinie für die imaginären Zahlen. Und eine geradezu mystische Entdeckung zeigt uns, daß die imaginären Zahlen senkrecht zum Nullpunkt der „reellen“ Zahlenlinie verlaufen. Der Algorithmus hat aber noch für etwas gesorgt. Nämlich für die Möglichkeit, jeden absoluten Wert um 90° zu drehen: eine Tatsache, die uns ein Verfolgen der Drehung in allen vier Viertelkreisen offenbaren wird. Wir gehen wieder von $(+a)$ aus. Drehen wir jetzt um 90°, dann erhalten wir $(+ai)$. Weitere 90° ergeben $(+ai)i$, also ${\displaystyle }$(+aia). Da aber $i^{2}=-1$, so ergibt sich nach 180° die Zahl $(-a)$, was ersichtlich stimmt. Nach Durchlaufung des dritten Viertelkreises halten wir bei $(-a)\cdot (+i)=-ai$ und nach den restlichen 90° bei

$(-ai)\cdot i=(-a)\cdot i^{2}=(-a)(-1)=(+a)$.

Wenn wir uns vergegenwärtigen, was das heißt, dann können wir uns nur vorstellen, daß alle Zahlen, also die imaginären und die reellen zusammen, eigentlich auf einer Fläche liegen oder, richtiger gesagt, zusammen nur auf einer Fläche dargestellt werden können. Denn ein rechtwinkliges „Achsenkreuz“ ist nur in einer Fläche möglich. Es setzt die sogenannte „zweite Dimension“ voraus.

Nun sind wir aber noch durchaus nicht zufrieden und wollen unsere neuen Erkenntnisse verwerten. Zu diesem Zweck zeichnen wir uns neuerlich die Achsen unserer „Zahlenfläche“, diesmal jedoch mit konkreten Zahlen (s. Fig. 27).

Die waagrechte Achse, also unsere gewöhnliche reelle Zahlenlinie, nennen wir die x-Achse, ihre beiden Teile ${\displaystyle }$(+x) und ${\displaystyle }$(-x). Die imaginäre Linie benennen wir dagegen y-Achse, ihren oberen Teil, der die ${\displaystyle }$(+i) enthält, ${\displaystyle }$(+y), den unteren Teil mit den ${\displaystyle }$(-i) dagegen ${\displaystyle }$(-y). Diese Achsenbezeichnung gilt konventionell für alle Achsensysteme, welchem Zweck sie auch dienen. Wir werden mit ihnen noch viel zu tun haben.

Fig. 27

Nun interessiert es uns zuerst, ob die imaginäre Zahlenachse ebenso dicht ist wie die reelle. Denn davon hängt offensichtlich die Dichtheit und Erfülltheit der ganzen Zahlenfläche ab. Wäre die imaginäre Achse nicht ebenso dicht besetzt wie die reelle, dann könnte ich natürlich nicht jeden, auch den winzigsten Punkt der Zahlenfläche (und dies noch dazu an beliebigster Stelle) mit einer Kombination aus imaginären und reellen Zahlen besetzen. Doch wir greifen vor. Denn wir wissen noch gar nicht, ob eine solche Kombination graphisch möglich ist und wie sie aussieht.

