Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 070b

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Lección 070

Mathematik auf Deutsch - 20

BM951 - BM960

BM951

Menge

vermengen = mischen, vermischen

Die geriebenen Mandeln vermenge man mit dem Rosenwasser und dem Puderzucker!

Blutmenge

Abfallemge

Geldmenge

Fettmenge

Getreidemenge

Treibstoffmenge

Wirkstoffmenge

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Menschenmenge

Ich habe ihn in der Menge verloren.

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gebrauchen

Gebrauch

Nur für den Dienstgebrauch!

Privatgebrauch

gebräuchlich

ungebräuchlich

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Natürliche Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Formelzeichen ℕ abgekürzt.

ℕ

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Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 usw. Oft wird auch die 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gezählt. Die Menge der natürlichen Zahlen bildet mit der Addition und der Multiplikation zusammen eine mathematische Struktur, die als kommutativer Halbring bezeichnet wird.

Die Menge der natürlichen Zahlen umfasst entweder die positiven ganzen Zahlen (also ohne die 0)

• ℕ = { 1 ; 2 ; 3 ; ... }

oder die nichtnegativen ganzen Zahlen (also inklusive der 0)

• ℕ = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... }

Beide Konventionen werden uneinheitlich verwendet. Die ältere Tradition zählt die Null nicht zu den natürlichen Zahlen (die Null wurde in Europa erst ab dem 13. Jahrhundert gebräuchlich).

In der Logik, der Mengenlehre und der Informatik ist dagegen die Definition mit Null gebräuchlicher und vereinfacht die Darstellung. Im Zweifelsfall ist die verwendete Definition explizit zu nennen.

Für die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null führte der matehmatiker Dedekind 1888 das Symbol N ein. Sein Symbol wird heute oft als Buchstabe N mit Doppelstrich stilisiert (ℕ).

Ab 1894 gebrauchte Giuseppe Peano für die natürlichen Zahlen mit Null das Symbol N₀, das heute ebenfalls stilisiert und nach Peano durch $\mathbb {N} _{0}:=\mathbb {N} \cup \{0\}$ definiert wird.

Wird jedoch das Symbol $\mathbb {N}$ für die natürlichen Zahlen mit Null verwendet, dann wird die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null mit $\mathbb {N} _{+}{\text{, }}\mathbb {N} ^{+}{\text{, }}\mathbb {N} ^{*}{\text{, }}\mathbb {N} _{>0}{\text{, }}\mathbb {N} _{1}\,{\text{ oder }}\,\mathbb {N} \setminus \{0\}\,$ bezeichnet.

Die DIN-Norm 5473 verwendet zum Beispiel $\mathbb {N}$ für die nichtnegativen ganzen Zahlen und $\mathbb {N} ^{*}$ für die positiven ganzen Zahlen. Deutsche Schulbücher orientieren sich in einigen Bundesländern an dieser DIN-Norm, in anderen, z. B. in Bayern, nicht.

Letztlich ist es eine Frage der Definition, welche der beiden Mengen man als natürlicher ansehen und welcher man somit diese Bezeichnung als sprachliche Auszeichnung zukommen lassen will.

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„a - 1“ ist der Vorgänger von a (falls a ≠ 0)

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„a + 1“ ist der nachfolger von a (falls a ≠ 0)

Zu jeder natürlichen Zahl a gibt es einen eindeutig bestimmten Nachfolger (a - 1) bzw. Vorgänger (a + 1)

Es gibt zwar eine natürliche Zahl, die Zahl 0, aber keine letzte natürliche Zahlen, denn zu jeder Zahl a kann man den Nachfolger „a + 1“ bilden.

Für die Darstellung dieser unendlich vielen Zahlen kommt man jedoch mit endlich vielen Zeichen aus. Im dekadischen Positionssystem sind dies die Ziffern 0, 1, 2, ... , 9.

BM952

Ende

endlich

unendlich

Unendlichkeit

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Der Begriff Unendlichkeit bezeichnet die Negation bzw. Aufhebung von Endlichkeit, weniger präzise auch deren „Gegenteil“. Sein mathematisches Symbol ist das Unendlichzeichen $(\infty )$.

Theoretisch beschreibt der Begriff „unendlich“ ein Objekt, welches kein Ende oder Schluss hat, aber einen Anfang oder Beginn haben kann, in der Geometrie würde also ein Strahl oder eine Kreisbahn als unendlich beschrieben werden.

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Die Unendlichkeit lässt sich geistes- oder naturwissenschaftlich nur abstrakt in der Vorstellung entwickeln und wird auf Objekte und Begriffe angewendet, die keine räumlichen oder zeitlichen Grenzen haben. In der Theologie und manchen philosophischen Konzeptionen ist die Unendlichkeit eines der Attribute Gottes, während die Schöpfung per se endlich ist.

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In der Astronomie wurde angesichts der Tiefe und Weite des Sternhimmels oft die Vorstellung eines unendlich ausgedehnten Weltraums entwickelt. Auch in Bezug auf die Zeit ist das Konzept der Unendlichkeit bekannt, hier verwendet man den Begriff Ewigkeit.

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Neben der unendlichen Ausdehnung zu immer weiter zunehmenden Größen wird der Begriff auch für die unendliche Teilbarkeit, das unendlich Feine verwendet, dessen Grenze null ist, null aber nicht erreicht.

Aus der Negation des unendlich Feinen und deren Paradoxien ergab sich die ursprüngliche griechische „Atomtheorie“ des „Unteilbaren“.

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Die „unendliche Menge“ ist ein komplementärer Begriff zur „endlichen Menge“.

Unendliche Werte werden in der Mathematik durch das Unendlichzeichen $(\infty )$ dargestellt.

BM953

Konditorei

Konditor

abstrahieren

Abstraktion

abstrakt

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Division durch Null

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Beispiel aus einer Konditorei: Wenn man einen Kuchen zwischen null Personen aufteilen möchte, wie viel vom Kuchen bekommt dann jede Person?

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Es ist nicht möglich, die Frage zu beantworten, da niemand da ist, der die Kuchen bekommen könnte. Übersetzt man diese Frage in die Sprache der Mathematik und abstrahiert von allen möglichen außermathematischen Bedeutungen, wird aus der anschaulichen Frage „Wie verteile ich etwas auf 0 Plätze?“ das rein mathematische Problem „Wie dividiere ich durch 0?“.

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Die Division durch 0 ist deshalb nicht ausfürhbar, weil „a : 0“ für keine Zahl a ein eindeutig bestimmtes Ergebnis hätte.

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Die Division als Grundrechenart wird oft als Aufteilung einer Menge von Objekten in gleiche Teile erklärt.

Als Beispiel können wir annehmen, dass 10 Kekse gleichmäßig auf 5 Teile verteilt werden sollen. Jede Person würde also ${\tfrac {10}{5}}$ = 2 Kekse erhalten.

Genauso rechnet man, wenn 10 Kekse an lediglich eine Person verteilt werden sollen. Diese eine Person würde ${\tfrac {10}{1}}$ = 10 Kekse erhalten.

Was geschieht nun bei der Division durch Null? Wie viel Kekse würde jede Person erhalten, wenn 10 Kekse gleichmäßig auf Null Personen aufgeteilt werden sollen?

Es ist unmöglich 10 Kekse an „Niemanden“ zu verteilen.

${\tfrac {10}{0}}$ ist nicht definiert oder mit anderen Worten: Die Frage nach einer Division durch Null ergibt keinen Sinn.

BM954

Definitionen

Eine Definition ist die Bestimmung eines Begriffs.

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gerade Zahl

Definition: Eine natürliche Zahl heißt gerade, wenn sie durch 2 dividiert weden kann.

Wir können auch die Zahl „0“ durch „2“ dividieren:

0 : 2 = 0

Also ist nach der Definiton der natürlichen Zahlen 0 eine gerade Zahl.

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kleiner als

Definition: Die natürliche Zahl a heißt kleiner als die natürlich Zahl b, wenn wir eine natürliche Zahl x (x ≠ 0) finden können, so dass gilt:

a + x = b

Wir schreiben: a < b (lies: „a ist kleiner als b“).

Es ist üblich, für a < b auch b > a zu schreiben

BM955

vielfach

vervielfachen

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Teilbarkeit

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Mit Hilfe der Multiplikation wird eine Beziehung zwischen natürlichen Zahlen a und b definiert, die etwas über die Teilbarkeit aussagt. Dabei wollen wir zunächst annehmen, dass die Zahlen a und b beide von Null verschieden sind.)

Teilbarkeit

Definition: Die natürliche Zahl a heißt Teiler der natürlichen Zahl b, wenn es eine natürliche Zahl x gibt, so dass gilt:

a * x = b

Ist a ein Teiler von b, so schreibt man dafür: a|b

a|b (lies:

• „a ist Teiler von b“ oder
• „a teilt b“ oder
• „b ist durch a teibar“ oder
• „b is ein Vielfaches von a“).

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Gibt es eine Zahl x für die Zahlen a und b, so dass a * x = b gilt, dann ist diese Zahl x ebenfalls ein Teiler von b.

Die Zahl b ist dann sowohl Vielfaches von a als auch Vielfaches von x.

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Beispiel:

Es gilt 12|204 (lies: „12 ist ein Teiler von 204“).

Begründung: Es gibt eine natürliche Zahl x, für die 12 * x = 204 gilt, nämlich die Zahl 17.

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Es gilt nicht 13|85 (lies: „13 ist nicht Teiler von 84“).

Begründung: Es gibt keine natürliche Zahl x, für die 13 * x = 85 gilt.

$a\mid b$ (lies: „a teilt b nicht“).

$13\mid 85$ (lies: „13 teilt 85 nicht“).

BM956

Teilbarkeit

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Teilbarkeit ist eine mathematische Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl ist durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt, also die „Geteilt-Rechnung aufgeht“.

