Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 109c

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Geschichte der Mathematik (Teil 9)

Wir sagten schon, daß die Philosophie des Seins dem der Harmonie zugewandten Geist der Hellenen durchaus gemäß War. Die Griechen haßten das Uferlose, Unbegrenzte, Formlose. Und sie wollten nicht an Dinge rühren, die, über das Menschenmaß hinausreichend, eigentlich den Göttern gehörten. So wurde auch Prometheus, der Übermenschliches erstrebt hatte, mit Ketten an den Kaukasus geschmiedet und die Adler des Zeus fraßen an der Leber des hilflos gemachten Titanen.

War es sinnbildhaft, daß, fast zu gleicher Zeit mit dem Ruhespender Parmenides, am entgegengesetzten Ende hellenischen Gebietes, in Ephesos, ein Mann zu lehren begann, der nicht bloß äußerlich dem Kaukasus näher war? Der all das prometheische Feuer in Hellas entfesselte oder zumindest solcher Entfesselung die geistige Unterlage lieh? Er hieß Heraklit und wurde schon im Altertum der „dunkle Heraklit“ genannt, was wohl nicht bloß allein wegen der epigrammatischen Kürze seiner Weisheiten, sondern mindestens ebenso wegen des Inhalts seiner Lehren geschah, die jenes zweite Wesen des Griechengeistes spiegelte, der sich manchmal eruptiv Luft machte und den mühsam errungenen Kosmos, die schwer erkämpfte Harmonie wieder ins Wanken brachte. Heraklit stellte dem Sein der Eleaten das ewige Werden entgegen. „Alles fließt“ und „Der Widerstreit ist Vater des Allgeschehens“ sind seine obersten Grundsätze, die sofort aus dem ewig Ruhenden das unterbrechungslos Veränderliche machen und das Sein zu einem ungreifbaren schattenhaften Übergangspunkt zwischen Vergangenheit und Zukunft degradieren. Diese Lehre wirkt aber, ebenso wie die eleatische, bestimmend auf das Reich der Mathematik ein. Denn schon die Linie ist, heraklitisch gesehen, nicht mehr eine Perlenschnur von einander benachbarten, gleichwohl aber getrennten Punkten, sondern sie wird zur Bewegungsspur eines fortschreitenden Punktes und wird damit stetig oder kontinuierlich. Damit aber ist in irgendeiner Form auch das streng verpönte, nur den Göttern erfaßbare Unendliche in die Geometrie gebracht, da ein Kontinuum, um wirklich stetig zu sein, aus unzähligen Punkten bestehen muß.

[Von den verschiedenen „Mächtigkeiten“ der unendlichen Mengen im Sinne der Mengentheorie sprechen wir auf dieser Stufe noch nicht.]

Aber nicht die Lehre des Heraklit allein begleitete jene Zeit, deren Vorwärtssturm zu euklidischer Formvollendung wir bereits geschildert haben. Außer der dunklen Mahnung des Irrationalen wurden in diesen Jahrhunderten, insbesondere im fünften vorchristlichen Jahrhundert, die drei sogenannten klassischen Probleme aufgestellt, die durch ihre Lösungsschwierigkeit das Geheimnis aller mathematischen Bemühung so recht offenbarten; und die an der Möglichkeit voller und endgültiger Harmonie zweifeln und verzweifeln ließen. Zuerst das Problem der Winkeldreiteilung und das delische Problem oder die Würfelverdoppelung, das zudem noch sakrale, mystische Schauer auslöste. In ihrer, Not, bedrängt von Ungemach und Seuchen, hatten sich die Delier an das Orakel zu Delphi um Hilfe gewandt und dort die Auskunft erhalten, der Zorn des Gottes könne nur dadurch versöhnt werden, daß sein Altar in Delos verdoppelt würde. Nun hatte aber dieser Altar die Gestalt eines Würfels, und man mußte nach mancher Bemühung erkennen, daß die Problemlösung mit den konstruktiven Mitteln von Zirkel und Lineal nicht gelang, was uns Heutigen sofort erklärlich ist, weil es sich bei der Würfelverdoppelung um Auflösung der drittgradigen (kubischen) Gleichung :v3 = 2a3 handelt und mit Zirkel und Lineal höchstens quadratische Gleichungen behandelt werden können. Das dritte der Probleme aber war die Quadratur des Kreises, mit der sich, wie schon erwähnt, bereits Anaxagoras beschäftigt haben soll.

Wir sind außerstande, all die mannigfaltigen und genialen Versuche zur Lösung dieser drei Probleme auszuführen, die, wie festgestellt werden soll, wirkliche und ernst zu nehmende Lösungen ergaben. Wir wollen nur erwähnen, daß sich gelegentlich dieser Problemlösungen eine „Bewegungsgeometrie“ entwickelte, die stets neue und stets kompliziertere Kurven entdeckte. Die sogenannte „Einschiebung“ war auch nichts anderes als die Hinzufügung einer Bewegungskonstruktion zu den bisherigen Hilfsmitteln von Zirkel und Lineal.