Nun überlegen wir folgendermaßen: Unser i ist eigentlich aucli eine Art von „Befehl“. Nämlich der Befehl, mit ${\sqrt {-1}}$ zu multiplizieren. An sich hat jede Zahl $a$ ihren absoluten Wert $|a|$. Gleichgültig ob dieses $|a|$ eine ganze, gebrochene oder irrationale Zahl ist. Ich kann das $|a|$ gleichsam im natürlichen positiven Teil der reellen Zahlenlinie stets finden. Denn „denkhistorisch“ ist dieser Teil der Zahlenlinie der Ausgangspunkt für alles Weitere. Dort lagen zuerst die natürlichen Zahlen, dort schoben wir die Brüche und dann die Irrationalzahlen ein. Jetzt aber wird erst die „Befehlsfrage“, die Vorzeichenfrage, aktuell. Algebraisch verbinde ich jetzt $|a|$ mit Plus oder Minus und gewinne dadurch $(+a)$ oder $(-a)$. Dann kann ich durch Vierteldrehung noch weitere Befehlsverknüpfungen erzielen. Nämlich $(+ai)$ und $(-ai)$. Der Plus-i-Befehl heißt: „Senkrecht aus der Null um $|a|$ hinauf!“ Der Minus-i-Befehl dagegen: „Senkrecht aus der Null um $|a|$ hinunter!“ Unser erstes Problem ist damit gelöst. Das absolute $|a|$ gilt für alle vier Achsenteile gleichartig. Es wird nur durch „Vorzeichen“ oder durch „i“-Befehle verändert. An der Dichtheit der imaginären Achse ist also kein Zweifel. Sie ist gestaltgleich, isomorph mit der reellen Achse.

Und es gibt ja tatsächlich 4 Zahlen wie $\textstyle {\frac {1}{5}}i$, $\textstyle {\frac {1}{17}}i$, $\textstyle i\cdot {\sqrt[{4}]{25}}$, $\textstyle {\frac {16b}{9i}}$, $\textstyle {\frac {9i}{5}}$ usw. Man könnte i wie ein Vorzeichen oder wie einen Koeffizienten behandeln und schreiben:

$\textstyle i\cdot {\frac {1}{5}}$, $\textstyle i\cdot {\frac {1}{17}}$, $\textstyle i\cdot {\sqrt[{4}]{25}}$, $\textstyle {\frac {1}{i}}\cdot {\frac {16b}{9}}$, $\textstyle i\cdot {\frac {9}{5}}$ usw.

Nun fragen wir aber weiter: Wie also sehen additive oder subtraktive Kombinationen reeller und imaginärer Zahlen aus? Kurz, wie verbildliche ich die „komplexen“ (lateralen) Zahlen der Form $(a\pm ib)$? Daß ich die „Paarung“auf einer Achse kaum vornehmen kann, ist klar. Denn Drehungsfaktoren der Form $(+1)$ oder $(-1)$ drehen die Zahl $|a|$ auf die reelle Achse, Drehungsfaktoren der Form $(\pm i)$ dagegen auf die imaginäre. Ich hätte also eigentlich, wenn ich Drehungsfaktoren anschreibe, die allgemeinste Art von Zahlen, die komplexen, so zu schreiben:

$(\pm 1)|a|\pm (\pm i)|b|$.

Nun hängt der ganze Unterschied imaginärer oder reeller Zahlen nur mehr davon ab, ob $|a|$ und $|b|$ von 0 verschieden sind oder nicht. Ist $|a|$ gleich Null, dann bleibt $(\pm i)|b|$ übrig, das heißt eine imaginäre Zahl $(\pm ib)$. Wird ${\displaystyle }$|b| gleich Null, dann bleibt $(\pm 1)|a|$, das heißt die reelle Zahl $(\pm a)$. Werden $|a|$ und $|b|$ gleichzeitig 0, dann entsteht die 0 selbst.

(Die daher eigentlich keine Zahl, sondern ein einzeln dastehender Grenzbegriff, gleichsam der Ursprungsort aller Zahlen ist. Die 0 kann auch als Buchstabe groß O gelesen werden: 0 = Origo, der Ursprung!)

Ist dagegen $|a|$ gleichzeitig mit $|b|$ von 0 verschieden, dann haben wir eben unser allgemeinstes, umfassendstes Schema einer Zahl überhaupt, nämlich den „Komplex“, die Zusammenfassung aller Zahlenmöglichkeiten, die komplexe oder laterale Zahl.