So ist beispielsweise die Zahl 8 durch 4 teilbar, da „8 : 4“ genau 2 ergibt; somit ist 4, aber auch 2, Teiler von 8. Dagegen ist die Zahl 9 nicht durch 4 teilbar, weil die 4 zweimal in die 9 „geht“, aber ein Rest von 1 übrig bleibt.

4|8 ( a|b  ; a * x = b ; 4 * x = 8; x=2)

2|8 ( a|b  ; a * x = b ; 2 * x = 8; x=4)

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Die Zahl 11 hat nur zwei Teiler: 1 und die Zahl 11 selbst. Solche Zahlen nennt man Primzahlen. Die Zahl 12 dagegen hat viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Solche Zahlen nennt man hochzusammengesetzte Zahlen.

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Formale Definition der Teilbarkeit

Eine ganze Zahl $a$ teilt eine ganze Zahl $b$ genau dann, wenn es eine ganze Zahl $n$ gibt, für die $a\cdot n=b$ ist. Man sagt dann „$a$ ist Teiler von $b$“, „$b$ ist teilbar durch $a$“, oder „$b$ ist Vielfaches von $a$“ und schreibt formal:0

$a\mid b$.

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Folgerungen:

Da $0\cdot n=0$ für alle $n$ gilt, ist $0$ ein Teiler von $0$ und von keiner anderen Zahl.

Schreibt man denselben Sachverhalt in der Form $a\cdot 0=0$, so erkennt man, dass jede Zahl $a$ ein Teiler von $0$ ist.

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3|12 (natürlich gilt auch: 1|12 und 12|12 - diese beiden Teiler sind offensichtlich, das ist einfach. Deshalb nennt man sie trivial).

Es gelte $a\mid b$ und $b\neq 0$. Ist $a$ keiner der trivialen Teiler „a“ oder „b“, so nennt man $a$ einen nichttrivialen Teiler oder echten Teiler von $b$.

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Eigenschaften der Teilbarkeit

Jede Zahl besitzt mindestens ihre trivialen Teiler, insbesondere ist „1“ Teiler einer jeden ganzen Zahl. (Beispiel: 1|113)

Jede ganze Zahl ist ein (trivialer) Teiler der „0“. (Beispiel: 72|0)

BM957

Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem

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Zweier-Potenzen:

• Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8).
• Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch $2^{n}$ teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten $n$ Ziffern gebildet wird, durch $2^{n}$ teilbar ist.

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Fünfer-Potenzen:

• Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
• Eine Zahl ist genau dann durch 25 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 25 teilbar ist (00, 25, 50 oder 75).
• Eine Zahl ist genau dann durch 125 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 125 teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch $5^{n}$ teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten $n$ Ziffern gebildet wird, durch $5^{n}$ teilbar ist.

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Zehner-Potenzen:

• Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 100 teilbar, wenn die Zahl mit 00 endet.
• Eine Zahl ist genau dann durch 1000 teilbar, wenn die Zahl mit 000 endet.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch $10^{n}$ teilbar, wenn ihre letzten $n$ Ziffern jeweils 0 sind.

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Produkte aus Zweier- und Fünfer-Potenzen:

• Eine Zahl ist genau dann durch 20 teilbar, wenn ihre vorletzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8) und ihre letzte Ziffer 0 ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 40 teilbar, wenn die Zahl, die aus der drittletzten und vorletzten Ziffer gebildet wird, durch 4 teilbar ist und die letzte Ziffer eine 0 ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 50 teilbar, wenn die Zahl auf 00 oder 50 endet.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch $2^{m}5^{n}$ teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten $\max(m,n)$ Ziffern gebildet wird, durch $2^{m}5^{n}$ teilbar ist.

BM958

quer

überqueren

Querbalken

Quereinsteiger

Querflöte

Querkopf

Querschläger

Querulant

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schräg

schief

längs

anwenden

Anwendung

Anwender

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Quersumme

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Als Quersumme (oder Ziffernsumme) bezeichnet man üblicherweise die Summe der Ziffernwerte einer natürlichen Zahl. So ist für eine Zahl n = 36036 die dezimale Quersumme q(n) = 3 + 6 + 0 + 3 + 6 = 18. Die Quersumme ist (ebenso wie das Querprodukt) abhängig vom verwendeten Zahlensystem.

Neben der Quersumme als Summe der Ziffernwerte gibt es die alternierende Quersumme (wechselndes Addieren und Subtrahieren der Ziffernwerte)

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Alternierende Quersumme

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Die alternierende Quersumme (auch Querdifferenz, Paarquersumme oder Wechselsumme genannt) erhält man, indem man die Ziffern einer Zahl abwechselnd subtrahiert und addiert. Dabei kann links oder rechts begonnen werden. Im Folgenden wird von rechts begonnen. So ist für die Zahl n = 36036 die alternierende Quersumme aqs(n) = 6 - 3 + 0 - 6 + 3 = 0.

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Gleichwertig dazu ist das folgende Verfahren (die Zählung der Ziffern soll wieder rechts beginnen):

1.) Man addiert zum Wert der ersten Ziffer den der dritten, fünften, siebten usw.

2.) Man addiert zum zweiten Ziffernwert den vierten, sechsten, achten usw.

3.) Subtrahiert man nun von der ersten Summe die zweite, so erhält man die alternierende Quersumme.

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Für die Teilbarkeit einer Zahl n durch 11 kann stellvertretend ihre alternierende Quersumme aqs(n) herangezogen werden: Eine dezimal dargestellte Zahl n ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme aqs(n) ohne Rest durch 11 teilbar ist.

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Wiederholte Anwendung der alternierenden Quersumme liefert den Rest der Zahl bei Division durch 11, wobei negative Werte durch Addition von 11 zu normalisieren sind. Eine aqs von 11 zieht eine weitere Bildung einer aqs nach sich, die 0 liefert (also den Rest der Division von 11 durch 11).

Beispiel:

n = 2536874
4 + 8 + 3 + 2 = 17
7 + 6 + 5     = 18

17 - 18 = -1; -1 + 11 = 10

daraus folgt: Die Zahl 2536874 lässt bei Division durch 11 den Rest 10, ist also nicht durch 11 teilbar.

BM959

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Teilbarkeitsregeln basierend auf Quersummen

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Will man für eine Zahl $x$ eine Teilbarkeitsregel mit Quersummen aufstellen, so sucht man nach einem Vielfachen, das entweder $10^{n}-1$ oder $10^{n}+1$ für ein beliebiges $n$ ist. Im ersten Fall kann die Teilbarkeit mit der nichtalternierenden $n$-Quersumme, im zweiten Fall mit der alternierenden $n$-Quersumme überprüft werden.

Entsprechende Faktoren existieren für alle Zahlen, die mit 10 teilerfremd sind. Allerdings ist die Prüfung zum Teil schon für relativ kleine Zahlen unpraktisch (siehe zum Beispiel die unten angegebenen Regeln für Teilbarkeit durch 17 und 19).

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Ist $10^{n}-1$ ein Vielfaches der betrachteten Zahl $x$, dann gilt die Teilbarkeitsregel: „Eine Zahl ist genau dann durch $x$ teilbar, wenn ihre nichtalternierende $n$-Quersumme durch $x$ teilbar ist.“

Beispielsweise ist $9=10^{1}-1$ ein Vielfaches von 3, so dass die Teilbarkeit durch 3 anhand der (1er-)Quersumme geprüft werden kann.

• Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist. Es gibt auch eine Teilbarkeitsregel mit der alternierenden Quersumme (siehe unten).
• Eine Zahl ist genau dann durch 21 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 6er-Quersumme durch 21 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 27 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 27 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 33 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 33 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 37 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 37 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 41 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 5er-Quersumme durch 41 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 99 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 99 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 111 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 111 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 333 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 333 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 999 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 999 teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch $9\dotso 9=10^{n}-1$ teilbar, wenn ihre nichtalternierende $n$-Quersumme durch $10^{n}-1$ teilbar ist.

BM960

Teilbarkeitsregeln basierend auf alternierenden Quersummen

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Ist hingegen $10^{n}+1$ ein Vielfaches der betrachteten Zahl $x$, dann gilt die Teilbarkeitsregel: „Eine Zahl ist genau dann durch $x$ teilbar, wenn ihre alternierende $n$-Quersumme durch $x$ teilbar ist.“

Betrachtet man beispielsweise die Zahl 7, so kann man durch Ausprobieren sehen, dass $7\cdot 143=1001=10^{3}+1$. Daraus ergibt sich dann die Teilbarkeitsregel mit einer alternierenden 3er-Quersumme.

• Eine Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Es gibt auch eine Teilbarkeitsregel mit der nichtalternierenden 2er-Quersumme (siehe oben).
• Eine Zahl ist genau dann durch 13 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 13 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 17 teilbar, wenn ihre alternierende 8er-Quersumme durch 17 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 19 teilbar, wenn ihre alternierende 9er-Quersumme durch 19 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 23 teilbar, wenn ihre alternierende 11er-Quersumme durch 23 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 73 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 73 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 77 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 77 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 91 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 91 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 101 teilbar, wenn ihre alternierende 2er-Quersumme durch 101 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 137 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 137 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 143 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 143 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 1001 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 1001 teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch $100\dotso 001=10^{n}+1$ teilbar, wenn ihre alternierende $n$-Quersumme durch $10^{n}+1$ teilbar ist.

BM961 - BM970

BM961

spalte

Spalt

Spalte

Spaltbreite

Gletscherspalte

Felsspalte

Der Krieg spaltet die Bevölkerung in Befürworter und Oppositionelle der Regierung.

Er spricht mit gespaltener Zunge.

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Teilbarkeit durch 7

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Neben der schon genannten Teilbarkeitsregel mittels der alternierenden 3er-Quersumme gibt es für die 7 weitere, teils einfachere, Teilbarkeitsregeln.