Nun trat aber ein neues Geheimnis hinzu, das bei der versuchten Quadratur des Kreises offenbar wurde. Während nämlich ein Teil der Mathematiker fest davon überzeugt war, die Flächen- oder Raumausmessung krummlinig begrenzter Gebilde müsse naturnotwendig zu irrationalen, also stets nur zu angenähert richtigen Ergebnissen führen, glaubte der andere Teil der Geometer bloß an die Unvollkommenheit der bisherigen Methoden. Eine tiefere Erkenntnis müßte rationale Ergebnisse ermöglichen. Der Zufall wollte es, daß die zweite Ansicht in augenfälliger Weise durch die Möndchenkonstruktionen des Hippokrates von Chios Stütze und Bestätigung erhielt. Dem Hippokrates war es nämlich unwiderleglich gelungen, seine Möndchen, also allseitig krummlinig begrenzte Figuren, mit einem rechtwinkligen Dreieck in ein streng rationales Verhältnis zu setzen. Der damaligen Geometrie war es bereits ein Leichtes, dieses Dreieck in ein flächengleiches Quadrat zu verwandeln, wodurch die erste glatte Quadratur einer krummlinig begrenzten Figur geleistet war. Es konnte also niemand mehr behaupten, der Flächeninhalt derartiger Gebilde sei seinem Wesen nach nur durch irrationale Inhaltszahlen ausdrückbar.

Die große Hoffnung, die Hippokrates bei allen, die sich um die Quadratur bemühten, erweckt hatte, wollte sich aber durchaus nicht erfüllen, und so mußte man wieder zu einer Methode seine Zuflucht nehmen, der allerdings der Makel des verpönten „Unendlichen“ untilgbar anhaftete. Wir erwähnten schon, daß der Atomistiker Demokrit als erster den Inhalt der Pyramide und des Kegels als ein Dritteil des gleich hohen Prismas bzw. Zylinders gleicher Grundfläche festgestellt hatte, indem er die Gebilde in dünne Scheiben zerschnitt. Das war, sollte sie taugen, unleugbar eine Operation mit unendlich kleinen Größen. Man hatte aber für die Quadratur und Kubatur noch eine zweite Methode, die darin bestand, daß man die krummlinige Figur durch geradlinig begrenzte Figuren stets mehr und mehr ausfüllte und schließlich sämtliche geradlinig begrenzten Figuren aufzusummieren trachtete. Sollte diese Methode nicht ein bloßer Näherungsprozeß sein, dann mußte man wohl oder übel eine Summe unendlich vieler Summanden bilden. Wie machte man aber das? Vor allem: würde eine derartige Summe nicht notwendigerweise als Ergebnis eine unendliche Größe liefern müssen, selbst wenn die Summanden noch so klein waren? Also Problem über Problem und Widerspruch über Widerspruch. Aber zeigte nicht wieder das Ergebnis des Hippokrates bei seinen „Möndchen“, daß derartiges möglich sein mußte? Ein rationales Quadraturergebnis war ohne solche Möglichkeiten undenkbar.

In diesem Schwanken der Begriffe stand nun wieder ein Riesengeist auf, dessen Tat nicht hoch genug angeschlagen werden kann, da sie bis auf den heutigen Tag zureichend und gültig geblieben ist. Eudoxos, ein Zeitgenosse des Platon, beseitigte nämlich das Dilemma zwischen „unendlich“ und „endlich“ mit einem Schlage dadurch, daß er den Begriff des „beliebig Kleinen“ einführte und den sogenannten Grenzübergang logisch sicherstellte. Er erklärte nämlich: „Wenn man von einer Größe die Hälfte oder mehr als die Hälfte wegnimmt und diesen Vorgang hinreichend oft wiederholt, dann kann man stets zu einer Größe gelangen, die kleiner ist als irgendeine gegebene Größe derselben Art“. Wir können also nach Eudoxos ins beliebig Kleine so weit vorstoßen, als wir wollen. Die Folge der Größen strebt unter der angegebenen Bedingung, die wir heute eine Konvergenzbedingung nennen, stets weiter und weiter gegen Null. Wir schreiben für den Satz des Eudoxos heute

lim α · β · γ ... = 0 für α, β, γ ≤ $\textstyle {\frac {1}{2}}$

und wissen, daß diese Folge tatsächlich konvergent ist. Ihre vollstandige Aufsummierung muß also ein endliches Resultat liefern, weil die zunehmende Anzahl der Summanden durch ihre zunehmende Kleinheit entsprechend aufgewogen wird. Die Folge und die aus der Folge gebildete Reihe hat einen angebbaren Grenzwert, der bei der Folge 0 und bei der Reihe eine endliche Zahl ist. Nun war die Forderung des Eudoxos alles eher denn graue Theorie. Wir sehen aus den Elementen des Euklid an mehreren Stellen, wie die Methode des Eudoxos gehandhabt wurde. Euklid beweist nämlich den Satz, daß sich zwei Kreise zueinander wie die Quadrate ihrer Durchmesser verhalten, dadurch, daß er die Kreise als Polygone beliebig großer Seitenanzahl ansieht. Denn er hat eben bewiesen, daß sich einbeschriebene ähnliche Polygone verhalten wie die Quadrate der Durchmesser des Kreises, in den sie einbeschrieben sind. Um nun zu zeigen, daß der Kreis wirklich als Polygon mit beliebig großer Seitenanzahl betrachtet werden kann, werden die Segmente, die zwischen Polygon und Kreis bleiben, durch Dreiecke gefüllt, die fortschreitend der Forderung des Eudoxos entsprechen, deren Größe also unter jedes beliebige Maß gebracht werden kann. Dadurch ist der Kreis „ausgeschöpft“. Und da ausschöpfen auf lateinisch exhaurire heißt, nannte man diesen Beweis im siebzehnten Jahrhundert den „Exhaustionsbeweis“. An einer zweiten Stelle führt Euklid den Exhaustionsbeweis, um zu zeigen, daß zwei dreiseitige Pyramiden gleicher Höhe sich im Volumen zueinander verhielten Wie die Flächeninhalte ihrer Grundflächen. Es wird außerdem über Eudoxos berichtet, daß er die Entdeckung Demokrits betreffend das Volumen von Pyramide und Kegel durch den „Exhaustionsbeweis“ sichergestellt habe.

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