Zur Verbildlichung müssen wir uns fragen, was solch ein Befehl $a+bi$ oder $a-bi$ u. dgl. eigentlich bedeutet, $a$ oder $(+a)$ heißt, man solle auf der Plusseite der Zahlenlinie um a vorrücken. Konkret etwa bis 3. Und $bi$ heißt, man möge gleichzeitig, senkrecht dazu, um $bi$, konkret etwa um $4i$, in die Höhe steigen. Dies ist aber ein Bewegungsvorgang, eine kinematische oder phoronomische Aufgabe. (Kinema = Bewegung; Phoronomie = abstrakte, allgemeine Bewegungslehre.) Und zwar ist das Endziel der Bewegung durch eine, gleichzeitig in zwei senkrecht aufeinander stehenden Richtungen erfolgende Bewegung erreichbar: muß sich also als Ergebnis dieser beiden Bewegungen darstellen. Kurz, der Endpunkt muß gleichzeitig dem reellen und dem imaginären Befehl entsprechen. Zeichnen wir einmal dieses $(3+4i)$ (s. Fig. 28).

Unsere Aufgabe ist gelungen: Die „komplexe Zahl“ liegt außerhalb der Achsen in der Zahlenfläche! Nun wollen wir zur weiteren Verdeutlichung komplexe Zahlen in allen vier Viertekreisen (Quadranten) zeichnen (s. Fig. 29).

Die Vorzeichen- und i-Befehle dürften jetzt klar sein. Besonders bemerkenswert ist die Zahl im Quadranten IV, da hier die imaginäre Komponente außerdem noch irrational ist. Nämlich $-\pi \cdot i$, was soviel heißt wie $-(3,1415926\dots )\times {\sqrt {-1}}$.

Fig. 28

Fig. 29

So interessant und fruchtbar die weitere Theorie der imaginären Zahlen wäre, auf deren systematischer Verwendung einer der höchsten Teile der höheren Mathematik, die sogenannte „Funktionentheorie“ oder „Theorie komplexer Veränderlicher“ beruht, würden wir unserer Aufgabe untreu, wenn wir weiter verweilten. Wir beschränken uns also darauf, anzumerken, daß wir für uns die „komplexen Zahlen“ einfach als algebraische „Mehrglieder-Ausdrücke“ ansehen und mit ihnen vorsichtig aber unbefangen innerhalb der vier Grundoperationen rechnen können. Denn in letzter Linie ist auch das i nur ein „Apfel“. Allerdings muß man bei konkreter Ausrechnung stets beachten, daß das i eben ${\sqrt {-1}}$ bedeutet. Wir kommen aber für alle Berechnungen mit unseren Gesetzen der „Befehlsverknüpfung“ sicherlich aus.

Daß man bei den vier Grundrechnungsarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) auch bei Auftreten imaginärer Zahlen in keine Schwierigkeiten gerät, haben wir soeben angedeutet. Wir wollen aber dieses Geisterreich der Mathematik, in dem Zusammenhänge zwischen Zahlen und Formen offenbar werden, die im grellen Licht der reellen Zahlen kein menschliches Auge ahnt, doch nicht verlassen, ohne wenigstens einen kleinen Vorgeschmack der Wunder dieses Geisterreichs gegeben zu haben. Daher verraten wir, daß die Potenzierung von i, der Eigenschaft des i als Drehungsfaktor entsprechend, einen Zyklus liefert, der folgendermaßen verläuft:

$i^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}=(-1)^{\frac {2}{2}}=(-1)^{1}=-1$

$i^{3}=i^{2}\cdot i=(-1)\cdot i=-1$

$i^{4}=i^{3}\cdot i=(-i)i=(-1)i^{2}=+1$

$i^{5}=i^{4}\cdot i=(+1)\cdot i=+1$

$i^{6}=i^{5}\cdot i=(+i)i=i^{2}=-1$

usw.

Oder allgemein:

$i^{4n}=+1$

$i^{4n+1}=+i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

$i^{4n+4}=+1$

usw., wobei als n die natürlichen Zahlen von 1 bis zu jeder endlichen Größe eingesetzt werden dürfen.