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Im Babylonischen Talmud findet sich eine Teilbarkeitsregel, bei der man letztlich nur überprüfen muss, ob eine zweistellige Zahl durch 7 teilbar ist. Dazu wird eine Zahl an der vorletzten Stelle in zwei Teile aufgespalten. Die Ziffern vor der vorletzten Stelle bilden die Zahl $a$ und die letzten beiden Ziffern die Zahl $b$. 3815 wird beispielsweise in die Zahlen $a=38$ und $b=15$ zerlegt. Nun zählt man $b$ und das Doppelte von $a$ zusammen. Ist die Summe durch 7 teilbar, so ist auch die ursprüngliche Zahl durch 7 teilbar. Für 3815 erhält man so $2\cdot a+b=2\cdot 38+15=91$. Da 91 durch 7 teilbar ist, ist auch 3815 durch 7 teilbar. Bei sehr großen Zahlen kann man dieses Verfahren solange wiederholen, bis man irgendwann eine zweistellige Zahl erhält. Um die Gültigkeit der Teilbarkeitsregel zu zeigen, betrachtet man die Gleichung

$n=100\cdot a+b=98\cdot a+2\cdot a+b$

Da 98 und damit auch $98\cdot a$ durch 7 teilbar ist, ist $n$ genau dann durch 7 teilbar, wenn $2\cdot a+b$ durch 7 teilbar ist.

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Für eine weitere Teilbarkeitsregel spaltet man eine Zahl in ihre letzte Ziffer $b$ und den Rest $a$ auf. Zum Beispiel 3815 in die Zahlen $a=381$ und $b=5$. Dann gilt folgender Satz:

Eine Zahl $n=10\cdot a+b$ ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihr Doppeltes $2\cdot n=20\cdot a+2\cdot b=21\cdot a-(a-2\cdot b)$ durch 7 teilbar ist, weswegen man lediglich die Teilbarkeit von $a-2\cdot b$ prüfen muss.

Für 3815 muss man also überprüfen, ob $381-2\cdot 5=371$ durch 7 teilbar ist. Dazu kann man 371 wieder in 37 und 1 zerlegen. Da $37-2\cdot 1=35=5\cdot 7$ durch 7 teilbar ist, sind auch 371 und 3815 durch 7 teilbar.

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Man kann eine Zahl $n$ auch vor der drittletzten Ziffer spalten, so dass die letzten drei Ziffern die Zahl $a$ und die Ziffern davor die Zahl $b$ bilden. Dann zieht man $b$ von $a$ ab und prüft, ob diese Differenz durch 7 teilbar ist. Da

$n=1000\cdot b+a=1001\cdot b+(a-b)$

und $1001\cdot b$ durch 7 teilbar ist, ist $n$ genau dann durch 7 teilbar, wenn $a-b$ durch 7 teilbar ist.

BM962

Teilbarkeit durch 17

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Ein Verfahren, um die Teilbarkeit durch 17 festzustellen, beruht auf der Identität 17 · 6 = 102. Deswegen gilt

$100\cdot a+b=102\cdot a-2\cdot a+b\equiv -2\cdot a+b\mod 17$

Man spaltet also die zu prüfende Zahl $n$ vor der vorletzten Stelle in zwei Teile, nimmt das Doppelte des linken Teils und zieht den rechten Teil ab (oder umgekehrt). Ist das Resultat durch $17$ teilbar, so gilt dies auch für $n$.

Beispiel: $5831=17\cdot 343$.

Also $2\cdot 58-31=85$, was durch 17 teilbar ist.

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Teilbarkeit durch 19

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Um die Teilbarkeit durch 19 zu überprüfen, spaltet man eine Zahl in ihre letzte Ziffer $b$ und den Rest $a$ auf. Zum Beispiel 7904 in die Zahlen $a=790$ und $b=4$. Dann gilt folgender Satz:

Eine Zahl $10\cdot a+b$ ist genau dann durch 19 teilbar, wenn $a+2\cdot b$ durch 19 teilbar ist.

Für 7904 muss man also überprüfen, ob $798=790+2\cdot 4$ durch 19 teilbar ist. Dazu kann man 798 wieder in 79 und 8 zerlegen. Da $79+2\cdot 8=95=5\cdot 19$ durch 19 teilbar ist, sind auch 798 und 7904 durch 19 teilbar.

BM963

Modulo

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Modulo berechnet den Rest eine Division.

„Modulo“ wird meist mit mod abgekürzt.

In vielen Programmiersprachen wird sie durch % (Prozentzeichen) dargestellt und als Operator behandelt.

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Beispiele:

• 17 mod 3 = 2, da $17=5\cdot 3+2$ („3 passt fünfmal in 17 und es bleiben 2 übrig“ – der Rest ist also 2)
• 2 mod 3 = 2, da $2=0\cdot 3+2$
• 3 mod 3 = 0, da $3=1\cdot 3+0$
• –8 mod 6 = 4, da $-8=-2\cdot 6+4$

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Wenn $(a\;{\bmod {\;}}m)=(b\;{\bmod {\;}}m)$, dann folgt nicht daraus, dass $a=b$ ist, sondern nur, dass sich $a$ und $b$ um ein ganzzahliges Vielfaches von $m$ unterscheiden.

BM964

Sinn

sinnlos

sinnvoll

eindrucksvoll

gefühlvoll

ausdrucksvoll

gefahrvoll

humorvoll

mühevoll

qualvoll

schmerzvoll

stilvoll

unheilvoll

grauenvoll

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achtlos

anlasslos

arbeitslos

ausnahmslos

bedingungslos

chancenlos

erfolglos

ergebnislos

farblos

fristlos

gefahrlos

gewaltlos

grenzenlso

grundlos

herzlos

kommentarlos

kostenlos

machtlos

lückenlos

maßlos

nutzlos

papierlos

pausenlos

risikolos

restlso

schamlos

schlaflos

selbstlos

stromlos

trostlos

verantwortungslos

wehrlos

wahllos

zahllos

ärmellos

endlos

besinnungslos

BM965

Aussagen

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Eine Aussage im Sinn der aristotelischen Logik ist ein sprachliches Gebilde, von dem es sinnvoll ist zu fragen, ob es wahr oder falsch ist (so genanntes Zweiwertigkeitsprinzip). Es ist nicht erforderlich, sagen zu können, ob das Gebilde wahr oder falsch ist. Es genügt, dass die Frage nach Wahrheit („Zutreffen“) oder Falschheit („Nicht-Zutreffen“) sinnvoll ist, - was zum Beispiel bei Fragesätzen, Ausrufen und Wünschen nicht der Fall ist. Aussagen sind somit Sätze, die Sachverhalte beschreiben und denen man einen Wahrheitswert zuordnen kann.

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Nach verbreiteter, aber umstrittener Auffassung sind Aussagen nicht Sätze, sondern sind Aussagesätze (nur) der sprachliche Ausdruck von Aussagen. Ein Aussagesatz steht stellvertretend für eine Aussage, ist lediglich ein Zeichen für eine Aussage

Eine Gleichsetzung von Aussage und Aussagesatz ist nicht zulässig.

Beispiel 1: (gleichbedeutende Sätze): „Das Haus ist dreistöckig.“ – „Dieses Wohngebäude hat drei Geschosse.“ – “This house has three floors.”: drei Sätze mit einer Aussage für einen Sachverhalt.

Beispiel 2: Wenn Hans und Ina sagen „Ich bin krank“, dann äußern beide denselben Satz und erzeugen unterschiedliche Satzvorkommnisse und machen mit ihren Äußerungen unterschiedliche Aussagen.[

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Aussageform:

Eine Aussageform ist ein Ausdruck, der eine Variable enthält. Eine Aussageform ist keine Aussage.

Erst wenn für diese Variable ein konkreter Zahlenwert eingesetzt wird, wird aus der Aussageform eine Aussage. So geht die Aussageform in eine Aussage über.

Beispiel: Die Aussageform „x + 5 = 10“ geht durch Einsetzen bestimmter Werte in einen Satz über. Für x=5 ist der Satz wahr, für $x\neq 5$ ist der Satz falsch.

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Die Variable, für die noch ein Zahlenwert eingesetzt werden muss wird als freie Variable bezeichnet.

Auf Grund der Unbestimmtheit der freien Variable haben Aussageformen keinen bestimmbaren Wahrheitswert und sind daher keine Aussage (im technischen Sinn).

Die Aussageform kann zu einer Aussage umgeformt werden, indem man für die Variablen Konstanten einsetzt.

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Aussagenlogik

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In der klassischen Aussagenlogik wird jeder Aussage genau einer der zwei Wahrheitswerte „wahr“ und „falsch“ zugeordnet. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage lässt sich ohne zusätzliche Informationen aus den Wahrheitswerten ihrer Teilaussagen bestimmen.

BM966

knüpfen - kleine Fäden kunstvoll verschlingen

einen Teppich knüpfen

ein handgeknüpfter Teppich

knüpfen = verbinden

An diesen Ort knüpfen sich für mich viele schöne Erinnerungen.

Eine erste Rate gibt es noch im April, weitere Zahlungen sind aber an Bedingungen geknüpft.

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verknüpfen = verbinden

Er verknüpfte seine Geschäftsreise mit einem Urlaub.

verknüpfen = knoten

Es ist notwendig, die zwei Enden der Schnur miteinander zu verknüpfen.

verknüpfen - etwas mit etwas verknüpfen: etwas mit etwas gedanklich in einen Zusammenhang bringen

Dank der netten Gesellschaft konnte sie diesen Abend mit einer guten Erinnerung verknüpfen.

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Verknüpfung - Verbindung durch einen Knoten, zum Beispiel zweier Schnüre, Fäden oder Seile

Die Verknüpfung der Seile hatte sich gelöst.

Verknüpfung - Verbindung zweier oder mehrerer Tätigkeiten, die man zugleich erledigt

Praktisch war die Verknüpfung seines Besuches mit dem Einkauf im benachbarten Ort.

Verknüpfung - Verbindung zweier Begriffe, die man so in einen Zusammenhang bringt

Die Verknüpfung seines Namens mit der Firma war allen bekannt.

Verknüpfung - Mathematik: Verbindung zweier Elemente

Die Verknüpfung Division ist nicht kommutativ.

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anknüpfen - bei etwas weitermachen, an etwas anschließen, etwas fortsetzen

Wir können mit der Diskussion direkt da anknüpfen, wo Sie geschlossen haben.

anknüpfen - Kontakt zu jemandem aufnehmen

Er versuchte einen Flirt mit ihr anzuknüpfen.

BM967

Und-verknüpfte Aussagen – Konjunktion

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Eine Konjunktion ist eine aus zwei Aussagen zusammengesetzte Aussage, die die Wahrheit all ihrer Teilaussagen behauptet. Umgangssprachlich verbindet man zwei Aussagen A und B durch das Bindewort „und“ zu einer Konjunktion „A und B“, in der logischen Sprache verwendet man meist das Zeichen $\land$ (Schreibweise: $A\land B$), gelegentlich auch das kaufmännische Und, den Ampersand (&).

• Sprechweise: A und B
• Schreibweise: $A\land B$
• auf Englisch und in der Schaltalgebra auch A AND B

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Die Aussage $A\land B$ ist immer dann wahr, wenn sowohl A als auch B jeweils wahr sind.

Andernfalls ist $A\land B$ falsch, nämlich dann, wenn entweder A oder B oder beide Aussagen falsch sind.

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Beispiele für eine Und-Verknüpfung:

A: 9 ist durch 3 teilbar

B: 9 ist eine Quadratzahl

$A$	$B$	$A\land B$
wahr	wahr	wahr
falsch	wahr	falsch
wahr	falsch	falsch
falsch	falsch	falsch

Diese Teilaussagen und ihre Negationen werden nun durch $\land$ miteinander verknüpft:

• $C_{1}$: 9 ist durch 3 teilbar und 9 ist eine Quadratzahl.
• $C_{2}$: 9 ist nicht durch 3 teilbar und 9 ist eine Quadratzahl.
• $C_{3}$: 9 ist durch 3 teilbar und 9 ist keine Quadratzahl.
• $C_{4}$: 9 ist nicht durch 3 teilbar und 9 ist keine Quadratzahl.

Nur $C_{1}=A\land B$ ist wahr, weil $A$ wahr ist und auch $B$ wahr ist.

$C_{2}=\neg A\land B$ ist falsch, weil $\neg A$ falsch ist.

$C_{3}=A\land \neg B$ ist falsch, weil $\neg B$ falsch ist.

$C_{4}=\neg A\land \neg B$ ist falsch, weil sowohl $\neg A$ als auch $\neg B$ falsch

ist.

BM968

schließen

ausschließen

anschließen

beschließen

umschließen

verschließen

zuschließen

abschließen

einschließen

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erschließen - auffinden und nutzbar machen, zum Beispiel Gelände durch Infrastrukturmaßnahmen

Das Baugelände ist voll erschlossen.

erschließen - durch bestimmte Schlussfolgerungen ermitteln, Ressourcen durch Informationsgewinn nutzbar machen

Das Werk des Dichters erschließt sich erst bei intensivem Studium.

erschließen - erkunden, einen Überblick gewinnen

Erst der Blick aus der Luft erschließt die Struktur der ganzen Anlage.

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Erschließung - das Zugänglichmachen eines Geländes, einer Region oder eines Territoriums, damit es anschließend von Menschen genutzt werden kann

Die Erschließung des Regenwaldes schneidet tiefe Schneisen in die Umwelt.

Erschließung - das Bauen von Wegen und den Anschluss an Ver- und Entsorgungsleitungen (Strom, Wasser, Abwasser) zu Grundstücken

Das Gebiet soll nach der Erschließung ein Gewerbegebiet werden.

Erschließung - das Zugänglichmachen von Märkten in der Wirtschaft

Mit der Erschließung der asiatischen Märkte gibt es für viele Firmen ganz neue Möglichkeiten.

Erschließungskosten

BM969

Nichtausschließendes Oder – Disjunktion

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Eine Disjunktion ist eine zusammengesetzte Aussage, die behauptet, dass mindestens eine ihrer Teilaussagen wahr ist. Die Disjunktion in diesem Sinn wird auch nichtausschließendes Oder genannt. (Aber Achtung: Die Bezeichnung „Disjunktion“ wurde und wird oft auch für das ausschließende Oder, „entweder ... oder“, verwendet – man denke an das Konzept der disjunkten Mengen. Einige Autoren verwenden daher für das Nichtausschließende Oder den Begriff Adjunktion.)

Das Formelzeichen „$\vee$“ stammt von dem lateinischen Wort „vel“, was auf deutsch „oder“ bedeutet.

• Sprechweise: „A oder B“; genauer: „A oder B oder beide“, häufig in juristischen oder medizinischen Texten: „A und/oder B“
• Schreibweise: $A\vee B$
• auf Englisch und in der Schaltalgebra auch A OR B

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Die Aussage $A\vee B$ ist immer dann wahr, wenn mindestens eine der Teilaussagen A oder B wahr ist, bzw. wenn beide Teilaussagen wahr sind. Andernfalls ist $A\vee B$ falsch, nämlich dann, wenn sowohl A als auch B falsch sind.

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Beispiel für eine Oder-Verknüpfung:

• A: 9 ist durch 3 teilbar
• B: 9 ist eine Quadratzahl

$A$	$B$	$A\vee B$
wahr	wahr	wahr
falsch	wahr	wahr
wahr	falsch	wahr
falsch	falsch	falsch

Diese Teilaussagen und ihre Negationen werden nun durch $\vee$ miteinander verknüpft:

• $C_{5}$: 9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist eine Quadratzahl.
• $C_{6}$: 9 ist nicht durch 3 teilbar oder 9 ist eine Quadratzahl.
• $C_{7}$: 9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl.
• $C_{8}$: 9 ist nicht durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl.

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$C_{5}=A\vee B$ ist wahr, weil sowohl $A$ als auch $B$ wahr sind.

$C_{6}=\neg A\vee B$ ist wahr, weil $B$ wahr ist.

$C_{7}=A\vee \neg B$ ist wahr, weil $A$ wahr ist.

Nur $C_{8}=\neg A\vee \neg B$ ist falsch, weil sowohl $\neg A$ als auch $\neg B$ falsch sind.

BM970

ausschließen - jemanden durch Schließen von Eingängen zum Draußenbleiben zwingen

ausschließen = aussperren

Ich habe den Hund jetzt ausgeschlossen.

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ausschließen - reflexiv, sich ausschließen: sich versehentlich die Möglichkeit nehmen, wieder ins Innere zu gelangen, zum Beispiel, weil man seinen Schlüssel vergessen hat

Sie hatte sich ausgeschlossen und musste die Nacht im Gartenhaus verbringen.

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ausschließen - jemanden aus einer Gruppe oder von einem Ereignis fernhalten; dafür sorgen, dass jemand nicht dabei ist

ausschließen = verbannen

Die Aufdeckung ihrer kriminellen Machenschaften führte dazu, dass man sie aus der Partei ausschloss.

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ausschließen - abstrakt: einen Sachverhalt für unmöglich ansehen; in der Verneinung: für möglich erachten, dass ein genannter Sachverhalt vorliegen könnte

ausschließen = verneinen

Einen Krieg zwischen Nord- und Südkorea schließe ich aus.

Es ist nicht ausgeschlossen, dass hier ein Zusammenhang existiert.

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ein Mitglied ausschließen

jemanden aus einer Partei ausschließen

jemanden von der Teilnahme ausschließen

vom Unterricht ausschließen

jemanden aus einem Verein ausschließen

jemanden wegen seines Verhaltens ausschließen

jemanden vom Wettkampf ausschließen

BM971 - BM980

BM971

Ausschließendes Oder

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$A$	$B$	$\neg (A\leftrightarrow B)$
falsch	falsch	falsch
falsch	wahr	wahr
wahr	falsch	wahr
wahr	wahr	falsch

Das ausschließende Oder (Kontravalenz oder Antivalenz), „entweder A oder B“, besagt, dass genau eine der beiden von ihm verknüpften Aussagen wahr ist. Entsprechend ist ein ausschließendes Oder nicht nur dann falsch, wenn sowohl A als auch B falsch sind, sondern auch, wenn beide wahr sind. (Einige Autoren verwenden für das Ausschließende Oder den Begriff Alternative.)

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Obwohl das ausschließende Oder ein Konzept ist, mit dem man in der natürlichen Sprache immer wieder zu tun hat, wird es in den meisten logischen Sprachen nicht als eigenständiger Junktor eingeführt. Stattdessen wird das ausschließende Oder zum Beispiel als verneintes Bikonditional ausgedrückt, also als $\neg (A\leftrightarrow B)$.

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Große Bedeutung genießt das ausschließende Oder hingegen in der Schaltalgebra, wo es meist als XOR (eXclusive OR) aufgeschrieben wird.

BM972

verneinen - eine Frage mit Nein beantworten

Er verneinte die Frage ohne zu zögern.

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verneinen - etwas ablehnen, die Zustimmung zu etwas verweigern

verneinen = ablehnen, negieren

„Die Frage, ob eine Zusammenrottung vorlag, muß verneint werden.“

Er verneint Gewalt in allen Formen.

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Verneinung - das Verneinen oder die Tatsache, dass man zu einem Sachverhalt „nein“ gesagt hat

Verneinung = Ablehnung

War das nun eine Verneinung oder nicht?

Die Verneinung der Frage klang mir nicht überzeugend.

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Verneinung - Linguistik: das Negieren einer Frage oder eines Satzes

Verneinung = Negation

Die Negationspartikel nein drückt eine Verneinung aus.

BM973

Verneinte Aussage – Negation

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Die Verneinung bzw. Negation (auch: Satzverneinung, äußere Verneinung, kontradiktorisches Gegenteil) einer Aussage A ist diejenige Aussage ¬A, die genau dann wahr ist, wenn A falsch ist, und die genau dann falsch ist, wenn A wahr ist. Einfacher: Die Verneinung einer Aussage A dreht den Wahrheitswert von A in sein Gegenteil um.