Noch schwieriger und mystischer als die Potenzierung gestaltet sich das Wurzelziehen aus imaginären und komplexen Zahlen. Da unser Hauptbestreben dabei stets darauf gerichtet bleibt, alle höheren Wurzeln aus $(-1)$ auf Quadratwurzeln aus $(-1)$, also auf i-Werte zu reduzieren, wurden durch verschiedene geniale Kunstgriffe und unter Zuhilfenahme der Idee des Drehungsfaktors zahlreiche Formeln für diesen Zweck abgeleitet, deren Entwicklung uns zu weit führen würde.

(Ein Koeffizient des i macht dabei keine Schwierigkeit. Wir können ihn stets reell machen. So ist etwa ${\sqrt[{12}]{-9}}={\sqrt[{12}]{9}}\cdot {\sqrt[{12}]{-1}}={\sqrt[{12}]{9}}\cdot {\sqrt[{6}]{1}}$, allgemein ${\sqrt[{2n}]{-a}}={\sqrt[{2n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{1}}$!)

Wir begnügen uns also damit, anzudeuten, daß die Quadratwurzel einer komplexen Zahl $a+bi$ folgendermaßen berechnet wird:

${\sqrt {a\pm bi}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}{2}}}\pm i\cdot {\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}}$,

eine Formel, die natürlich auch für Quadratwurzeln aus i selbst verwendet werden kann, da ja i nichts anderes ist als eine komplexe Zahl $(a+bi)$, bei der $a=0$ und $b=\pm 1$. Die ${\sqrt {i}}$ ergibt somit nach unserer Formel $\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}+i{\frac {1}{\sqrt {2}}}$ und die Wurzel ${\sqrt {-i}}$ nach derselben Formel $\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}-i{\frac {1}{\sqrt {2}}}$.

Daß die Wurzel aus i nicht mehr rein imaginär, sondern komplex wird, ist daraus begreiflich, daß sie nicht mehr auf der i-Achse, sondern in der Zahlenfläche liegt.

Ganz allgemein ist jede n-te Wurzel aus i, die wir nur mühsam und schrittweise aus obiger Formel durch fortgesetztes Wurzelziehen finden könnten, wobei außerdem nur die 2., 4., 8., 16., 32. usw. Wurzel unmittelbar zugänglich wäre, durch eine andere Formel leicht und sicher zu berechnen. Sie lautet:

$\textstyle {\sqrt[{n}]{1}}=\cos({\frac {90}{n}})^{\circ }+\cdot \sin({\frac {90}{n}})^{\circ }$

wobei das n beliebig groß sein darf. Aus diesem letzten Beispiel kann der Leser schon die dämonischen Möglichkeiten unseres imaginären Geisterreichs ahnen: Eine n-te Wurzel aus i hat sich plötzlich in eine komplexe, aus Winkelfunktionen gebildete Zahl verwandelt. Im Geisterreich binden und lösen sich eben die Gegensätze der unteren Welten!

Nun, im wohlerworbenen Besitz des gesamten Zahlen-Kosmos, wollen wir unsere Erfahrung in der Befolgung von Bewegungsbefehlen für einen Zweck verwenden, der uns in überraschendster Weise all das zur Einheit verbindet, was wir bisher als weltenweit voneinander getrennte Gebiete zu betrachten gewohnt waren.

Eine lange historische Entwicklung hat diese Entdeckung der „analytischen Geometrie“ oder der „Koordinaten“ von Apollonios von Perge über scholastische Klosterforschungen, über Nicole von Oresme (14. Jahrhundert) und über Johannes Kepler tastend bis zu Fermat und Descartes geführt. Mit dem Namen des Descartes (Cartesius) aber, der als junger Reiteroffizier in ungarischen Winterlagern, mitten in den Schrecknissen des Dreißigjährigen Krieges, diese Kunst der „Analysis“ zu einer vorläufigen Vollendung trieb, wollen wir Ehrfurcht vor dem Genius unbeirrbarer geistiger Schaffenskraft unlöslich verbinden.

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