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Man erhält die Verneinung einer Aussage A immer dadurch, dass man ihr die Formulierung „Es ist nicht der Fall, dass“ voranstellt. Zwar lässt sich ein natürlichsprachlicher Satz auch verneinen, indem man das Wort „nicht“ oder eine andere negative Formulierung an geeigneter Stelle einfügt – es ist aber nicht immer ganz einfach, zu erkennen, welche Formulierung zu verwenden und an welcher Stelle einzufügen ist. Formal schreibt man für „nicht A“ in der gebräuchlichsten Notation (Schreibweise) ¬A, auf Englisch und in der Schaltalgebra auch „NOT A“, gelegentlich auch „~A“.

$A$	$\neg A$
falsch	wahr
wahr	falsch

Wir verneinen die obigen Beispiele:

• $\neg A_{1}$: Es ist nicht der Fall, dass München 781 km von Hamburg entfernt ist.
• $\neg A_{2}$: Es ist nicht der Fall, dass 9 durch 3 teilbar ist.
• $\neg A_{3}$: Es ist nicht der Fall, dass Eintracht Frankfurt in der nächsten Saison deutscher Fußballmeister wird.
• $\neg A_{4}$: Es ist nicht der Fall, dass alle Autos grün sind. (Es kann durchaus auch grüne Autos geben, aber es gibt mindestens ein Auto, das nicht grün ist.)

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Allgemein gilt für die Verneinung:

• Wenn eine Aussage $A$ wahr ist, ist die Verneinung $\neg A$ falsch.
• Wenn eine Aussage $A$ falsch ist, ist die Verneinung $\neg A$ wahr.
• Eine Aussage $A$ kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
• Die Aussagen $A$ und $\neg A$ können nicht gleichzeitig wahr sein.

BM974

Verneinung einer Konjunktion

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Die Verneinung der Konjunktion „A und B“ (in der logischen Schreibweise: $A\land B$) lautet „Es ist nicht der Fall, dass A und B zutreffen“ (in der logischen Schreibweise: $\neg (A\land B)$).

Diese ist logisch äquivalent mit der Aussage

„A ist nicht der Fall, oder B ist nicht der Fall (oder beides)“ (in logischer Schreibweise: $(\neg A\lor \neg B)$).

$A$	$B$	$\neg (A\land B)$
falsch	falsch	wahr
falsch	wahr	wahr
wahr	falsch	wahr
wahr	wahr	falsch

Ein Beispiel:

Wenn man die Aussage

Es regnet, und die Erde ist eine Scheibe

verneinen möchte, dann kann man entweder sagen

Es ist nicht der Fall, dass es regnet und die Erde eine Scheibe ist.

oder man sagt

Es regnet nicht oder die Erde ist keine Scheibe (oder beides).

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In der Schaltalgebra wird sehr oft der Junktor NAND verwendet, wobei „A NAND B“ denselben Wahrheitswertverlauf hat wie der Ausdruck $\neg (A\land B)$.

BM975

Verneinung einer Disjunktion

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Die Verneinung der Disjunktion „A oder B (oder beides)“ (in der logischen Schreibweise: $A\lor B$) lautet „Es ist nicht der Fall, dass A oder B zutrifft“ (in logischer Schreibweise: $\neg (A\lor B)$).

Diese ist logisch äquivalent mit der Aussage

„A ist nicht der Fall, und B ist nicht der Fall“ (in logischer Schreibweise: $\neg A\land \neg B$).

$A$	$B$	$\neg (A\vee B)$
falsch	falsch	wahr
falsch	wahr	falsch
wahr	falsch	falsch
wahr	wahr	falsch

Ein Beispiel:

Wenn man die Aussage

Die Erde ist eine Scheibe, oder die Erde ist ein Würfel.

verneinen möchte, so sagt man

Es ist nicht der Fall, dass die Erde eine Scheibe ist oder dass die Erde ein Würfel ist.

Nach dem Gesetz von De Morgan kann man nun aber auch sagen:

Die Erde ist keine Scheibe, und die Erde ist kein Würfel

oder in schönerem Deutsch

Die Erde ist weder eine Scheibe noch ein Würfel.

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In der Schaltalgebra wird das Konnektiv NOR verwendet, das denselben Wahrheitswertverlauf hat wie die Aussage $\neg (A\lor B)$.

BM976

hinreichend - umgangssprachlich: das rechte Maß von dem, was da sein muss – nicht zu viel und nicht zu wenig

hinreichend = genügend, genug, ausreichend, befriedigend, reicht

Um ein Nachrutschen zu unterbinden, sollte der Untergrund hinreichend stabilisiert werden.

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hinreichend - Aussagenlogik, Kausalitätstheorie: logisch folgend

A ist hinreichend dafür, dass B eintritt. = Wenn A, dann B. = A → B

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insofern - in der genannten Hinsicht, aus dem genannten Grund

Er war insofern schuld an dem Unfall, als er zu schnell gefahren ist.

insofern = insoweit

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Implikation - Logik, Mathematik: Verbindung von zwei Aussagen bzw. Aussageformen durch „wenn – dann“

„Es seien A₁ und A₂ zwei Aussagen. Die Implikation von A₁ und A₂ ist falsch genau dann, wenn A₁ wahr und A₂ falsch ist.“

Implikation = Folgerung

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schließen - eine Schlussfolgerung machen

Schlussfolgerung

Folgerung

Schluss

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Eine Schlussfolgerung ist erstens ein sprachliches Gebilde, das aus einer Reihe von wahrheitsfähigen Aussagen einerseits, den Prämissen oder Annahmen (zum Beispiel Axiomen oder wissenschaftlichen Hypothesen), und einer weiteren Aussage andererseits, der Konklusion, besteht. Ein solches Gebilde nennt man auch einen (logischen) Schluss oder ein Argument. Im Deutschen wird der Übergang zwischen Prämissen und Konklusion oft mit „deshalb“, „darum“, „also“, „folglich“ oder „auf Grund dessen“ eingeleitet. Man unterscheidet zwischen korrekten und inkorrekten Folgerungen. Diese Unterscheidung ist für die Logik von zentraler Bedeutung; man kann die Logik geradezu als die Wissenschaft vom korrekten Folgern bezeichnen.

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In einem zweiten Sinne bezeichnet man als Schlussfolgerung einen Teil des eben angesprochenen sprachlichen Gebildes, nämlich die Konklusion. Für diese existieren auch die Synonyme Conclusio oder Schlusssatz. In der Rhetorik wird das Wort Konklusion auch allgemein für den Abschluss einer Rede gebraucht.

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Als Schlussfolgerung bezeichnet man drittens das Ergebnis des Nachdenkens, also das (meist schrittweise) Erkennen von Folgerungen, bzw. das Durchführen eines Beweises. Diese Schlussfolgerungen können auch aus unbewussten kulturellen, sozialen oder religiösen Hintergrundannahmen gezogen werden.

BM977

Vereinfachte Übersicht: A=>B ist die Regel, A die Bedingung und B die Konsequenz.

Schlussfolgerung

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Drei Arten des logischen Schließens werden unterschieden: Deduktion, Induktion und Abduktion.

Wobei jeweils auf die Bedingung (auch Prämisse oder „Ursache“), die Konsequenz (auch Resultat oder „Wirkung“) und die Regel (auch Gesetz) Bezug genommen wird. Jede dieser drei Bezüge kommt in der praktischen Anwendung meist mehrfach vor.

• Deduktion ist der Schluss von der Bedingung und der Regel auf die Konsequenz.

Kurzform:   Ursache & Gesetz --> Wirkung

• Induktion ist der Schluss von der Bedingung und der Konsequenz auf die Regel.

Kurzform:   Ursache & Wirkung --> Gesetz

• Abduktion ist der Schluss von der Regel und der Konsequenz auf die Bedingung.

Kurzform:   Gesetz & Wirkung --> Ursache

Erfahrungsunabhängig und zwingend ist nur die Deduktion. Die Induktion und die Abduktion stellen nur mögliche logische Schlüsse dar.

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Beispiele

Folgende Fälle demonstrieren den Sachverhalt anhand der Bremsung eines Fahrzeugs.

• Fall der Deduktion

• Beim Betätigen der Bremse wird das Fahrzeug langsamer. (das Gesetz)
• Die Bremse wird betätigt. (die beobachtete Ursache)
• Das Fahrzeug wird langsamer werden. (deduktive Schlussfolgerung auf die Wirkung)

• Fall der Induktion

• Die Bremse wird betätigt. (die beobachtete Ursache)
• Das Fahrzeug wird langsamer. (die beobachtete Wirkung)
• Beim Betätigen der Bremse wird das Fahrzeug (jedes Mal) langsamer. (induktive Schlussfolgerung auf das Gesetz. Es sind jedoch auch andere Gesetze denkbar, die z. B. weitere Bedingungen erfordern)

• Fall der Abduktion

• Beim Betätigen der Bremse wird das Fahrzeug langsamer. (das Gesetz)
• Das Fahrzeug wird langsamer. (die beobachtete Wirkung)
• Die Bremse wurde betätigt. (abduktive Schlussfolgerung auf die Ursache. Es sind jedoch auch andere Ursachen denkbar, z. B. ein Ansteigen der Fahrbahn)

BM978

Materiale Implikation

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Die materiale Implikation, auch Konditional oder Subjunktion genannt, drückt die hinreichende Bedingung aus: Sie sagt, dass die Wahrheit des einen Satzes eine hinreichende Bedingung für die Wahrheit des anderen Satzes ist. Man schreibt

$A\rightarrow B$

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• A ist eine hinreichende Bedingung für B.
• Schon wenn A, dann B.
• A setzt voraus, dass B.
• B ist eine notwendige Bedingung für A.
  (Dass B genau dann eine notwendige Bedingung für A ist, wenn A eine hinreichende Bedingung für B ist, ist eine auf den ersten Blick überraschende und vielleicht kontraintuitive, jedoch zutreffende Feststellung.)
• A impliziert B.
• Nur wenn B, dann A.

oder auch nur

• Wenn A, dann B.

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In einem Konditional nennt man A das Antezedens, B das Konsequens oder Sukzedens.

Beispiele:

• Dass es regnet, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Straße nass ist.
• Schon wenn es regnet, ist die Straße nass.
• Wenn es regnet, ist die Straße nass.
• Nur wenn die Straße nass ist, kann es regnen.
• Wenn Person x einen Wagen der Marke BMW hat, hat x ein Auto.
• Wenn eine Zahl n durch 6 teilbar ist, dann ist die Zahl n durch 3 teilbar.

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Die Lesart „wenn ... dann“ ist insofern problematisch, als mit dem natürlichsprachlichen „wenn ... dann“ vor allem inhaltliche Zusammenhänge wie Kausalität oder zeitliche Nähe ausgedrückt werden. All das macht die materiale Implikation nicht, sie nennt nur den formalen Zusammenhang: „Dass es regnet, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Straße nass ist“. Zur Frage, warum das eine hinreichende Bedingung ist – ob auf Grund eines kausalen Zusammenhangs oder auch nur rein zufällig –, nimmt die materiale Implikation nicht Stellung.

$A$	$B$	$A\rightarrow B$	$\neg B\rightarrow \neg A$
falsch	falsch	wahr	wahr
falsch	wahr	wahr	wahr
wahr	falsch	falsch	falsch
wahr	wahr	wahr	wahr

BM979

Umkehrschluss

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Als Umkehrschluss bezeichnet man den Schluss von $A\rightarrow B$ auf $\neg B\rightarrow \neg A$. Für die Beispiele bedeutet das:

• Wenn die Straße nicht nass ist, regnet es nicht.
• Nur wenn die Straße nicht nass ist, kann es nicht regnen.
• Wenn Person x kein Auto hat, dann hat x keinen Wagen der Marke BMW.
• Nur wenn Person x keinen Wagen der Marke BMW hat, hat x kein Auto.
• Wenn die Zahl n nicht durch 3 teilbar ist, dann ist n nicht durch 6 teilbar.
• Nur wenn n nicht durch 6 teilbar ist, ist n nicht durch 3 teilbar.

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Umgangssprachlich lässt man sich gelegentlich zu weiteren – falschen – Aussagen verleiten:

• Weil es nicht regnete, kann die Straße nicht nass sein.
  Diese Folgerung ist falsch, da die Straße auch aus anderen Gründen nass werden kann (Rohrbruch, Übung der Feuerwehr ...).
• x hat keinen Wagen der Marke BMW, also hat x kein Auto.
  Falsch, denn er könnte ja einen Mercedes haben.
• n ist nicht durch 6 teilbar, also ist n auch nicht durch 3 teilbar.
  Auch diese Folgerung ist falsch. Die Zahl 15 ist nicht durch 6 teilbar und sehr wohl durch 3.

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Das bedeutet: Wenn die Folgerung $A\rightarrow B$ wahr ist, dann erhält man aus der Aussage ¬A keine Aussage über B; B kann wahr oder falsch sein. („Ex falso sequitur quodlibet“ – „Aus Falschem folgt Beliebiges“)

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Die Implikation ist ein wichtiges Mittel in der Mathematik. Die meisten mathematischen Beweise verwenden das Konzept der Implikation.

BM980

Modus ponens (Teil 1)

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Der Modus ponens (lat. das zu Setzende setzend, auch Abtrennungsregel) ist eine schon in der antiken Logik geläufige Schlussfigur, die in vielen logischen Systemen als Schlussregel verwendet wird.

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Modus ponendo ponens (lat. das zu Setzende setzend, auch Abtrennungsregel) gilt als Grundform des direkten Beweises:

$p\rightarrow q\qquad p \over q$

In Worten: Wenn p eine hinreichende Bedingung für q ist und p wahr ist, dann ist auch q wahr. (semantisch)

Wird p behauptet, kann auch q behauptet werden. Nun wird p behauptet, also: q. (syntaktisch)

(Über dem Querstrich stehen jeweils eine oder zwei Aussagen, aus denen die Aussage unter dem Querstrich folgt.)

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Der Modus ponens erlaubt es, aus zwei Aussagen der Form Wenn A, dann B und A (den beiden Prämissen der Schlussfigur) eine Aussage der Form B (die Konklusion der Schlussfigur) herzuleiten.

Die eigentliche Bezeichnung für den Modus ponens ist – in Abgrenzung zum Modus tollendo ponens – Modus ponendo ponens. Synonym werden unter anderem die Ausdrücke Abtrennungsregel oder Implikationsbeseitigung verwandt.

Abgekürzt wird die Schlussregel vielfach mit MP beziehungsweise MPP.

BM981 - BM990

BM981

Modus ponens (Teil 2)

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Etymologie:

Der Ausdruck Modus ponens leitet sich aus den lateinischen Wörtern modus (hier: Schlussfigur) und ponere (stellen, setzen) ab und bedeutet setzende Schlussfigur, d.h. Schlussfigur, bei der eine positive Aussage hergeleitet wird.

Der vollständige lateinische Name, Modus ponendo ponens, "Schlussfigur (modus), die durch das Setzen (ponendo) einer Aussage eine andere Aussage setzt (ponens)", lässt sich so erklären, dass bei gegebener erster Prämisse, "Wenn A, dann B", durch das "Setzen" (Annehmen) der zweiten Prämisse, A, der aus beiden folgende Satz B "gesetzt" (hergeleitet) wird.

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Formulierung:

Aus den Prämissen

$A\to B$

und

$A$

folgt die Conclusio

$B$

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Beispiel:

Aus den Voraussetzungen „Wenn es regnet, wird die Straße nass“ und „Es regnet“ folgt logisch: „Die Straße wird nass“.

Formal wird der Modus ponens mit dem Ableitungsoperator $\vdash$ als Schlussregel $A,A\to B\vdash B$ notiert.

BM982

Ableitung:

Eine Ableitung, Herleitung, oder Deduktion ist in der Logik die Gewinnung von Aussagen aus anderen Aussagen. Dabei werden Schlussregeln auf Prämissen angewandt, um zu Konklusionen zu gelangen. Welche Schlussregeln dabei erlaubt sind, wird durch das verwendete Kalkül bestimmt.

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Obwohl der Modus ponendo ponens eine Schlussregel, also ein metasprachliches Konzept ist, wird die Bezeichnung "Modus ponens" gelegentlich auch für objektsprachliche Ausdrücke mit der folgenden Gestalt verwendet:

(A ∧ (A → B)) → B

BM983

Modus tollens

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Modus tollens (lat. für: Modus des Aufhebens, wörtlich: aufhebender Modus), eigentlich Modus tollendo tollens (in Abgrenzung zum Modus ponendo tollens) ist eine Schlussfigur, die auch in etlichen Kalkülen der klassischen Logik als Schlussregel verwendet wird.

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Modus tollendo tollens (lat. das Aufzuhebende aufhebend): der indirekte Beweis

$p\rightarrow q\qquad \neg q \over \neg p$

In Worten: Wenn p eine hinreichende Bedingung für q ist und q nicht wahr ist, dann ist auch p nicht wahr.

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Der Modus tollens besagt, dass aus den Voraussetzungen Wenn :$A$, dann :$B$ und nicht :$B$ auf nicht :$A$ geschlossen werden kann.

Der Modus tollendo tollens ist damit ein Gegenstück zum Modus ponendo ponens.

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Aus den Prämissen

$A\rightarrow B$

und

$\neg B$

folgt die Konklusion

$\neg A$

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Beispiel:

Aus den Voraussetzungen "Wenn es regnet, wird die Straße nass" und "Die Straße ist nicht nass" folgt logisch: "Es hat nicht geregnet".

Der lateinische Name Modus tollendo tollens, „durch Aufheben aufhebende Schlussweise“, erklärt sich daraus, dass es sich um eine Schlussfigur (modus) handelt, die bei gegebener erster Prämisse, $A\rightarrow B$, durch das „Aufheben“ (tollendo) des Satzes B, also durch das Setzen seiner Verneinung, :$\neg B$, einen anderen Satz, nämlich :$A$, ebenfalls „aufhebt“ (tollens), also zu seiner Verneinung, :$\neg A$, führt.

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$(\neg B\land (A\rightarrow B))\rightarrow \neg A$

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Beispiel:

Aus den Voraussetzungen "Wenn es regnet, ist die Straße nass" und "Die Straße ist nicht nass" lässt sich der logische Schluss "Es regnet nicht" ziehen. Hingegen ist die Schlussrichtung "Die Straße ist nass, daher regnet es" unzulässig und falsch.

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Beweis:

Die logische Äquivalenz der Aussagen $A\rightarrow B$ und $\neg A\rightarrow \neg B$ folgt aus den Definitionen der Subjunktion und der Negation.

linke Seite:

A	B	A → B
f	f	w
f	w	w
w	f	f
w	w	w

rechte Seite:

A	B	¬A	¬B	¬B → ¬A
f	f	w	w	w
f	w	w	f	w
w	f	f	w	f
w	w	f	f	w

Bedeutung des Modus tollens

Der Modus tollens ist die Grundlage der wissenschaftlichen Forschung. Dabei ist A eine abstrakte hypothetische Theorie, B ein Beobachtungssatz, der aus der Theorie folgt. Wissenschaftliche Experimente haben die Funktion, durch Beobachtung festzustellen, ob B wahr oder falsch ist. Ist B falsch, dann auch die ihm zugrundeliegende Theorie, diese ist dann falsifiziert.

BM984

Kettenschluss

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Als Kettenschluss werden in der traditionellen und in der modernen Logik zwei unterschiedliche, aber optisch ähnliche Schlussfiguren (Implikationsserien) bezeichnet.

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Kettenschluss in der modernen Logik:

In der modernen Logik wird unter Kettenschluss (engl. chain inference) ein aussagenlogischer Schluss der folgenden Form bezeichnet:

$A\rightarrow B$

$B\rightarrow C$

Daraus folgt: $A\rightarrow C$

beziehungsweise allgemein ein Schluss der folgenden Form:

$A_{1}\rightarrow A_{2}$

$A_{2}\rightarrow A_{3}$

...

$A_{n-1}\rightarrow A_{n}$

Daraus folgt: $A_{1}\rightarrow A_{n}$

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Ein Beispiel für einen Kettenschluss im modernen Sinn ist folgender Schluss:

Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.

Wenn die Straße nass ist, dann besteht Schleudergefahr.

Daraus folgt: Wenn es regnet, dann besteht Schleudergefahr.

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Kettenschluss (gelegentlich – eigentlich falsch, weil nach einer anderen Bedeutung des Wortes „Kettenschluss“ – Modus Barbara genannt)

$p\rightarrow q\qquad q\rightarrow r \over p\rightarrow r$

In Worten: Wenn p eine hinreichende Bedingung für q ist und q eine hinreichende Bedingung für r ist, dann ist p eine hinreichende Bedingung für r.

BM985

Modus Barbara

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Der Name „Barbara“ rührt vom lateinischen Merkwort für diesen Syllogismus her. Die Folge der drei Vokale „a“ im Merkwort bedeutet, dass sowohl beide Voraussetzungen als auch die Folgerung bejahend und allgemein gültig sind. („A“ ist der erste Vokal des lateinischen „affirmare“, das mit „bejahen“ übersetzt werden kann.)

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Folgendes Beispiel zeigt die Gestalt des Modus Barbara:

Alle Griechen (G) sind Menschen (M) – in traditioneller Schreibweise: GaM

Alle Menschen (M) sind sterblich (S) – in traditioneller Schreibweise: MaS

Daraus folgt: Alle Griechen (G) sind sterblich (S) – in traditioneller Schreibweise: GaS

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In der Kurzschreibweise der traditionellen Syllogistik (siehe den Syllogismus-Artikel oder für einen kurzen Überblick Kategorisches Urteil):

GaM

MaS

Daraus folgt: GaS

Merkwort: bArbArA

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Der Modus Barbara ist damit der Spezialfall des traditionellen Kettenschlusses.

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In der modernen Logik wird als Kettenschluss ein aussagenlogischer Schluss der folgenden Form bezeichnet:

$A\rightarrow B$

$B\rightarrow C$

Daraus folgt: $A\rightarrow C$

Ein Beispiel für einen Kettenschluss ist folgender Schluss:

Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.

Wenn die Straße nass ist, dann besteht Schleudergefahr.

Daraus folgt: Wenn es regnet, dann besteht Schleudergefahr.

BM986

Modus tollendo ponens

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Der Modus tollendo ponens oder Disjunktive Syllogismus ist eine Schlussfigur der klassischen Aussagenlogik bzw. eine Schlussregel vieler logischer Kalküle, die es erlaubt, aus einem Satz der Form A oder B und einem Satz der Form Nicht A auf einen Satz der Form B zu schließen. Es wird also – inhaltlich gesprochen – aus dem Wissen, dass mindestens einer von zwei Sachverhalten bestehen muss, dass aber einer der beiden nicht besteht, darauf geschlossen, dass der andere der beiden bestehen muss.

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Der lateinische Name Modus tollendo ponens, frei: „Schlussweise (modus), die durch das Zurückweisen [Verneinen] (tollendo) [einer Aussage] eine [andere] Aussage setzt [herleitet] (ponens)“, erklärt sich daraus, dass bei gegebener erster Prämisse, A ∨ B, durch das Verneinen (¬A) einer Aussage eine andere Aussage, B, „gesetzt“ (hergeleitet) wird.

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Da ein Satz A ∨ B auch Disjunktion genannt wird, bezeichnet man den Modus tollendo ponens gelegentlich als „Disjunktiven Syllogismus“.

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Formulierung:

Aus den Prämissen

$A\lor B$

$\neg A$

folgt die Konklusion

$B$

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Beweis:

Die logische Äquivalenz der Aussagen A ∨ B und ¬A → B folgt aus den Definitionen der Disjunktion, Subjunktion und der Negation.

linke Seite:

A	B	A ∨ B
f	f	f
f	w	w
w	f	w
w	w	w

rechte Seite:

A	B	¬A	¬A → B
f	f	w	f
f	w	w	w
w	f	f	w
w	w	f	w

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Modus tollendo ponens (gelegentlich falsch Disjunktiver Syllogismus genannt)

$p\lor q\qquad \neg p \over q$

In Worten: Wenn p oder q gilt und p nicht wahr ist, dann ist q wahr.

BM987

Reductio ad absurdum (Teil 1)

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Die Reductio ad absurdum (von lat. für Zurückführung auf das widrig Klingende, Ungereimte, Unpassende, Sinnlose) ist eine Schlussfigur und Beweistechnik in der Logik. Bei der Reductio ad absurdum wird eine Aussage widerlegt, indem gezeigt wird, dass aus ihr ein logischer Widerspruch oder ein Widerspruch zu einer bereits anerkannten These folgt.

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Als Beweistechnik ist die reductio ad absurdum unter der Bezeichnung „indirekter Beweis“ oder „Widerspruchsbeweis“ bekannt. Der indirekte Beweis ist dadurch gekennzeichnet, dass man die zu beweisende Aussage nicht direkt herleitet, sondern dass man ihr kontradiktorisches Gegenteil (d. h. die Annahme, dass die Aussage nicht zutreffe) widerlegt. In der klassischen, zweiwertigen Logik, in der jede Aussage entweder wahr oder falsch ist, ist mit diesem Widerlegen des Gegenteils einer Aussage gezeigt, dass die betroffene Aussage korrekt ist.

BM988

Reductio ad absurdum (Teil 2)

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Intuitive Erläuterung und Rechtfertigung:

Ein einfaches Beispiel: Um zu zeigen, dass nicht alle Menschen Griechen sind, wird zunächst das genaue Gegenteil angenommen, nämlich dass alle Menschen Griechen seien. Aus dieser Annahme folgt zum Beispiel, dass Cicero ein Grieche war. Es ist aber bekannt, dass Cicero kein Grieche war (sondern Römer). Dass Cicero aber zugleich sowohl ein Grieche als auch kein Grieche war, ist ein Widerspruch. Damit wurde die Aussage, dass alle Menschen Griechen sind, auf einen Widerspruch zurückgeführt (reductio ad absurdum) und so gezeigt, dass nicht alle Menschen Griechen sind.

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Der indirekte Beweis lässt sich wie folgt intuitiv rechtfertigen: Wenn sich aus einer Annahme ein Widerspruch herleiten lässt, gilt: Wenn die Annahme wahr ist, ist auch der Widerspruch wahr. Ein Widerspruch kann aber niemals wahr sein. Die Annahme kann daher nicht wahr sein, muss also falsch sein.

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Indirekter Beweis durch reductio ad absurdum

$\neg p\rightarrow (q\land \neg q) \over p$

In Worten: Wenn nicht-p eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass ein Widerspruch (q und nicht-q) wahr wird, dann ist nicht-p falsch (denn ein Widerspruch kann ja nicht wahr sein, also darf auch seine hinreichende Bedingung nicht wahr sein), also ist p wahr.

BM989

Satz vom ausgeschlossenen Dritten

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Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten (tertium non datur wörtlich „ein Drittes ist nicht gegeben“ oder „ein Drittes gibt es nicht“) oder Prinzip des zwischen zwei kontradiktorischen Gegensätzen stehenden ausgeschlossenen Mittleren ist ein logisches Grundprinzip bzw. Axiom, das besagt, dass für eine beliebige Aussage nur die Aussage selbst oder ihr Gegenteil gelten kann: Eine dritte Möglichkeit, also dass lediglich etwas Mittleres gilt, das weder die Aussage ist, noch ihr Gegenteil, sondern irgendwo dazwischen, kann es nicht geben. In der modernen formalen Logik besagt der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, dass für eine beliebige Aussage $P$ die Aussage $P\lor \neg P$ ("$P$ oder nicht $P$") gilt.

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Logik:

In der modernen formalen Logik bezieht sich der Satz vom ausgeschlossenen Dritten auf eine Aussage und deren Satzverneinung. Er besagt, dass für eine beliebige Aussage P die Aussage $P\lor \neg P$ (P oder nicht P) gilt. Das bekannteste logische System, in dem der Satz vom ausgeschlossenen Dritten gilt, ist die klassische Logik.

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Wenn z. B. P die Aussage

Hans ist blond.

bezeichnet, dann gilt die Disjunktion

Hans ist blond oder es ist nicht der Fall, dass Hans blond ist.

Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten sagt jedoch nichts darüber aus, ob P selbst gilt oder nicht.

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Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten ist nicht auf zweiwertige Logiken beschränkt, es gibt auch einige mehrwertige Logiken, in denen er gilt. Umgekehrt gibt es jedoch auch zwei- und mehrwertige Logiken, in denen er nicht gilt. Einige Schlussregelkalküle, in denen er nicht gilt, ersetzen die Regel $\neg \neg A\to A$ durch die schwächere $A\land \neg A\to B$.

BM990

Satz vom Widerspruch

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Der Satz vom Widerspruch oder Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch besagt, dass zwei einander widersprechende Aussagen nicht zugleich zutreffen können. Im Lauf der Philosophie- und Wissenschaftsgeschichte und von unterschiedlichen theoretischen Standpunkten wurde der Satz vom Widerspruch auf unterschiedliche Arten von Gegensätzen bezogen.

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Logik:

In der Logik wird der Satz vom Widerspruch oft, in der modernen formalen Logik immer, auf eine Aussage und deren Satzverneinung bezogen. Hier besagt der Satz, dass eine Aussage nicht gleichzeitig mit ihrem Gegenteil (ihrer Satzverneinung) zutreffen kann. Es ist also zum Beispiel nicht möglich, dass gleichzeitig die Erde eine Scheibe ist und dass es nicht der Fall ist, dass die Erde eine Scheibe ist.

In der Aussagenlogik wird dieser Satz durch die Formel

$\neg (A\wedge \neg A)$

Wörtlich: Es ist nicht der Fall („¬“), dass die Aussage A zutrifft und („∧“) dass die Aussage A nicht („¬“) zutrifft.

ausgedrückt.

Der Satz vom Widerspruch ist ein Grundprinzip der klassischen Logik.

BM991 - BM1000

BM991

Wahre und falsche Aussagen

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In den uns bisher bekannten Definitionen haben wir bestimmte Zahlenarten oder Beziehungen zwischen Zahlen Namen gegeben.

So nennen wir Zahlen, die den Teiler 2 haben, „gerade Zahlen“. Wir hätten sie jedoch ebensogut auch anders nennen können, z. B. „glatte Zahlen“. Für die Wahl eines Namens oder anderer Festlegungen in einer Definiton gibt es oft mehrere Möglichkeiten. Je nach Zweckmäßigkeit entscheidet man sich für eine davon. Es hat also keinen Sinn danach zu fragen, ob eine Definition falsch oder richtig ist. Man muss vielmehr fragen, ob sie zweckmäßig ist:

Anders ist es in den folgenden Beispielen:

1.) Die Zahl 7 ist gerade.

2.) Jede Zahl ist gerade.

3.) 0 ist die kleinste natürliche Zahl.

4.) 5 ist der Nachfolger von 4.

Wir sagen: Die Feststellung 1) und 2) sind falsche Aussagen, und 3) und 4) sind wahre (richtige) Aussagen.

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Die wahren Aussagen in der Mathematik werden Sätze genannt.

Beachte die unterschiedliche Bedeutung des Wortes „Satz“ in der Mathematik und in der Sprachlehre!

BM992

Der Beweis der Wahrheit einer Aussage

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So wie in anderen Wissenschaften benutzt man auch in der Mathematik Aussagen, deren Wahrheit feststeht, um zu neuen Erkenntnissen zu gelangen.

Dazu muss man aber mit Sicherheit wissen, ob eine Aussage, aus der man Folgerungen ziehen möchte, wahr ist.

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Aussage

a) 30 ist gerade

b) 7|104

c) 119 ist nur durch 1 und durch sich selbst teilbar.

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Bei Aussage a) muss man feststellen, ob 30 durch 2 teilbar ist.

Die Aussage b) überprüft man, indem man eine Zahl x sucht, für die 7 * x = 104 gilt, d. h., indem man probiert, ob die Division 104 : 7 ausfürhbar ist. Ob die Aussage c) wahr ist, erkennt man dadurch dass man für alle Zahlen von 2 bis 11 nachprüft, ob sie Teiler von 119 sind.

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Wenn wir auf eine geeignete Weise, z. B. wie bei Aussage a) bis c) nachgewiesen haben, dass eine Aussage wahr ist, sagen wir: Wir haben diese Aussage bewiesen oder einen Beweis dieser Aussage geführt.

Wir dürfen erst dann eine Aussage weiter verwenden und aus ihre Folgerungen ziehen, wenn sie bewiesen worden ist.

Bei der Feststellung der Wahrheit müssen wir uns vor unvorsichtigen Verallgemeinerungen hüten.

Beispiel:

Wir setzen in „x*x+x+11“ nacheinander die Zahlen 0 bis 9 ein und erhalten als Ergebnis:

11, 13, 17, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 101.

Aus der Tatsache, dass sich in allen Fällen eine Zahl ergibt, die nur zwei Teiler hat, nämlich 1 und sich selber, dürfen wir aber keineswegs schließen, dass das für alle natürlichen Zahlen x gilt.

Setzen wir nämlich die Zahl 10 für x ein, so erhalten wir für die Summe die Zahl 121, die außer den Teilern 1 und 121 noch den Teiler 11 hat.

Gleichzeitig erkennen wir aus diesem Beispiel, dass wir eine Aussage über alle natürlichen Zahlen nicht dadurch beweisen können, dass wir sie für eine Anzahl natürliche Zahlen nachprüfen.

BM993

Es soll folgende Aussage bewiesen werden

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Jede natürliche Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie durch 4 teilbar ist.

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Beweis:

Wir benutzen für die folgenden Überlegungen unsere Kenntnisse über die Teilbarkeit natürlicher Zahlen.

Wir betrachten irgendeine durch 4 teilbare Zahl a.

Nun wissen wir aber, dass es eine natürliche Zahl x gibt, so dass

4 * x = a

gilt.

Dafür können wir auch schreiben:

2 * 2 * x = a.

Nun ist aber 2 * a wieder eine natürliche Zahl. Wir nennen sie y. Benutzen wir dies Abkürzung in der letzten Gleichung, so ergibt sich

2 * y = a.

Das heißt aber, dass a auch durch 2 teilbar ist.

Wir haben jetzt also die Gewissheit, dass die von uns getroffene Aussage wahr ist; denn a bedeutete eine beliebige, durch 4 teilbare Zahl. Für a können wir und jede natürliche Zahl eingesetzt denken.

Wir können jetz sagen: „Wir haben diese Aussage bewiesen.“ oder „Wir haben einen Beweis dieser Aussage geführt.“ Es ist üblich am Schluss eines Beweises zu sagen: „..., was zu beweisen war.“ (Schriftliche Abkürzung: „w.z.b.w.“)

BM994

Welche der folgenden Aussagen ist wahr bzw. falsch? Begründe deine Behauptung bzw. gib Gegenbeispiele!

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a) Wenn eine Zahl a durch 10 teilbar ist, so ist sie auch durch 2 teilbar.

b) Wenn eine Zahl a durch 10 teilbar ist, so ist sie auch durch 2 und durch 5 teilbar.

c) Wenn eine Zahl a durch 2 teilbar ist, so ist sie auch durch 10 teilbar.

d) Wenn eine Zahl a durch 2 und durch 5 teilbar ist, so ist sie auch durch 10 teilbar.

e) Wenn eine Zahl a durch 5 und durch 10 teilbar ist, so ist sie auch durch 50 teilbar.

BM995

Wir müssen zwischen eienr Definiton und einem Satz unterscheiden.

Eine Definiton ist ein Feststellung. Sie wird oft nach Zweckmäßigkeit getroffen. Man kann von einer Definition nicht sagen, dass sie wahr oder falsch ist.

Ein Satz ist eine wahre Aussage.

Die Wahrheit eines Satzes muss durch einen Beweis nachgewiesen werden.

BM996

Primzahlen

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Primzahlen, Mengen und Funktionen bilden die Basis der gesamten Mathematik.

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Ist a ein Teiler von b, man schreibt dafür: a|b

Satz: Für jede natürliche Zahl a≠0 gilt:

a|a und 1|a

Jede natürliche Zahl a≠0 besitzt sich selbst und die Zahl 1 als Teiler.

Es gibt aber natürliche Zahlen, die darüber hinaus noch weiter Zahlen als Teiler haben.

Andererseits gibt es natürlich Zahlen, die nur durch 1 und sich selber teilbar sind.

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Stelle fest, ob folgendes gilt!

4|4; 214|214; 1|12; 1|27; 15|1

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a|a, denn a * 1 = a

1|a, denn 1 * a = a

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Wenn wir vonden Teildern einer Zahl sprechen, wollen wir von jetzt an diese Zahl selbst und die Zahl 1 stets mit zu den Teilern rechnen.

BM997

Primzahl

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Jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist und die nur durch 1 und durch sich selber teilbar ist, heißt Primzahl.

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Die Zahl 12 hat die Teiler 1; 2; 3; 4; 6; 12

Die Zahl 13 hat nur die Teiler 1 und 13.

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Welche Teiler haben die Zahlen 1 bis 30? (Nenne nur die Teiler, die verschieden von 1 und von der Zahl selber sind!)

Alle Zahlen, die Teiler haben (außer 1 und sich selber), sind KEINE Primzahlen.

Die Zahlen OHNE Teiler sind Primzahlen.

Nenne die Primzahlen zwischen 0 und 31!

Lösung BM997
1: 2: 3: 4: 2 5: 6: 2; 3 7: 8: 2; 4 9: 3 10: 2; 5 11: 12: 2; 3; 4; 6 13: 14: 2; 7 15: 3; 5 16: 2; 4; 8 17: 18: 2; 3; 6; 9 19: 20: 2; 5; 10 21: 3; 7 22: 2; 11 23: 24: 2; 3; 4; 6 25: 5 26: 2; 13 27: 28: 2; 7 29: 30: 2; 3; 5 --- Primzahlen 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 27 29

BM998

Primzahlen

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Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Alle anderen natürlichen Zahlen nennt man auch zusammengesetzte Zahlen.

Unter den Teilern einer Zahl treten stets auch Primzahlen auf.

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Die Zahl 30 hat die Teiler: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30. DAvon sind 2; 3; 5 Primzahlen.

BM999

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als 1 und ausschließlich durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat.

Die kleinsten Primzahlen sind:

$\mathbb {P} =$ {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...}

Eine natürliche Zahl größer als 1 heißt prim, wenn sie eine Primzahl ist, andernfalls heißt sie zusammengesetzt.

Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt.

Die einzige gerade Zahl, die eine Primzahl ist, ist die 2.

Die Zahl 12 ist keine Primzahl, die Zahl 11 hingegen schon.

BM1000

Das Wort „Primzahl“ kommt aus dem Lateinischen (numerus primus) und bedeutet „die erste Zahl“. Die Bedeutung der Primzahlen $\mathbb {P}$ für viele Bereiche der Mathematik beruht auf drei Folgerungen aus dieser Definition:

• Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl, die größer als 1 und selbst keine Primzahl ist, lässt sich als Produkt von mindestens zwei Primzahlen schreiben. Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.
• Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als 1 sind, darstellen.

Beispiele:

13 = 1 * 13

12 = 2 * 2 * 4

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